Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Видите ли, ситуация такая, что даже грамотно спросить не могу. Если бы мог, то и ответ бы, видимо, сам нашел. Поэтому даю варианты вопроса:

1. Какая (расширенная или нет) алгебра Ли соответствет классической механике? Предположительный ответ - разумеется, расширенная.

2. Если мы используем неприводимое представление $(m, s)$ группы Галилея, то оператор массы обязательно присутствует в алгебре Галилея? Предположительный ответ - да.

3. Почему для некоторых фазовых пространств и классов операторов на них удается найти представление нерасширенной алгебры Галилея (см. пример Padawan), а для некоторых существует только расширенное (классическое фазовое пространство + скобки Пуассона, кванты)? Здесь понятия не имею о правильном ответе.

4. Почему в нерелятивистской квантовой механике есть закон сохранения массы, а в классической механике, как бы, его нет? Ответ не знаю.

-- Чт апр 01, 2010 20:39:40 --

Поинтересовался у кандидита химических наук:
1. Какова сегодня точность взвешивания в химии? Ответ $10^{-5}$.
2. "Справедлив ли" сегодня закон сохранения массы в химии (дефект массы атома водорода порядка $10^{-8}$)? Ответ да, кроме радиохимии (в ней рассматриваются и ядерные реакции).

Таким образом, было бы естественно в классической механике иметь оператор массы, что естественно приводит к закону сохранения массы в классике.

[ИгорЪ]

Я же вам термины рассказал. Есть обертывающая алгебра Ли, она бесконечная и содержит Казимиров, а есть центрально расширенная. Это разные понятия. Оба используются. Масса не динамическая величина. Чё вы до неё докололись?

[vek88]

Термины мне и так были знакомы. А что толку?

Ну что ж - делать нечего, портвейн он отспорил,
Чуду-юду победил и убег.
Так принцессу с королем опозорил,
Бывший лучший но опальный стрелок.

Это я к тому, что за неимением других придется принимать волевое решение. Вот проект решения:

Слушали: Группа Галилея, как группа преобразований 4-вектора пространства-времени, это всего лишь подсказка для нас. И только. А после анализа этой группы, мы поняли, что существуют разные классы ее представлений, некоторые из которых пока в физике не используются (всего 5 классов, из которых 3 не используются, см. Фушич, Никитин). Нам в нашем случае интересен класс с ненулевой массой.

Постановили: В качестве представлений алгебры Галилея в механике частиц с ненулевой массой использовать представления с оператором массы (центральное расширение, если это прибавит понимания).

Прошу высказываться по проекту решения.

-- Чт апр 01, 2010 21:46:18 --

ЗЫ. Обращаю внимание, что проект постановления не безобидный. Он ведь запрещает основываться при построении уравнений нерелятивистской механики только на ковариантности этих уравнений? Необходимо еще проверять наличие расширенной оператором массы алгебры Галилея

[myhand]

vek88 в сообщении #305408 писал(а):

4. Почему в нерелятивистской квантовой механике есть закон сохранения массы, а в классической механике, как бы, его нет? Ответ не знаю.

Ответ простой. Унитарность эволюции встроена в КМ. Чему это соответствует в классической механике? Мне приходит на ум только одно - уравнение Лиувилля (сохранение фазового объема). Насколько я себе представляю, это эквивалентно гамильтоновости (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville% ... amiltonian)#Liouville_equation).

Т.е. ничего удивительного, что Вы получаете в квантовой механике результат _сразу_. В то время как в классике - вынуждены дополнительно прикручивать лагранжев/гамильтонов формализм.

[vek88]

А почему в релятивистской механике мы также получаем результат сразу? Т.е. не должны прикручивать гамильтонов формализм?

И опять же, если трактовать классическую механику как предел релятивистской, то обязательно получаем расширенную алгебру Галилея с оператором массы!?

Аналогично, если трактовать классическую механику как предел квантовой, то также обязательно получаем расширенную алгебру Галилея с оператором массы!?

Чувствуете, как там и сям возникают нестыковки при отказе в классической механике от оператора массы?

А может быть нам написать письмо с просьбой прояснить ситуацию ... ну, например, в отдел теорфизики в Стекловку? Или куда-нибудь на кафедру теорфизики типа в МГУ или на физтех?

[myhand]

vek88 в сообщении #305465 писал(а):

А почему в релятивистской механике мы также получаем результат сразу? Т.е. не должны прикручивать гамильтонов формализм?

