Об использовании математических понятий в физике

[Профессор Снэйп]

Munin в сообщении #376573 писал(а):

Для фантастического рассказа идея шикарная, жаль только в реальной физике любые измерения имеют погрешность, и уровни этой частицы будут размыты в нечто невнятное.

Да нет, с этим как раз всё нормально. Измеряется ведь дискретная величина! То есть ноль или единица. Другими словами, нам важно определить, есть ток или нет, точное значение силы тока никого не волнует

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #376566 писал(а):

Да, мы знаем, что реальные физические зависимости не являются функциями на континууме, и что применять к ним операции дифференцирования и интегрирования логически не более осмысленно, чем к строчкам символов. Но они ведут себя как функции на континууме, в том числе, как будто у них есть производные и первообразные, которые можно померить/пощупать другими способами.

Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию. Всегда измеряется ее функционал (по простому интеграл с аппаратной функцией). Но если, в некотором смысле, нет самих функций (и даже точек континуума), то как определить что такое функционал? Вот взяли бы математики и объяснили как. Но им не свойственно решать задачи типа "пойди туда не знаю куда". Для них это кошмар. А физику куда деваться, он в этом кошмаре живет и другого места жизни у него просто нет.

Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно, возьмем другую сходимость. Поищем В КАКОМ СМЫСЛЕ сходимость есть. Для математика это опять кошмар: искать в каком смысле...

Вообще в физике тпипична такая ситуация: ответ известен, надо найти из каких аксиом этот ответ можно вывести. Причем так, чтобы из тех же аксиом следовала и вся остальная куча ответов, что мы знаем. Изначально заданных аксиом нет, даже правил вывода изначальных нет. А понадобится - и логику изменим (хотя и не склонны так уж сразу ни с того ни с сего). Ну с какой бы такой радости Вселенная была обязана подчиняться какой-то там логике, выдуманной каким-то там Аристотелем на провинциальной планетке в заштатной галактике...

[Профессор Снэйп]

nestoklon в сообщении #376571 писал(а):

И Эшер и Дали например прекрасно умели "рисовать" в смысле ремесла.

Умели, но не желали. Им это было скучно.

Противоречия в указанном Вами месте нет. Мы, наверное, немного о разном. Чистые математики желают странного, оно им нравится. Физики же желают не странного, а правдоподобного. Не факт, что оно окажется простым. Если оно оказывается сложным, то становится интересно всем. Но если оно окажется простым, но нудным, физики всё равно будут держаться за него, а математики сделают один раз и отвернутся.

Как в анекдоте с чайником. Наверняка большая часть местной публики с ним знакома, но напомню:

Цитата:

Задача номер один: стоит пустой чайник, как вскипятить себе чай?

Решение физика. Опускаем ведро в колодец, поднимаем ведро с водой, переливаем в чайник, рубим дрова, кладём в печку, поджигаем, ставим чайник на печку, ждём, когда вскипит, завариваем, пьём чай.

Решение математика. То же самое.

Задача номер два: стоит чайник с водой, как вскипятить себе чай?

Решение физика. Рубим дрова, кладём в печку, поджигаем, ставим чайник на печку, ждём, когда вскипит, завариваем, пьём чай.

Решение математика. Выльем воду из чайника, после чего задача сведётся к предыдущей.

Здесь очень хорошо проиллюстрирована разность подходов!

[Alex-Yu]

Профессор Снэйп в сообщении #376588 писал(а):

Другими словами, нам важно определить, есть ток или нет, точное значение силы тока никого не волнует

Значение силы тока не волнует. Но волнует положение по энергии этого есть-нету. Есть-нету при какой энергии?

[Ales]

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):

Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно

Часто именно поточечная сходимость интересна для приложений. И расчеты всегда делаются для конкретных значений.
Сходимость в среднем не достаточна:
Представьте Вы рассчитали реактор, в среднем по году он ведет себя как посчитано и только в пятницу 13 взрывается.

