2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 09:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 10:38 


15/10/09
1344
К моемы предыдущему глупому вопросу в сообщении #304332 добавлю, что:

- с одной стороны, отказ от скобок Пуассона в пользу линейных дифоператоров общего вида расширяет вид представлений алгебры Галилея - например, появляются псевдовекторы в парных взаимодействиях; при использовании скобок парное взаимодействие зависит только от квадаратов разности векторов координат и импульсов, и от их скалярного произведения;

- а сдругой стороны - сужает, т.к. изымается возможность введения оператора Казимира $M$.

Короче, ясно, что ничего не ясно - хотел как лучше, а вышло как всегда. Еще короче, назад за скобки Пуассона.

Получается, что я поступал очень нравственно, работая именно со скобками Пуассона.

-- Вт мар 30, 2010 10:52:18 --

Padawan в сообщении #304335 писал(а):
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?

Обобщая это приходим к выводу, что просто представление алгебры Галилея гарантирует наличие генераторов (удовлетворяющих нужным коммутаторам, возможно без $M$). Но не гарантирует наличие соответствующих законов сохранения?

А как же теорема Нетер? Ага, она оказывается только для систем с лагранжевым формализмом (или эквивалентным). Вот оно что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 12:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304335 писал(а):
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.


Да, я поторопился с vek88 согласиться. Очень уж хотелось выкинуть... Но нужный псевдоскаляр построить никаких проблем нет (из тензора Леви-Чивиты, например).

vek88 в сообщении #304375 писал(а):
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?


Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 12:22 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #304403 писал(а):
vek88 в сообщении #304375 писал(а):
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?
Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.
Я все-таки следую своему предложению ограничиться тождественными частицами. В этом случае $f_1$ и $f_2$ антисимметричны относительно перестановки частиц. И поэтому суммарный импульс сохраняется.

Впрочем, это мелочи. А суть в том, что без скобок Пуассона (или чего-то эквивалентнго) полный пипец?

Таким образом, если принять традиционное фазовое пространство с алгеброй операторов в соответствии со скобками Пуассона, то однозначно приходим к подалгебре Галилея, соответствующей классической механике.

А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 13:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #304412 писал(а):
А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?


Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
myhand в сообщении #304443 писал(а):
Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.

В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.

Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.

К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:44 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304457 писал(а):
А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.


Если построите явный контрпример - будет очень интересно.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.


Ну почему. Действие в форме $S=\int (p dx - H dt)$ также будет локальным минимумом (варьируются $p$ и $x$ независимо, причем $\delta x=0$ на границах интегрирования) только если масса положительна (рассмотрите случай свободной частицы с $H=p^2/(2m)$).

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?


Преобразования симметрии обеспечивают наличие канонических преобразований для перехода к переменным действие-угол (интегралы типа энергии и импульса системы - соответствующие обобщенные импульсы). В сущности, то же самое, что и в лагранжевом варианте: обеспечивается наличие некоторого набора интегралов движения.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.


Не заметил ничего подобного. Там анализируется случай свободных частиц. Вполне строго. А вот взаимодействие - просто вводится "с потолка": $L=\sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} - U(x_1,x_2,\dots)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:51 


15/10/09
1344
Думаю, что в гамильтоновом варианте теорема Нетер даже еще более очевидна. Например, что такое наши генераторы $H, P_\alpha, J_\alpha$. Это ведь и есть интегралы системы дифуров.

Относительно ЛЛ - он мне всегда не нравился именно за постоянное нагромождение "хитростей". Может быть именно поэтому я в свое время (в молодости) пошел по пути представлений групп. Нам идеологию представлений групп на примере группы вращений (спин и все такое) очень хорошо дали на лекциях "Допглавы квантовой механики".

А почему в классике я выбрал представление групп именно скобками Пуассона? Да видимо ничего подходящего кроме них и не знал? Сейчас точно и не впомнить. Но оказывается поступил очень правильно.

А вот что интересно - ведь в квантовой механике проблем, аналогичных тутошним и не возникает? Т.е. из Галилей (Пуанкаре) инвариантности для безспиновой частицы сразу следует уравнение Шредингера (положительная ветвь Клейна_Гордона)? Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 15:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
Ну вот уравнения для частиц, которые раскручиваются вокруг "геометрического центра" с постоянным угловым ускорением $\varepsilon>0$
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot x_1=-\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}+\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\
\ddot x_2=\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}-\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\
\end{array} \right.
$$
Будут ли они лагранжевыми\гамильтоновыми - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:23 


15/10/09
1344
Постойте. Если частицы гамильтоновы, и все Галилей-инвариантно, то никто самораскручиваться или саморазгоняться не может в силу законов сохранения импульса и момента импульса.

Так что Ваш последний пример заведомо не гамильтонов? И, следовательно, не лагранжев?

Объяснение. Взаимодействие дает слагаемое гамильтониана $V$ - скалярная функция от квадрата разности векторов координат частиц, квадрата разности векторов импульсов частиц, скалярного произведения этих двух векторов.

Хотя это объяснение избыточно в силу упомянутых законов сохранения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:50 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #304613 писал(а):
Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.
На случай ненулевой массы теория неприводимых представления алгебры Галилея не дает никаких ограничений - может быть и отрицательной (см. Фушич, Никитин). Я не считаю это чем-то фатальным или неправильным - просто мы не наблюдаем такого в жизни. А с точки зрения СТО - это ведь, кажется, просто отрицательная ветвь Клейна-Гордона? А классика - это нерелятивистский предел. Вот и отрицательная масса.

И еще, никто ведь не исключает возможности частиц со скоростью больше $c$ в СТО, хотя этого никто не наблюдал.

Кстати, есть классы представлений алгебры Галилея с нулевой массой и даже с $m^2<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Так.

А про T-симметрию я и забыл, разбирая вектор сил. А именно из-за этого мне понадобился модуль скалярного произведения, убрать который "посоветовал" Padawan... :)

Так что векторное произведение и относительная скорость - не годятся. Общий вид уравнений движения проще ($f$ и $g$ - скалярные функции):
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\dot v_1 = x_{12} f(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\
\dot v_2 = x_{12} g(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\
\end{array} \right.
$$

Так что контрпример Padawan - не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 20:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
myhand
что такое Т-симметрия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 20:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
http://en.wikipedia.org/wiki/T-symmetry

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group