Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[Padawan]

Уважаемый vek88!
Объясните, зачем Вы так хотите найти представление группы Галилея в виде группы преобразований фазового пространства? Ну допустим найдём мы такое представление. И что это нам дает? Как к дифф. уравнениям движения-то перейти?

[vek88]

Padawan в сообщении #305955 писал(а):

Уважаемый vek88!
Объясните, зачем Вы так хотите найти представление группы Галилея в виде группы преобразований фазового пространства? Ну допустим найдём мы такое представление. И что это нам дает? Как к дифф. уравнениям движения-то перейти?

Уважаемый Padawan!

Вообще-то я не ищу представления - я их все нашел. Для $n$ частиц - это произвольное семейство $n$ траекторий с множеством преобразований в соответствии с группой $G$ преобразований 4-пространства. А понять хочу следующее.

1. Какие траектории свободных частиц и взаимодействующих частиц можно считать разумными с точки зрения механики. Например, если взять траекторию с потолка, то вряд ли это интересно в механике.

2. Как построить уравнения для разумных траекторий. Предположительно, разумные траектории соответствуют системам дифференциальных уравнений, которые имеют ковариантный вид.

А в целом я продолжаю разбираться в меру своего понимания с вопросом, что следует, а что не следует из Галилей или другой инвариантности.

И разве то, что я делаю, не соответствует Вашим идеям? На интуитивном уровне мне казалось, что я воспользовался Вашими идеями.

[Padawan]

vek88
Но смотрите что делал я: я брал расширенное фазовое пространство, траектории в нем - мировые линии частиц, и конкретное представление группы Галилея, соответствующее сдвигам и поворотам системы частиц как целого. Дальше я хотел найти такие уравнения, чтобы эта группа переводила траектории в траектории.

А Вы же группу преобразований берете с потолка. И траектории у Вас - это линии в нерасширенном фазовом пространстве. Каждой такой траектории может соответствовать различное движение (с разными скоростями частиц).

И еще. Это не мои идеи, Вы мне льстите - это идеи Софуса Ли.

[vek88]

Во всяком случае, Вы подтолкнули меня попробовать сделать именно так. А с траекториями... я, видимо, не точен в выражениях. Под $n$-частичной траекторией я понимаю кривую в фазовом пространстве, заданную параметрически, а параметром является время

$$x_i_\alpha = x_i_\alpha(t).$$

В этом случае скорости и следующие производные вполне определены. И группу я беру - любую непрерывную группу преобразований пространства-времени, например, группу Галилея.

[Padawan]

vek88
Тогда мы говорим об одном и том же. И проще, чем я это делал не сделать. Это стандартный алгоритм: по заданной группе преобразований найти наиболее общий вид дифф. уравнений, допускающих эту группу.

Дифф. уравнение допускает группу если оно не меняет вид при преобразованиях из этой группы. Эквивалентно -преобразования переводят траектории в траектории.

[vek88]

Padawan
Спасибо за ликбез.

Итак, коли все верно математически, хочется понять каким траекториям можно приписать разумный физический смысл. Например, раньше я немного возмущался по поводу закрутона, который нам предлагал myhand. А сейчас смотрю на закрутон нормально. И даже если "свободная" частица будет описывать, например, некую "трехмерную фигуру Лиссажу" ..., а почему бы и нет?

Причем, в данном случае мне интересна именно вся траектория, а не ее локальное поведение.

[vek88]

Итак, закрутон воспринимается вполне нормальной частицей - это частица с определенной внутренней структурой, определяемой вектором угловой скорости и фазой.

А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения

$$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$

Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид

$$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.

[myhand]

vek88 в сообщении #306276 писал(а):

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид

$$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.

А может Вы неудачно записали гамильтониан? Нет? Может там _разность_ $x_\alpha - x_\alpha(0)$, скажем? Но дело даже не в этом.

Лагранжиан досататочно естественно, определен с точностью до полной производной. В соседнем топике обсуждалось - что соответствует этому для гамильтониана, см. пост: post305998.html#p305998 Например, очевидно, постоянное слагаемое или явно зависящее только от времени - никак не скажется на уравнениях движения.

[vek88]

myhand в сообщении #306279 писал(а):

vek88 в сообщении #306276 писал(а):

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид

$$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.

(1) А может Вы неудачно записали гамильтониан? Нет? Может там _разность_ $x_\alpha - x_\alpha(0)$, скажем? Но дело даже не в этом.

(2) Лагранжиан достататочно естественно, определен с точностью до полной производной. В соседнем топике обсуждалось - что соответствует этому для гамильтониана, см. пост: post305998.html#p305998 Например, очевидно, постоянное слагаемое или явно зависящее только от времени - никак не скажется на уравнениях движения.

1. А что, разве вид гамильтониана не очевиден в данном случае. Я считал, что достаточно найти функцию состояния $H(p_\alpha, x_\alpha),$ такую, что выполнены канонические уравнения Гамильтона

$$\dot x_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha},$$

$$\dot p_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial x_\alpha}.$$

С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы. Конечно, со знаком потенциальной энергии ошибся. Надо

$$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

[myhand]

vek88 в сообщении #306282 писал(а):

С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.

Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88 в сообщении #306282 писал(а):

2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид

$$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

А ДОЛЖЕН? Совершенно не обязательно. Гамильтониан _не_инвариантен_ относительно симметрий. Например, перехода в другую ИСО (это справедливо даже без слагаемого с ускорением). Это совершенно нормально и не отражается на уравнениях движения.

Я попытался по ссылке объяснить почему.

[vek88]

myhand в сообщении #306288 писал(а):

vek88 в сообщении #306282 писал(а):

С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.

Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88: а что такое $x_\alpha(0)$ - это что же, мы должны учитывать в гамильтониане, где была частица в момент ноль? Нетушки. Гамильтониан - это гамильтониан для всех частиц данного вида, где бы они не находились в момент ноль.

vek88 в сообщении #306282 писал(а):

2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид

$$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

А ДОЛЖЕН? Совершенно не обязательно. Гамильтониан _не_инвариантен_ относительно симметрий. Например, перехода в другую ИСО (это справедливо даже без слагаемого с ускорением). Это совершенно нормально и не отражается на уравнениях движения.

vek88: а как же, коммутатор гамильтониана и оператора импульса равен нулю!

Я попытался по ссылке объяснить почему.

[myhand]

vek88 в сообщении #306292 писал(а):

myhand в сообщении #306288 писал(а):

vek88 в сообщении #306282 писал(а):

С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.

Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88: а что такое $x_\alpha(0)$ - это что же, мы должны учитывать в гамильтониане, где была частица в момент ноль? Нетушки. Гамильтониан - это гамильтониан для всех частиц данного вида, где бы они не находились в момент ноль.

Ну, строго говоря, $H= m a_\alpha (x_\alpha(t) - y_\alpha) + \frac{p^2_\alpha(t)}{2 m}$. $y$ - некоторый постоянный вектор.

[Padawan]

vek88 в сообщении #306276 писал(а):

А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения

$$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$

Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

Это уравнение не инвариантно относительно вращений. Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.

[myhand]

Padawan в сообщении #306302 писал(а):

Это уравнение не инвариантно относительно вращений.

Относительно вращений - инвариантно. $a_\alpha$ - заданный вектор.

Padawan в сообщении #306302 писал(а):

Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.

Скажем так. Это в определенном предположении относительно порядка искомого уравнения. Добавьте еще два порядка - получите что-то в духе лагранжиана с высшими производными, пример которого я приводил.

[Padawan]

myhand
Не инвариантно. Запишите уравнение в развернутом виде, без индексов.