А формально как это получается? Уверены, что здесь нет неоднозначностей?

Берем коммутатор из http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group Причем: $H = P_0$, $X_i = M_{0i}$. Откуда: $[M_{0 i}, P_j] = \eta_{0 j} P_i - \eta_{i j} P_0=[X_i,P_j]=\delta_{ij} H$

Почему Вы интерпретируете в нерелятивистском пределе правую часть таким образом, что получается константа (массовый оператор)?

[vek88]

myhand в сообщении #305476 писал(а):

Берем коммутатор из http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group Причем: $H = P_0$, $X_i = M_{0i}$. Откуда: $[M_{0 i}, P_j] = \eta_{0 j} P_i - \eta_{i j} P_0=[X_i,P_j]=\delta_{ij} H$

Почему Вы интерпретируете в нерелятивистском пределе правую часть таким образом, что получается константа (массовый оператор)?

Дык,

$$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$

[myhand]

vek88 в сообщении #305503 писал(а):

Дык,

$$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$

Вот и я к тому, что это на "физическом уровне строгости" разве. Напомню, что в одном из обсуждавшихся здесь представлений: $P_0 = \frac{\partial}{\partial t}$, $P_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$. Почему в _одном_ месте Вы подменяете оператор $H$ константой (может следует воспользоваться тем, что $P^2$ - оператор Каземира)?

[vek88]

vek88 в сообщении #305329 писал(а):

А вот еще масло в огонь - почему в релятивистской механике наша проблема не возникает? Там ведь сразу (если не ошибаюсь) представление группы Пуанкаре содержит коммутатор (никакого расширения не надо?)

$$[X_\alpha, P_\beta]=-i \delta_\alpha_\beta H.$$

И значит в нерелятивистском пределе Казимир-масса есть!?

Фактически, в связи с релятивистской механикой, два вопроса:

1. Нет нужды корячиться между нерасширенным и расширенным представлениями. Мы сразу имеем

$$[X_\alpha, P_\beta]= \delta_\alpha_\beta H.$$

А не

$$[X_\alpha, P_\beta]=0.$$

2. В релятивистском случае при использовании скобок Пуассона получаем обычное выражение

$$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$

Отсюда при малых импульсах получаем классику с $M$.

Короче, в этом случае мы совсем не сталкиваемся с нерасширенной алгеброй.

А по поводу примера Padawan - я вряд ли что-нибудь могу сказать. Вообще-то я не сторонник использовать фазовое пространство, дополненное временем. Ведь точка в фазовом пространстве отражает состояние системы в данный момент времени. Т.е. мы изучаем траектории в фазовом пространсте, которые и отражают изменения состояния со временем.

[vek88]

Вот еще дровишки в огонь нашего непонимания. Попробовал аккуратно в духе Padawan, но без времени, представить одну частицу в фазовом пр-ве координаты-импульс с алгеброй линейных дифференциальных операторов на этом пр-ве. Т.е. ищем представление алгебры Галилея операторами вида

$$X = f_\alpha \frac{\partial }{\partial x_\alpha} + g_\alpha \frac{\partial }{\partial p_\alpha},$$

где $f_\alpha, g_\alpha$ - вектор-функции состояния. Убедился, как это заподозрил раньше, что не существует представления расширенной алгебры Галилея. Существует только представление нерасширенной алгебры Галилея.

$$P_\alpha=\frac{\partial }{\partial x_\alpha},$$

$$X_\alpha=m\frac{\partial }{\partial p_\alpha},$$

$$H=\frac{p_\alpha}{m}\frac{\partial }{\partial x_\alpha}.$$

Видите? Некий параметр $m$ формально имеется, но он ничего не говорит об операторе массы, т.к.

$$[X_\alpha, P_\beta]=0.$$

[vek88]

Для самопроверки продолжил рассмотрение в духе Padawan. Воспроизвел случай $n=2$ для тождественных частиц. Все получилось легко и просто - нашел самый общий вид гамильтониана. Так вот - результирующие уравнения движения совпадают с полученными выше. В том числе, присутствует векторное произведение $v_1_2$ и $x_1_2.$

А вопрос вот в чем. Почему мы ранее решили, что это векторное произведение приводит к самоускорению? На самом деле в с.ц.и. это не самоускорение, а движение по сфере с постоянной скоростью и с постоянным углом поворота. Т.е. момент импульса не сохраняется? А значит надо проверить, все ли правильно у нас в плане коммутаторов с $J_\alpha$?

