Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[evgeniy]

Имеет смысл задание новых условий, при которых задача имеет единственное решение.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #370598 писал(а):

Имеет смысл задание новых условий, при которых задача имеет единственное решение.

вы опять туда же. Если выполнено необходимое и достаточное условие разрешимости, то уравнение Пфаффа имеет решение, какое бы начальное условие ни взять. если условие локальной разрешимости нарушено, то Вы никакого решения не получитев, какое бы начальное условие ни брали.

Так что, НЕ имеет смысла.

[evgeniy]

Задача, сводящаяся к уравнению Пфаффа действительно решена. Но задача с уравнением Пфаффа и с системой уравнений характеристик, это уже другая задача, решение которой я и предлагаю. Причем решение этой задачи единственно. Т.е. накладывая условие на неоднозначно решаемую задачу Пфаффа, я предлагаю единственное решение. Т.е. решение, пути интегрирования которого заданы дифференциальным уравнением. Причем этих путей столько, колько начальных условий у системы характеристик.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #370620 писал(а):

Но задача с уравнением Пфаффа и с системой уравнений характеристик, это уже другая задача, решение которой я и предлагаю.

Прежде, чем предлагать решение, недурно бы сформулировать задачу. Четко. Можете? а то пока лишь пустой разговор.

[evgeniy]

Решается уравнение
$\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_N)dx_l=0$
вдоль кривых заданных вдоль произвольного решения уравнений характеристик
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$
где $A_l(x_1,...,x_N),F_l(x_1,...,x_N)$ достаточно гладкие функции.
Комментарий. ПРичем по заданным начальным условиям для системы уравнений характеристик $x_l^0,l=1,...,N$, определяется кривая интегрирования. Получено решение в виде ряда вдоль характеристик.
Ответ получу завтра, я заканчиваю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #370676 писал(а):

Решается уравнение
$\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_N)dx_l=0$

Обман. Вы не написали, что уравнение решается при выполнении необходимых условий интегрируемости.
Или все еще эти условия Вам не писаны?
И что такое решение уравнения Пфаффа вдоль кривой. Дайте определение.

[evgeniy]

Какая терминология. Рассказываю решение задачи. Могу построить ряд, являющийся решением уравнения Пфаффа и удовлетворяющий уравнениям характеристик. В каком смысле удовлетворяющий уравнениям характеристик. Мне проще привести решение, чем обосновывать постановку задачи, потому, что когда я абстрактно обосновываю, Вы понимаете совсем по другому.
Уравнения характеристик имеют решение
$x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt^n}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$(1)
Откуда, разрешая это уравнение, получим
$t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Тогда дифференциал
$dU_l=A_ldx_l$
вдоль уравнения характеристики можно представить в виде, подставив формулу (1)
$dU_l=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}dt$
перемножив эти два ряда и проинтегрировав, получим решение, в которое подставим значение $t-t_0=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
В результате получим
$U_l=\sum_{n=0}^{\infty}b_{nl}[f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)]^{n+1}+const$
Cуммируя вклады от разных членов первого уравнения (оно имеет вид уравнений Пфаффа), получим потенциал, вычисленный вдоль решения системы уравнений характеристик.
$U(x_1,...,x_N)=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$
Теперь докажем, что вычислив частную производную от величины потенциала по аргументу $x_l$, получим величину проекции градиента потенциала, т.е. $A_l$
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=(\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n)(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}\frac{dt}{dx_l}=\sum_{n=0}^{\infty}C_{nl}(t-t_0)^n$=A_l(x_1,...,x_N)
Это справедливо в силу равенства
$\frac{dx_l}{dt}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d^{k+1} x_l^0}{dt^{k+1}}\frac{(t-t_0)^k}{k!}$
т.е. использовав коэффициенты решения уравнений характеристик, можно построить ряд, являющийся решением уравнения Пфаффа вдоль уравнений характеристик. При этом это решение всегда существует при произвольных регулярных функциях $A_l(x_1,...,x_N),F_l(x_1,...,x_N)$ без дополнительных условий.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #371389 писал(а):

Могу построить ряд, являющийся решением уравнения Пфаффа и удовлетворяющий уравнениям характеристик. В каком смысле удовлетворяющий уравнениям характеристик. Мне проще привести решение, чем обосновывать постановку задачи.

Не надо обосновывать. Дайте постановку. Что называется решением УП вдоль уравнения характеристик? ОПРЕДЕЛЕНИЕ????

