2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение01.04.2010, 20:28 


15/10/09
1344
Видите ли, ситуация такая, что даже грамотно спросить не могу. Если бы мог, то и ответ бы, видимо, сам нашел. Поэтому даю варианты вопроса:

1. Какая (расширенная или нет) алгебра Ли соответствет классической механике? Предположительный ответ - разумеется, расширенная.

2. Если мы используем неприводимое представление $(m, s)$ группы Галилея, то оператор массы обязательно присутствует в алгебре Галилея? Предположительный ответ - да.

3. Почему для некоторых фазовых пространств и классов операторов на них удается найти представление нерасширенной алгебры Галилея (см. пример Padawan), а для некоторых существует только расширенное (классическое фазовое пространство + скобки Пуассона, кванты)? Здесь понятия не имею о правильном ответе.

4. Почему в нерелятивистской квантовой механике есть закон сохранения массы, а в классической механике, как бы, его нет? Ответ не знаю.

-- Чт апр 01, 2010 20:39:40 --

Поинтересовался у кандидита химических наук:
1. Какова сегодня точность взвешивания в химии? Ответ $10^{-5}$.
2. "Справедлив ли" сегодня закон сохранения массы в химии (дефект массы атома водорода порядка $10^{-8}$)? Ответ да, кроме радиохимии (в ней рассматриваются и ядерные реакции).

Таким образом, было бы естественно в классической механике иметь оператор массы, что естественно приводит к закону сохранения массы в классике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение01.04.2010, 21:10 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Я же вам термины рассказал. Есть обертывающая алгебра Ли, она бесконечная и содержит Казимиров, а есть центрально расширенная. Это разные понятия. Оба используются. Масса не динамическая величина. Чё вы до неё докололись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение01.04.2010, 21:28 


15/10/09
1344
Термины мне и так были знакомы. А что толку?

Ну что ж - делать нечего, портвейн он отспорил,
Чуду-юду победил и убег.
Так принцессу с королем опозорил,
Бывший лучший но опальный стрелок.

Это я к тому, что за неимением других придется принимать волевое решение. Вот проект решения:

Слушали: Группа Галилея, как группа преобразований 4-вектора пространства-времени, это всего лишь подсказка для нас. И только. А после анализа этой группы, мы поняли, что существуют разные классы ее представлений, некоторые из которых пока в физике не используются (всего 5 классов, из которых 3 не используются, см. Фушич, Никитин). Нам в нашем случае интересен класс с ненулевой массой.

Постановили: В качестве представлений алгебры Галилея в механике частиц с ненулевой массой использовать представления с оператором массы (центральное расширение, если это прибавит понимания).

Прошу высказываться по проекту решения.

-- Чт апр 01, 2010 21:46:18 --

ЗЫ. Обращаю внимание, что проект постановления не безобидный. Он ведь запрещает основываться при построении уравнений нерелятивистской механики только на ковариантности этих уравнений? Необходимо еще проверять наличие расширенной оператором массы алгебры Галилея

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение01.04.2010, 22:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #305408 писал(а):
4. Почему в нерелятивистской квантовой механике есть закон сохранения массы, а в классической механике, как бы, его нет? Ответ не знаю.


Ответ простой. Унитарность эволюции встроена в КМ. Чему это соответствует в классической механике? Мне приходит на ум только одно - уравнение Лиувилля (сохранение фазового объема). Насколько я себе представляю, это эквивалентно гамильтоновости (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville% ... amiltonian)#Liouville_equation).

Т.е. ничего удивительного, что Вы получаете в квантовой механике результат _сразу_. В то время как в классике - вынуждены дополнительно прикручивать лагранжев/гамильтонов формализм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение01.04.2010, 23:08 


15/10/09
1344
А почему в релятивистской механике мы также получаем результат сразу? Т.е. не должны прикручивать гамильтонов формализм?

И опять же, если трактовать классическую механику как предел релятивистской, то обязательно получаем расширенную алгебру Галилея с оператором массы!?

Аналогично, если трактовать классическую механику как предел квантовой, то также обязательно получаем расширенную алгебру Галилея с оператором массы!?

Чувствуете, как там и сям возникают нестыковки при отказе в классической механике от оператора массы?

А может быть нам написать письмо с просьбой прояснить ситуацию ... ну, например, в отдел теорфизики в Стекловку? Или куда-нибудь на кафедру теорфизики типа в МГУ или на физтех?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 00:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #305465 писал(а):
А почему в релятивистской механике мы также получаем результат сразу? Т.е. не должны прикручивать гамильтонов формализм?