[myhand]

И что, у Вас автоматически система получилась гамильтоновой? У нас ведь выше - не получилась.

[vek88]

myhand в сообщении #305737 писал(а):

И что, у Вас автоматически система получилась гамильтоновой? У нас ведь выше - не получилась.

Давайте уточним, что значит гамильтонова.

Есть генераторы алгебры Галилея, в частности, оператор сдвига во времени $H$, который мы называем гамильтонианом. Но это не значит, что уравнения движения можно записать в виде канонических уравнения Гамильтона. Как в примере Padawan, который я воспроизвел более простыми средствами (без расширения временем, ростков и т.д.). Другими словами, просто нашел наиболее общий вид генераторов алгебры Галилея, но искал их в алгебре Ли линейных дифоператоров моего фазового пространства.

И только если мы используем аппарат скобок Пуассона для представления генераторов, вот тогда мы получим гамильтонианство, т.е. канонические уравнения Гамильтона.

[vek88]

Продолжим следовать идеям Padawan. Но, по возможности, простыми средствами.

Итак, что такое инвариантность относительно группы $G$ преобразований пространства-времени? Очень просто - это значит, что для всякого $g \in G$ и для любого семейства $S_n$ траекторий $n$ частиц мы можем указать $S_n(g)$ - семейство траекторий этих $n$ частиц, получаемое преобразованием $g$.

И все? И все. И пусть кто-нибудь скажет, что это не $G$-инвариантность.

Пример 1. Частица (назовем ее закрутон) двигается в плоскости $xy$ по окружности радиуса $\rho$ с центром в начале координат с угловой скоростью $\omega.$ Уравнения траектории имеют вид

$$x(t) = \rho sin {\omega t},$$

$$y(t) = \rho cos {\omega t},$$

$$z(t)=0.$$

Подставив вместо $x,y,z,t$ их значения, полученные преобразованием $g$, мы найдем вид этой траектории в соответствующей ИСО. Например, при переходе в движущуюся вдоль оси $z$ систему координат мы получим винтовую линию.

Разумеется, закрутон - это не простая частица. Для полного ее описания следует задать: координаты и скорость центра вращения, а также вектор угловой скорости и фазу.

Пример 2. Обобщая Пример 1, берем произвольную траекторию $x_\alpha=x_\alpha(t)$. Это одна "свободная" частица. Далее все как в Примере 1.

Пример 3. Две взаимодействующие частицы задаются семейством из двух произвольных траекторий

$$x_1_\alpha=x_1_\alpha(t),$$

$$x_2_\alpha=x_2_\alpha(t).$$

Далее все как в Примере 1.

Уважаемый Padawan! Не подобную ли конструкцию Вы имели в виду, когда строили свои генераторы?

[vek88]

Итак, $G$-инвариантность механики, понимаемая только как наличие представления группы $G$ на множестве траекторий частиц, - это слишком широкое понятие и позволяет строить всякую чушь.

Попробуем понять, что следует потребовать дополнительно, чтобы исключить ахинею. Начнем рассмотрение с одной свободной частицы. Для примера рассмотрим закрутон из Примера 1 предыдущего поста. Пусть закрутон покоится в начале координат. В этом случае состояние закрутона определяется вектором угловой скорости вращения $\omega_\alpha$, и вектором фазы $\rho_\alpha$. Вектор фазы по определению перпендикулярен вектору угловой скорости, имеет постоянную длину $\rho$ и направлен из центра вращения в точку, где находится закрутон.

В общем случае центр вращения находится в момент $t$ в точке $X_\alpha$ и имеет скорость $V_\alpha$. Таким образом, состояние закрутона определяют 10 независимых параметров.

Построим уравнения движения закрутона в случае, когда он (его центр вращения) покоится. В этом случае

$$v_\alpha= \epsilon_\alpha_\beta_\gamma \omega_\beta \rho_\gamma,$$

$$\dot v_\alpha= -\omega^2 \rho_\alpha.$$

А теперь попробуем понять - в чем криминал этих уравнений движения?

Не двигается равномерно и прямолинейно? Нетушки - центр вращения - его и следует считать центром частицы - покоится.

Идем дальше. От времени вид уравнения не зависит. При переходе в другую ИСО центр (вращения) частицы покоится или двигается равномерно и прямолинейно, а вид уравнений сохраняется, как легко видеть. Т.е. вполне приличная частица - в точности в духе myhand.

Так что, коллеги, никакого криминала нет в закрутоне? Может это и есть сермяжная правда?