Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).
А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати,
). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.
В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип
наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу
стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.
Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.
К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?