-- Ср ноя 17, 2010 19:03:38 --

Есть особые точки и там совсем другая математика.

[Alex-Yu]

Ales в сообщении #376610 писал(а):

Представьте Вы рассчитали реактор и в среднем по году он ведет себя как посчитано и только в пятницу 13 взрывается.

Не взорвется. Среднее-то с весом берется. Можно взять достаточно узкий вес. Если не взрывается в среднем, скажем, по фемтосекунде, то точно не взорвется. Просто не успеет

Но важнее совсем другое. Те уравнения, которые решаются при расчете реактора, вообще ни в малейшей мере не справедливы на достаточно малых временах. И что тогда Вы знаете, если решение имеет сингулярность, на много меньших от сингулярности временах? Решение уравнений-то Вы нашли. Только они в этой ситуации вообще не справедливы и вы не знаете вообще ничего Вообще-то одно из уравнений там это уравнение диффузии нейтронов. Плотность нейтронов гладкая функция? В строгом смысле???? Я Вас умоляю, вроде это всегда частицы были. Что означает плотность частиц В ТОЧКЕ? А они еще и квантовые, а уравнение классическое... Вообще приведите мне пример из более-менее простой физики (оставим КТП) где бы значение функции В ТОЧКЕ имело хоть какой-нибудь здравый смысл. Теория упругости? Из атомов упругое тело построено. Гидродинамика? Тоже из атомов. Что еще???? Ладно, классическая электродинамика. Но в точке напряженность поля опять не имеет смысла. Но уже по более тонким (квантовым) причинам. А если это еще электродинамика сплошной среды, которая на самом деле не сплошная (сплошных просто не бывает)...

[ewert]

Ales в сообщении #376349 писал(а):

Самим математикам достаточно аналитических функций и теории чисел.

Недостаточно. И ряды Фурье -- прекрасный тому пример. Хотя переход к лебеговскому интегралу ит римановского действительно можно назвать при желании "извращением" (нужным лишь для придания теории внутренней законченности), игнорировать практическую необходимость разложения в ряд разрывных и негладких функций всё же нельзя. Так же и как игнорировать вытекающие из этого последствия -- эффект Гиббса и замедление сходимости. Даже физикам нельзя.

nestoklon в сообщении #376368 писал(а):

И запрещают нам рисовать простые картинки для экспериментаторов. И студентов простыми картинками "путать" запрещают.

А это разные вещи. С эксепериментаторами можно говорить на каком угодно языке -- они и люди уже взрослые, да и не их это дело -- ставить задачу. А вот студентов портить нехорошо.

Профессор Снэйп в сообщении #376528 писал(а):

То есть плотность --- она лишь в макроприближении бывает, а сама природа дифференцирования и прочих предельных переходов такова, что никакой сколь угодно малый масштаб рассмотрений не может быть выбран окончательным, и для любого $\varepsilon_1 > 0$ найдётся $\varepsilon_2 > 0$, много меньшее $\varepsilon_1$... Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами.[/off]

Ничего не хромает. Есть некоторый диапазон эпсилонов, в котором и замена производных конечными разностями становится достаточно точной, и макроприближения оправданными. Вот только в рамках этих приближений выводы физиков верными и являются (а и все вообще практические выводы верны только в некотором приближении, даже и в матанализе как таковом). А вне приближений -- нет, иногда флуктуации учитывать всё же приходится.

worm2 в сообщении #376579 писал(а):

Рассмотрим множество непрерывных неубывающих функций на [0, 1], принимающих значение 0 в 0 и 1 в 1. У каждой такой функции, как у кривой, есть длина. Вопрос: какова средняя длина для всевозможных таких функций?

Ответ: никакова, пока не задана конкретная мера на этом пространстве (желательно с какой-нибудь практической точки зрения разумная). Вот в выборе меры -- и проблемы с точным определением континуального интегрирования.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):

Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию. Всегда измеряется ее функционал (по простому интеграл с аппаратной функцией). Но если, в некотором смысле, нет самих функций (и даже точек континуума), то как определить что такое функционал? Вот взяли бы математики и объяснили как.

