Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[evgeniy]

Начальные условия постоянны для множества $x_l$ , удовлетворящих
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$
далее выражаем
$x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$
и подствляем это значение в уравнение Пфаффа, и интегрируем l член
$U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)=\int_{x_l^0}^{x_l}A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)dx_l$
тогда суммарный потенциал равен
$U=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
тогда при вычислении коэффициентов уравнения Пфаффа, получим
$A_l(x_1,...,x_N)=\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
т.е. с учетом характеристики получаем тождество, т.к.
$A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)=A_l(x_1,...,x_N) $
с учетом характеристики и построению алгоритма.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375504 писал(а):

тогда при вычислении коэффициентов уравнения Пфаффа, получим
$A_l(x_1,...,x_N)=\frac{\partial U}{\partial x_l}$

А это нужно доказать. Вспомните определение частной производной.

-- Пн ноя 15, 2010 17:04:27 --

evgeniy в сообщении #375504 писал(а):

Начальные условия постоянны для множества $x_l$ , удовлетворящих
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$

Можете ли Вы найти частные призводные, зная 'потенциал' только на этом множестве?

-- Пн ноя 15, 2010 17:16:25 --

Поясню Вам совсем подробно. Например, для производной по $x_1$

$\partial{U}/{\partial x_1}=\lim_{x_1'\to x_1}\frac{U(x_1', x_2,...)-U(x_1, x_2,...)}{x_1'-x_1}$
Считайте дальше

[evgeniy]

Так как решение определено для области, можно построить потенциал.
Цепочка рассуждений такая
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Кроме того справедливо
$A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)=A_l(x_1,...,x_N)$(1)
по способу построения алгоритма, причем этот алгоритм использует уравнение характеристики. Формулу $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$ надо подставить в правую часть (1) и тогда она совпадет с левой частью.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375524 писал(а):

$\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=...$

вот это надо доказать. Вы повторяете другие места, а я прошу доказать именно это равенство. Я Вам напомнила определение частной производной.

[evgeniy]

$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Поэтому частная производная от левой части по $x_l$ определяется производной от $U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ по величине $x_l$ и значит справедливо $\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{dU_l}{dx_l}$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375541 писал(а):

$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Поэтому частная производная от левой части по $x_l$ определяется производной от $U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ по величине $x_l$ и значит справедливо $\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{dU_l}{dx_l}$

вы проглатываете. определение Частной производной я Вам напомнила.
Дававйте подробнее.



Напоминаю, что

shwedka в сообщении #375512 писал(а):

$\partial{U}/{\partial x_1}=\lim_{x_1'\to x_1}\frac{U(x_1', x_2,...)-U(x_1, x_2,...)}{x_1'-x_1}$

давайте поясню. Определение частной производной, ЕДИНСТВЕННОЕ верное, я привела. для вычисления этой частной производной Вы обязаны взять две точки
$(x_1', x_2,...)$ и $(x_1, x_2,...)$, вычесть значения потенциала в этих точках, поделить на разность и перейти к пределу.
Однако, если точка $(x_1, x_2,...)$ лежит на Вашей кривой,

$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0), $ то точка
$(x_1', x_2,...)$, полученная сдвигом лишь в одном координатном направлении, уже НЕ лежит на этой кривой, а лежит на ДРУГОЙ кривой. ПОэтому пользоваться какими бы то ни было формулами, полученными лишь на одной фиксированной кривой, при вычислении частной производной нельзя.

[evgeniy]

Честно говоря я не знаю, что Вас не устраивает в доказательстве.
При дифференцировании функции $U(x_1,...,x_N)$ и равной ей функции
$\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ по параметру $x_l$ по определению частной производной все значения, кроме $x_l$ фиксированы. так как они независимы в формально построенной сумме, значит дифференцируется только один член $U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$. В окончательно построенной производной надо подставить уравнение характеристики. Для доказательства равенства $A_l(x_1,...,x_N)=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ используется уравнение характеристики. Для каждого члена имеем свою зависимость $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0)k=1,...,l-1,l+1,...,N$(1). Но у разных членов суммы своя зависимость (1), причем значения $x_l,l=1,...,N$ независимы.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375565 писал(а):

причем значения $x_l,l=1,...,N$ независимы.