А формально как это получается? Уверены, что здесь нет неоднозначностей?

Берем коммутатор из http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group Причем: $H = P_0$, $X_i = M_{0i}$. Откуда: $[M_{0 i}, P_j] = \eta_{0 j} P_i - \eta_{i j} P_0=[X_i,P_j]=\delta_{ij} H$

Почему Вы интерпретируете в нерелятивистском пределе правую часть таким образом, что получается константа (массовый оператор)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 07:51 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #305476 писал(а):

Берем коммутатор из http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group Причем: $H = P_0$, $X_i = M_{0i}$. Откуда: $[M_{0 i}, P_j] = \eta_{0 j} P_i - \eta_{i j} P_0=[X_i,P_j]=\delta_{ij} H$

Почему Вы интерпретируете в нерелятивистском пределе правую часть таким образом, что получается константа (массовый оператор)?
Дык, $$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 11:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #305503 писал(а):
Дык, $$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$


Вот и я к тому, что это на "физическом уровне строгости" разве. Напомню, что в одном из обсуждавшихся здесь представлений: $P_0 = \frac{\partial}{\partial t}$, $P_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$. Почему в _одном_ месте Вы подменяете оператор $H$ константой (может следует воспользоваться тем, что $P^2$ - оператор Каземира)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 16:41 


15/10/09
1344
vek88 в сообщении #305329 писал(а):
А вот еще масло в огонь - почему в релятивистской механике наша проблема не возникает? Там ведь сразу (если не ошибаюсь) представление группы Пуанкаре содержит коммутатор (никакого расширения не надо?) $$[X_\alpha, P_\beta]=-i \delta_\alpha_\beta H.$$ И значит в нерелятивистском пределе Казимир-масса есть!?
Фактически, в связи с релятивистской механикой, два вопроса:

1. Нет нужды корячиться между нерасширенным и расширенным представлениями. Мы сразу имеем $$[X_\alpha, P_\beta]= \delta_\alpha_\beta H.$$ А не $$[X_\alpha, P_\beta]=0.$$
2. В релятивистском случае при использовании скобок Пуассона получаем обычное выражение $$H=\sqrt{M^2+P^2_\alpha}.$$ Отсюда при малых импульсах получаем классику с $M$.

Короче, в этом случае мы совсем не сталкиваемся с нерасширенной алгеброй.

А по поводу примера Padawan - я вряд ли что-нибудь могу сказать. Вообще-то я не сторонник использовать фазовое пространство, дополненное временем. Ведь точка в фазовом пространстве отражает состояние системы в данный момент времени. Т.е. мы изучаем траектории в фазовом пространсте, которые и отражают изменения состояния со временем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 19:06 


15/10/09
1344
Вот еще дровишки в огонь нашего непонимания. Попробовал аккуратно в духе Padawan, но без времени, представить одну частицу в фазовом пр-ве координаты-импульс с алгеброй линейных дифференциальных операторов на этом пр-ве. Т.е. ищем представление алгебры Галилея операторами вида $$X = f_\alpha \frac{\partial }{\partial x_\alpha} + g_\alpha \frac{\partial }{\partial p_\alpha},$$ где $f_\alpha, g_\alpha$ - вектор-функции состояния. Убедился, как это заподозрил раньше, что не существует представления расширенной алгебры Галилея. Существует только представление нерасширенной алгебры Галилея. $$P_\alpha=\frac{\partial }{\partial x_\alpha},$$ $$X_\alpha=m\frac{\partial }{\partial p_\alpha},$$ $$H=\frac{p_\alpha}{m}\frac{\partial }{\partial x_\alpha}.$$ Видите? Некий параметр $m$ формально имеется, но он ничего не говорит об операторе массы, т.к. $$[X_\alpha, P_\beta]=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 21:57 


15/10/09
1344
Для самопроверки продолжил рассмотрение в духе Padawan. Воспроизвел случай $n=2$ для тождественных частиц. Все получилось легко и просто - нашел самый общий вид гамильтониана. Так вот - результирующие уравнения движения совпадают с полученными выше. В том числе, присутствует векторное произведение $v_1_2$ и $x_1_2.$

А вопрос вот в чем. Почему мы ранее решили, что это векторное произведение приводит к самоускорению? На самом деле в с.ц.и. это не самоускорение, а движение по сфере с постоянной скоростью и с постоянным углом поворота. Т.е. момент импульса не сохраняется? А значит надо проверить, все ли правильно у нас в плане коммутаторов с $J_\alpha$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 22:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
И что, у Вас автоматически система получилась гамильтоновой? У нас ведь выше - не получилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение02.04.2010, 22:39 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #305737 писал(а):
И что, у Вас автоматически система получилась гамильтоновой? У нас ведь выше - не получилась.
Давайте уточним, что значит гамильтонова.