Очень просто. Функции в некотором смысле очень даже есть, это результат некоторой идеализации. В предположении, что хоть мы и никогда не можем измерить значения ровно в точке, но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности. А идеализация -- это свойство любого абстрактного понятия. Линия -- это идеализация, точка -- идеализация... Или вот, допустим, некоторые физики берут амперметр и наивно полагают, что меряют им силу тока. Фигня! Нет никакой силы тока, это -- тоже абстракция.
А вот континуум фактически есть. Если его нет -- мы не сможем даже поставить вопрос о вычислении какого-нибудь корня из двух или числа "пи". Не то что вычислить не сможем -- нет, просто поставить выпрос о вычислении.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):

Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно, возьмем другую сходимость. Поищем В КАКОМ СМЫСЛЕ сходимость есть. Для математика это опять кошмар: искать в каком смысле...

Вы явно путаете физиков и математиков. Математики именно тем только и заняты, что ищут "в каком смысле". А вот физикам -- часто на это плевать. В т.ч. наплевать и на сугубо практические последствия, возникающие из различия равномерной и среднеквадратичной (к примеру) сходимостей.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #376631 писал(а):

но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности.

Не можем! Даже гипотетически! Если СКОЛЬ УГОДНО малая окрестность. У нас пространство свернется в черную дыру если мы захотим такое сделать (пусть гипотетичеси мы можем все).

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #376588 писал(а):

Да нет, с этим как раз всё нормально. Измеряется ведь дискретная величина! То есть ноль или единица.

Нет, недискретным является аргумент функции, если речь идёт именно об энергетических уровнях. Вообще, я как-то не представляю себе физического измерения, в котором всё было бы дискретным, точнее, могу себе представить, но это будет выглядеть как наблюдение работы чёрного ящика, внутри которого спрятан дискретный компьютер, а тут снова возникает проблема остановки, убивающая всю фантастическую задумку.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):

Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию.

Да, поэтому я постарался терминологически отграничиться от этого, и говорить про "физические зависимости", а не про функции. С другой стороны, функционал - для математиков тоже функция.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):

Вот взяли бы математики и объяснили как. Но им не свойственно решать задачи типа "пойди туда не знаю куда". Для них это кошмар.

Многие великие учёные прошлого такие задачи решали, особо не причисляя себя ни к физикам, ни к математикам. Д'Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж, например.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #376631 писал(а):

Вот в выборе меры -- и проблемы с точным определением континуального интегрирования.

И Вы думаете физики этого не знают? Знаменитая проблема квантовх аномалий с этим и связана. Кстати аномалии вполне проявляются экспериментально: распад пи-ноль с ними и связан.

[Munin]

ewert в сообщении #376631 писал(а):

игнорировать практическую необходимость разложения в ряд разрывных и негладких функций всё же нельзя.

Это что же такое, интересно, для математика практическая необходимость? Кто ему мешает ограничиться непрерывными гладкими функциями?

ewert в сообщении #376631 писал(а):

Очень просто. Функции в некотором смысле очень даже есть, это результат некоторой идеализации.

Наивный... Нету их. Даже классов эквивалентности функций нету.

ewert в сообщении #376631 писал(а):

В предположении, что хоть мы и никогда не можем измерить значения ровно в точке, но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности.

Нету такого предположения.

ewert в сообщении #376631 писал(а):

Или вот, допустим, некоторые физики берут амперметр и наивно полагают, что меряют им силу тока. Фигня! Нет никакой силы тока, это -- тоже абстракция.

Нет, сила тока есть. Внимание, определение: сила тока - это то, что показывает амперметр.

ewert в сообщении #376631 писал(а):

А вот континуум фактически есть.