Вот здесь-то у вас и ошибка. Эти переменные зависимы. зависимость задается требованием, что точка лежит на кривой. Вы не можете изменить одну переменную, заморозив остальные, и оставшись на той же самой кривой. Ваша ошибка в том, что Вы делаете формальные преобразования в ситуации, когда они недопустимы.

Мы это уже проходили. Если функция задана только на кривой (а у Вас именно так, Вы рассматривать 'соседние кривые' не хотите), то ее частные производные не только нельзя вычислять по каким-то функциям на кривой, с помоэью формальных преобразований,
эти частные производные НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ.

-- Пн ноя 15, 2010 18:48:13 --

Давайте, формально.
$U(x,y)=x+2y$ на прямой
$x=t, y=2t$
и задана ТОЛЬКО на прямой. ваш случай.
Найдите частные производные $U(x,y)$
жду

-- Пн ноя 15, 2010 19:03:29 --

Или еще по-другому.
Функция задана на прямой как выше, а вне прямой она тоже задана, но я не скажу как.

Найдите ее частные производные на прямой.

[evgeniy]

безусловно я подставляю уравнение характеристики в окончательный вариант решения. Но я использую все пространство, так как интеграл уже содержит больше информации, чем кривая линия. И таких интегралов N. Параметры $x_l$ независимы по определению и связаны с остальными координатами соотношением $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$. ПРичем в силу существования еще N параметров $x_l^0,l=1,...,N$ параметры $x_l$ независимы и в сумме определяют все пространство. Частные производные определены, так как задан формальный ряд и аргументы независимы.
Ваш пример плохой, так как содержит только одну кривую. Если ввести начальные условия, то получим решение $U(x,y)=x-x_0+2(y-y_0)$, который получается интегрированием $dU_x=dx, dU_y=2dy$. ДЛя этой кривой решение совпало, но если взять произвольные кривые, то решение в пространстве не совпадет с решением глобальным. Вдоль каждой кривой пространства свое решение. Если же взять существование глобального решения, то возможно оно совпадет вдоль любых кривых, я не знаю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375612 писал(а):

Если ввести начальные условия, то получим решение $U(x,y)=x-x_0+2(y-y_0)$,

evgeniy в сообщении #375612 писал(а):

Параметры $x_l$ независимы по определению и связаны с остальными координатами соотношением $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$.

в одной строке вы пишете, что независимы и связаны. уже четвертую страницу не можете определиться.

А все-таки, каковы в моем случае частные производные?

evgeniy в сообщении #375612 писал(а):

Ваш пример плохой, так как содержит только одну кривую.

Вы же и хотите ограничиться одной кривой.
Или все же при вычислении частных производных Вы готовы с нее слезть?

evgeniy в сообщении #375612 писал(а):

Если ввести начальные условия, то получим решение $U(x,y)=x-x_0+2(y-y_0)$,

А почему именно так? У меня, может быть, функция другая?
вот скажите какие у меня частные производные на моей прямой, тогда скажу функцию.

При этом не требуйте у меня заранее значение функцьии на других кривых. Вы же не нуждаетесь в них в Ваших формулах
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$

[evgeniy]

В формуле $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$
по заданным произвольным значениям переменных $x_l,x_1^0,...,x_N^0$ вычисляются значения $x_k,k=1,...,l-1,l+1,...,N$. значит первые независимы, а вторые определяются. Это определяется в одном члене суммы потенциала. В другом члене суммы потенциала, независимы другие переменные, а зависимые другие члены. Причем в этом нет противоречия, так как в независимые переменные входит N независимых общих членов $x_k^0,k=1,...,N$.
Я не знаю какая у вас функция, но можно взять частные производные от величин $U(x,y)=x-x_0+2(y-y_0)$и вдоль характеристик получим частные производные, совпадающие со значением $A_l$ . Так как в данном случае. имеется глобальное решение, то оно совпало с решением с учетом многомерных характеристик. да интегрировал я соотношения $dU_x=dx,dU_y=2dy$, причем подставлять уравнения характеристик в коэффициенты $A_l$ не пришлось,так как они являются констатами.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #376049 писал(а):

