Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374269 писал(а):

Но я и так припоминаю, что частная производная берется при фиксированных остальных аргументах.

Вот-вот. Именно так!
А Вы, находясь на кривой, не можете изменить один из аргументов, зафиксировав остальные.
Так что задумайтесь на вопросами

shwedka в сообщении #374252 писал(а):

задумайтесь, что такое $\Delta x_l$ в вашем
evgeniy в сообщении #374195 писал(а):
$\frac{\partial s}{\partial x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N \Delta x_s^2}}{\Delta x_l}=\frac{\sqrt{\sum_{s=1}^N d x_s^2/ds^2}}{d x_l/ds}$


и почему первое равенство верно?

[evgeniy]

Shwedka, я получил новое личное сообщение, что удалось использовать мои идеи для численного счета. Построен график для решения по предлагаемой формуле. В связи с этим и не только в этой связи, я подумал и понял, что решение использует уравнение кривой, но определено в области. Дело в том, что имеются еще константы, определяющие начальную точку и для каждого значения этих констант определяется кривая линия, но при изменении констант решение уравнения Пфаффа строится для всего пространства. Так что алгоритм решения задачи Пфаффа строится таким образом. Иммется зависимость
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0),l=1,...,N$(1)
с начальными условиями $x_l^0$. Получаем из этой зависимости выражение для N-1 переменной от одной переменной, причем это справедливо для области изменения уравнения (1). Эта область возможно определяет все пространство. Далее интегрируем $A_l(x_1,...,x_N)dx_l$ c зависимостью $x_k(x_l,x_1^0,....,x_N^0)$ справедливой для области изменения аргументов $x_k(x_l,x_1^0,....,x_N^0)$.
Хотя решение уравнения Пфаффа получено при фиксированных значениях $x_k^0,k=1,...,N$ решение УП получено для всех значений $x_l$ в силу переменности начальных условий. Т.е. решение уравнения Пфаффа получено не вдоль кривой линии, а внутри объема, определяемого условиями (1) и величины $x_l,l=1,...,N$ занимают весь объем.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374553 писал(а):

Построен график для решения по предлагаемой формуле.

Чепуха. решения нет! То, что построен, решением не является. Если считаете, что является, докажите.

-- Сб ноя 13, 2010 14:21:22 --

evgeniy в сообщении #374553 писал(а):

Хотя решение уравнения Пфаффа получено при фиксированных значениях $x_k^0,k=1,...,N$ решение УП получено для всех значений $x_l$ в силу переменности начальных условий.

Вот здесь-то Вы и проврались. То есть, Ваше $x^0$ зависит от $x$? Тогда попробуйте записать Ваше 'решение', моего примера, не скрывая этой зависимости
$U(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_1^0(x)+x_2-x_2^0(x)+x_2^0(x)(x_3-x_3^0(x))+(x_3-x_3^0(x))^{5/3}3/5,$
где $x^0(x)$ -начальные условия для точки $x$,

и проверьте, выполнено ли уравнение.

Только не забудьте $x^0(x)$ продифференцировать.
А корреспондента Вашего я знаю, и уже ему объяснила, где он проврался.

[evgeniy]

Я формально построил решение для Вашего уравнения, используя зависимость $x_2=x_2^0+(x_3-x_3^0)^{2/3}$.
Аналогично можно формально построить решение УП для любой области изменения
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$(1)
и оно будет формально являться решением уравнения Пфаффа для области (1). Если Вы сомневаетесь, то формально я могу это доказать. Что значит формально. Это значит, что я могу построить функцию U, которая удовлетворяет $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$ с использованием (1).
Скорее $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$, а не $x_l^0=g(x_l)$. $x_l^0$ независимый параметр.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374562 писал(а):

Я формально построил решение для Вашего уравнения, используя зависимость $x_2=x_2^0+(x_3-x_3^0)^{2/3}$.
Аналогично можно формально построить решение УП для любой области изменения
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0)$(1)
и оно будет формально являться решением уравнения Пфаффа для области (1). Если Вы сомневаетесь, то формально я могу это доказать. Что значит формально. Это значит, что я могу построить функцию U, которая удовлетворяет $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$ с использованием (1).

Посмотрите мой предыдущий пост.

Повторяю! Не скрывайте переменность начальных условий при Вашей попытке доказательства.

[evgeniy]

Дело в том, что $x_l^0$ независимый параметр, и от $x_l$ не зависит. Его можно определить таким образом и это ничему не помешает.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374566 писал(а):

Дело в том, что $x_l^0$ независимый параметр, и от $x_l$ не зависит

Неправда.

evgeniy в сообщении #374553 писал(а):

Хотя решение уравнения Пфаффа получено при фиксированных значениях $x_k^0,k=1,...,N$ решение УП получено для всех значений $x_l$ в силу переменности начальных условий.

Значит, чтобы получить разные кривые и разные $x$, нужно брать разные начальные условия - и они. тем самым, зависят от $x$.
Повторяю. Проверьте, выполняется ли уравнение построенным Вами 'решением'.