Есть генераторы алгебры Галилея, в частности, оператор сдвига во времени $H$, который мы называем гамильтонианом. Но это не значит, что уравнения движения можно записать в виде канонических уравнения Гамильтона. Как в примере Padawan, который я воспроизвел более простыми средствами (без расширения временем, ростков и т.д.). Другими словами, просто нашел наиболее общий вид генераторов алгебры Галилея, но искал их в алгебре Ли линейных дифоператоров моего фазового пространства.

И только если мы используем аппарат скобок Пуассона для представления генераторов, вот тогда мы получим гамильтонианство, т.е. канонические уравнения Гамильтона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 07:21 


15/10/09
1344
Продолжим следовать идеям Padawan. Но, по возможности, простыми средствами.

Итак, что такое инвариантность относительно группы $G$ преобразований пространства-времени? Очень просто - это значит, что для всякого $g \in G$ и для любого семейства $S_n$ траекторий $n$ частиц мы можем указать $S_n(g)$ - семейство траекторий этих $n$ частиц, получаемое преобразованием $g$.

И все? И все. И пусть кто-нибудь скажет, что это не $G$-инвариантность.

Пример 1. Частица (назовем ее закрутон) двигается в плоскости $xy$ по окружности радиуса $\rho$ с центром в начале координат с угловой скоростью $\omega.$ Уравнения траектории имеют вид $$x(t) = \rho sin {\omega t},$$ $$y(t) = \rho cos {\omega t},$$ $$z(t)=0.$$ Подставив вместо $x,y,z,t$ их значения, полученные преобразованием $g$, мы найдем вид этой траектории в соответствующей ИСО. Например, при переходе в движущуюся вдоль оси $z$ систему координат мы получим винтовую линию.

Разумеется, закрутон - это не простая частица. Для полного ее описания следует задать: координаты и скорость центра вращения, а также вектор угловой скорости и фазу.

Пример 2. Обобщая Пример 1, берем произвольную траекторию $x_\alpha=x_\alpha(t)$. Это одна "свободная" частица. Далее все как в Примере 1.

Пример 3. Две взаимодействующие частицы задаются семейством из двух произвольных траекторий $$x_1_\alpha=x_1_\alpha(t),$$ $$x_2_\alpha=x_2_\alpha(t).$$ Далее все как в Примере 1.

Уважаемый Padawan! Не подобную ли конструкцию Вы имели в виду, когда строили свои генераторы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 10:55 


15/10/09
1344
Итак, $G$-инвариантность механики, понимаемая только как наличие представления группы $G$ на множестве траекторий частиц, - это слишком широкое понятие и позволяет строить всякую чушь.

Попробуем понять, что следует потребовать дополнительно, чтобы исключить ахинею. Начнем рассмотрение с одной свободной частицы. Для примера рассмотрим закрутон из Примера 1 предыдущего поста. Пусть закрутон покоится в начале координат. В этом случае состояние закрутона определяется вектором угловой скорости вращения $\omega_\alpha$, и вектором фазы $\rho_\alpha$. Вектор фазы по определению перпендикулярен вектору угловой скорости, имеет постоянную длину $\rho$ и направлен из центра вращения в точку, где находится закрутон.

В общем случае центр вращения находится в момент $t$ в точке $X_\alpha$ и имеет скорость $V_\alpha$. Таким образом, состояние закрутона определяют 10 независимых параметров.

Построим уравнения движения закрутона в случае, когда он (его центр вращения) покоится. В этом случае $$v_\alpha= \epsilon_\alpha_\beta_\gamma \omega_\beta \rho_\gamma,$$ $$\dot v_\alpha= -\omega^2 \rho_\alpha.$$ А теперь попробуем понять - в чем криминал этих уравнений движения?

Не двигается равномерно и прямолинейно? Нетушки - центр вращения - его и следует считать центром частицы - покоится.

Идем дальше. От времени вид уравнения не зависит. При переходе в другую ИСО центр (вращения) частицы покоится или двигается равномерно и прямолинейно, а вид уравнений сохраняется, как легко видеть. Т.е. вполне приличная частица - в точности в духе myhand.

Так что, коллеги, никакого криминала нет в закрутоне? Может это и есть сермяжная правда?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group