Это ваша религиозная вера.

ewert в сообщении #376631 писал(а):

Если его нет -- мы не сможем даже поставить вопрос о вычислении какого-нибудь корня из двух или числа "пи". Не то что вычислить не сможем -- нет, просто поставить выпрос о вычислении.

В мыслях-то у вас что угодно может быть, и вопрос о вычислении, и о чём-то ещё. Зато в реальности континуума нет.

[Bulinator]

Alex-Yu
Вот кстати хороший пример http://dxdy.ru/topic38551.html
можете решить его с Вашей формулировкой теоремы О.Г?

Alex-Yu в сообщении #375236 писал(а):

Bulinator в сообщении #375224 писал(а):

Можете сформулировать теорему Гаусса остроградского? Словами.

Запросто. Поток вектора через поверхность большого объема равен сумме потоков через поверхости малых объемов, на которые большой объем разбивается. Даже не теорема, а нечто самоочевидное т.к. внутренние поверхности считаются по два раза но с разным знаком Причем, заметьте, я обошелся без дивергенции.

[Sasha2]

Мне кажется, что у физиков есть очень большая проблема в том, что они очень сильно привыкли полагаться на эксперимент. То есть в том смысле, что свою беспомощность они зачастую объясняют словами "так показывает эксперимент".
Эксперимент оно, конечно, хорошо, но все же порой он становится преградой, которая мешает найти более глубинные явления, лежащие в основе того или иного явления.
Кстати не потому ли до сих пор законы Ньютона, преобразования Эйнштейна и уравнения Максвелла и Шредингера (если уж до конца быть честным) так и остаются фактами экспериментальными и совершенно непонятны причины, по которым эти законы верны (Ну во всяком случае судя по учебникам общей физики). Я имею в виду здесь, что математики не боятся опускать все глубже и глубже, потому как для них это всего лишь еще одна теория, может быть и бесполезная, но все же математическая теория, а вот для физиков, это скорее зря потраченное время.
Можно до бесконечности упражняться в КТП и конденсированном состоянии, но что толку, если фундаментальные законы, лежащие в основе этих явлений воспринимаются на уровне "так устроена природа". Поэтому, мне кажется, что фундаментальные открытия физиков в главной степени зависят от уровня развития математики. То есть мы как раз находимся в том состоянии, что и древние люди, которые в течение многих тысячелетий видели одни и те же явления, а вот законы, лежащие в их основе сформулировали только тогда, когда математика достигла определенного уровня зрелости.
То есть представьте себе ситуацию, когда наши современные знания такие же обрывочные и несовершенные, как например у Архимеда. Он хоть и гений, но все же как ему не хватало то, чему например сейчас учат уже на первом и втором курсе. А чтобы далее пойти в физике, наверно тоже требуются такие же усилия, как от Архимеда до Ньютона.

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #376647 писал(а):

можете решить его

Могу. Но некогда мне. И вообще на вскидку я не понял в чем здесь прикол. Может есть какой....

[Bulinator]

Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):

То есть в том смысле, что свою беспомощность они зачастую объясняют словами "так показывает эксперимент".

Беспомощность... хорошее слово, ничего не скажешь

Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):

Эксперимент оно, конечно, хорошо, но все же порой он становится преградой, которая мешает найти более глубинные явления, лежащие в основе того или иного явления.

Правильно, природа непраильная.

Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):

Я имею в виду здесь, что математики не боятся опускать все глубже и глубже, потому как для них это всего лишь еще одна теория, может быть и бесполезная, но все же математическая теория, а вот для физиков, это скорее зря потраченное время.

Дело том, что математикам не нужно проверять свои аксиомы. Ставя разные аксиомы они могут построить разные теории и вероятность, что такая с потолка взятая аксиома будет соответствовать реальному миру нулевая.

-- Ср ноя 17, 2010 21:31:22 --

Alex-Yu в сообщении #376663 писал(а):

Но некогда мне.

Понимаю