[evgeniy]

Естественно, если $x_l^0$ зависит от $x_l$, то решение не получится. Но дело в том, что этой зависимости нет. При изменении $x_l^0$ изменяется кривая в пространстве, но это не значит, что $x_l^0$ зависит от величины $x_l$. меняя независимое $x_l^0$, заполняем все пространтсво. Вы приписываете мне действие, которое я не совершал, т.е. якобы мне необходимо, чтобы $x_l^0$ зависело от $x_l$. Величина $x_l^0$ независима. Тут получается не стыковка, как мне кажется.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374589 писал(а):

При изменении $x_l^0$ изменяется кривая в пространстве, но это не значит, что $x_l^0$ зависит от величины $x_l$.

Ничего другого это означасть не может!. Чтобы получить конкретное $x$ на какой-нибудь кривой семейства, Вам придется подбирать
начальные условия $x^0$ специальным образом, В ЗАВИСИМОСТИ ОТ $x$, чтобы Ваша 'характеристика' проходила через $x$. Вот это в точности и означает, что $x^0$ зависит от $x$.

[evgeniy]

Существенное замечание, но дело в том, что имеем уравнение характеристики
$x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0),l=1,...,N$. Но дело в том, что $x_l^0 $определяется из этого условия, но при решении задачи Пфаффа оно константа, а не функция текущего значения $x_l$ .

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374616 писал(а):

Т.е. будет зависимость от одного параметра, допустим от $x_1^0$

Не о том.
Я не поняла. По-прежнему Вы утверждаете, что

Цитата:

При изменении $x_l^0$ изменяется кривая в пространстве, но это не значит, что $x_l^0$ зависит от величины $x_l$?

evgeniy в сообщении #374616 писал(а):

При этом возникают условия для определения величины области пространства $x_l$. Т.е. будет зависимость от одного параметра, допустим от $x_1^0$.

Речь не о том. Будет зависимость $x_1^0$ от $x$
Еще по-другому.
Утверждаете ли Вы, что $x^0$ можно брать независимым от $x$? Например, постоянным?

[evgeniy]

Дело в том, что для попадания в точку $x_l,l=1,...,N$ действительно необходимо выбрать точку $x_l^0,l=1,...,N$, при фиксированном t, но при интегрировании уравнения Пфаффа начальные условия $x_l^0,l=1,...,N$ являются константой.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #374630 писал(а):

Дело в том, что для попадания в точку $x_l,l=1,...,N$ действительно необходимо выбрать точку $x_l^0,l=1,...,N$, при фиксированном t, но при интегрировании уравнения Пфаффа начальные условия $x_l^0,l=1,...,N$ являются константой.

To есть, вы подтвердили, что $x^0$ зависит от $x$. запомним. Теперь не отопретесь. Раньше-то отрицали. Пусть на этапе выбора кривой, но зависит. Вот теперь при написании всевозможных формул вы эту зависимость не скрывайте.
Теперь я жду от Вас 'доказательства', что полученное Вами при интегрировани вдоль характеристик решение дейтвительно решает УП.
И покажите это на моем примере.

[evgeniy]

Определение значения начальных условий не значит, что они переменны. Их определили. и на пути рассмотрения они являются константой. Аналогия с методом стрельбы в дифференциальных уравнениях. Определяются начальные условия чтобы попасть в определенную точку. А далее эти начальные условия при интегрировании дифференциального уравнения являются константой. И никто не считает эти полученные в методе стрельбы начальные условия являются функцией точки. При решении диф.уравнения они константа. При вычислении потенциала, начальные условия являются константой и не меняются. Они определены как функция точки попадания, но в процессе интегрирования остаются неизменными, т.е. являются константой. И при доказательстве формулы $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$ они являются константой, так как уравнение Пфаффа интегрируется при значениях начальных условий, равное константе.
$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}\int\limits_{x_l^0}^{x_l}A_l(x_l,x_1^0,x_N^0)dx_l$
где $x_k^0,k=1,...,N$ и в процессе интегрирования являются константами и значит на отрезке интегрирования$[x_l^0,x_l],l=1,...,N$ они являются константами, хотя и определены из аналога метода стрельбы.
Забудьте о том, как получено $x_l^0$, оно получено каким-то способом, и далее является константой. В конце концов можно не ставить задачу попадания в определенную точку, а просто считать потенциал, что получится.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #375458 писал(а):

Определение значения начальных условий не значит, что они переменны.

Так, значит, они постоянны?
Давайте, все же, определяться.
1. начальные условия $x^0$не зависят от $x$. То есть, они постоянны. Одни и те же для всех $x$.
или
2. Начальные условия $x^0$ зависят от $x$.
выбирайте и определитесь.

evgeniy в сообщении #375458 писал(а):

В конце концов можно не ставить задачу попадания в определенную точку, а просто считать потенциал, что получится.

Замечательно. Счиайте, что получилось, и докажите, что получилось решение системы задачи Пфаффа. И покажите на моем примере.

evgeniy в сообщении #375458 писал(а):

И при доказательстве формулы $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$

Несмотря на многочисленные просьбы, этого 'доказательства ' никто так и не увидел.
Прежде, чем, все же его писать, возьмите все же учебник и вспомните определение частной производной.

ПОдсказываю. Значения 'потенциала' на ОДНОЙ кривой не дают возможность вычислить его частные производные. Для этого нужно знать, как он меняется при изменении кривой.