[evgeniy]

Решением вдоль характеристики, называется решение уравнения Пфаффа, использующее уравнение характеристики. В частности у меня оно построено в виде ряда (1) и для вычисления зависимости $t=f_l(x_l)$ взята обратная функция. посмотрите решение и скажите, где ошибка, если она есть.
В частности, можно не использовать уравнение характеристики, а использовать счетное количество констант, определяющих решение вдоль характеристики. Возможно термин, решение вдоль характеристики не удачный, точнее надо сказать использующий зависимость в виде решения уравнения характеристики.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #371395 писал(а):

Решением вдоль характеристики, называется решение уравнения Пфаффа, использующее уравнение характеристики.

Непонятно.
по тому, что Вы написали, можно думать, что это какой-то особый вид решения.
Дайте все-таки определение. Формулу, может, напишите.+

[moscwicz]

на самом деле с системой Пфаффа есть нюанс. Я только буду рассуждать в терминах не системы Пфаффа , а эквивалентно в терминах задачи

$$\frac{\partial x^j}{\partial t^s}=f^j_s(t,x),\quad x(0)=\hat x.$$

Так вот есть необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи при любых $\hat x$, однако, даже если эти условия не выполнены, то всеравно при отдельных $\hat x$ может существовать решение. Может топикстартер неуклюже пытается сообщить об этом.

[shwedka]

moscwicz в сообщении #371871 писал(а):

то всеравно при отдельных $\hat x$ может существовать решение

решение ЧЕГО???>
Топикстартер злоупотребляет термином 'решение'.

moscwicz в сообщении #371871 писал(а):

а эквивалентно в терминах задачи

$$\frac{\partial x^j}{\partial t^s}=f^j_s(t,x),\quad x(0)=\hat x.$$

Что за странная система? почему она эквивалентна УП?

[moscwicz]

shwedka в сообщении #371891 писал(а):

решение ЧЕГО???>

решение $x(t)$ системы, которую я выписал

shwedka в сообщении #371891 писал(а):

Что за странная система? почему она эквивалентна УП?

вот у меня тут текст завалялся, специально для блондинок: http://www.rapidshare.ru/1679783
смотреть надо системы Майера Фробениуса, а почему умение решать такую систему эквивалентно умению решать систему Пфаффа -- это Вам упражнение.

[shwedka]

moscwicz в сообщении #371959 писал(а):

shwedka в сообщении #371891 писал(а):

решение ЧЕГО???>

решение $x(t)$ системы, которую я выписал

shwedka в сообщении #371891 писал(а):

Что за странная система? почему она эквивалентна УП?

вот у меня тут текст завалялся, специально для блондинок: http://www.rapidshare.ru/1679783
смотреть надо системы Майера Фробениуса, а почему умение решать такую систему эквивалентно умению решать систему Пфаффа -- это Вам упражнение.

Кто из нас блондинка, это вскрытие покажет.
А по существу- можно было бы ответить и детальнее. Как правые части Вашей системы связаны с исходным уравнением? И кто такие $t_s$?
A медицинский факт таков. Если необходимые условия локальной разрешимости уравнения Пфаффа нарушены, то никакого (ненулевого ) решения НЕТ!!!Никогда. Какие бы начальные условия для вспомогательных систем ни выбирать!

[evgeniy]

Уже произвел уточнение в своем сообщении, Вы прочли первый вариант. Я добавил. Но повторю, чтобы не было недоразумений. Термин решение вдоль характеристики неудачный. нужно использовать термин, решение, использующее решение уравнения характеристики. Это решение у меня записано, повторяю
$x_l(t)=x_l^0+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^n x_l^0}{dt}\frac{(t-t_0)^n}{n!}$(1)
где величина $\frac{d^n x_l^0}{dt^n}$ определяется как решение уравнения характеристик, т.е. используя правую часть уравнения характеристик, ее дифференцируем, к примеру вторая производная равна
$\frac{d^2 x_l^0}{dt^2}=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial F_l^0}{\partial x_n}F_n^0$
Но к моему доказательству есть уточнение, которое я пока делать не буду.
Когда Вы прочтете доказательство существования решения в моей постановке, я внесу уточнение. Нужно доказать формулу $t-t_0=g(x_1,...,x_N)$. Прежде чем ругать эту формулу, уточняю, что у меня есть ее доказательство. Эту формулу можно доказать для определенной системы уравнений характеристик. тОгда (1) разрешится относительно $x_l $ в виде формулы $t=f_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)$ при остальных фиксированных $x_k$.