Я не знаю какая у вас функция, но можно взять частные производные от величин $U(x,y)=x-x_0+2(y-y_0)$и вдоль характеристик получим частные производные, совпадающие со значением $A_l$

Так все же. Вы на мой вопрос не ответили. Число скажите!!
Давайте совсем просто.Пусть вдоль характеристики $x=t,y=t$ $A_1=A_2=0$. Возьмите $x^0=y^0=0$. Вы строите вдоль характеристики Ваше 'решение'

Цитата:

$U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)=\int_{x_l^0}^{x_l}A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)dx_l$

$U(x,y)$ и оно, конечно, оказывается нулем.
Значений $A_1,A_2$ в других точках, вне характеристики, я не говорю. Так что они константы вдоль характеристики, но вовсе не во всей плоскости
Верны ли в этом случае на ХАРАКТЕРИСТИКЕ Ваши формулы
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$?
То есть, найдите частные производные функции $U(x,y)$ в точках характеристики.

[evgeniy]

Если $A_1=0,A_2=0$, то при любых уравнениях характеристик, что в них не подставляй получим ноль. И потенциал равен нулю.
Я Вас не понимаю. Я вам привел решение, какое численное значение необходимо. В данном случае, численное решение равно нулю.
мне не нравятся эти подходы, когда Вы исподволь подводите к какому-либо рассуждению. Мне кажется, что если у ВАс есть какая-либо идея, то надо изложить эту идею. Если я соглашусь, то к общему удовольствию. А ВЫ наверно убедились, что когда я не вижу выхода, я соглашаюсь, и даже прошу отправить тему в карантин. Поэтому мне кажется, что доступными для меня словами изложите свою идею, и я подумаю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #376176 писал(а):

Если $A_1=0,A_2=0$, то при любых уравнениях характеристик, что в них не подставляй получим ноль. И потенциал равен нулю.

И неправда.
$A_1=0,A_2=0$
только на характеристике.

Я оспариваю Вашу формулу
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$?
Она делает вид, что можно найти производную от $U$ на характеристике только интегрируя вдоль этой кривой и игнорирую все, что творится на других кривых. Это не так. При вычислении частных производных неоходимо 'слезть' с кривой и учесть изменение $A$ от одной кривой к другой. Иначе это выражается в том, что ваша начальная точка $x^0$ не зависит от $x$, пока $x$ находится на одной кривой, но начинает зависеть от $x$, если $x$ с кривой смечается. При вычислении частной производной необходимо с кривой слезать, поэтому такую зависимость необходимо учитывать.
А в целом- Вы пытаетесь построить решение уравнения, отсутствие решений у которого доказано.

Продолжаю мой пример.
Я задаю функцию $U(x,y)=7(x-y)$. Она равна нулю на рассматриваемой характеристике, но ее частные производные НЕ ноль, как можете проверить легко.
Или можете заменить семерку другим коэффициентом. Получится другой ответ. А при этом все Ваши вычисления, проводимые на одной линии дают один и тот же ноль.

Вывод. Формула $\frac{\partial U}{\partial x_l}=\frac{\partial U_l}{\partial x_l}=A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$? неверна. Она дает ноль, в то время, когда реально левая часть может быть любым числом.

Если Вас это не убеждает, и Вы на своей конструкции настаиваете, то, извольте, найдите своим методом решение моего примера,

$dx +dy + ydz=0$

Не нужно полуфабрикатов. Предъявите, постройте своим методом функцию $U(x,y,z)$ для которой, скажем, в некоторой окрестности нуля
$U_x=1, U_y=1, U_z=y$
Или хотя бы с интегрирующим множителем,
$U_x=F(x,y,z), U_y=F(x,y,z), U_z=yF(x,y,z)$

[shwedka]

или, ладно,

shwedka в сообщении #376195 писал(а):

$ U_y=1, U_z=y$

но уже без интегрирующего множителя (Вам он, вроде, и не нужен...).
Но, повторяю не полуфабрикат. Чтбы сразу можно было подставить в уравнение и проверить. а не искать мучительно начальные или какие еще условия. Найдите их сами и подставьте.