2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 09:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 10:38 


15/10/09
1344
К моемы предыдущему глупому вопросу в сообщении #304332 добавлю, что:

- с одной стороны, отказ от скобок Пуассона в пользу линейных дифоператоров общего вида расширяет вид представлений алгебры Галилея - например, появляются псевдовекторы в парных взаимодействиях; при использовании скобок парное взаимодействие зависит только от квадаратов разности векторов координат и импульсов, и от их скалярного произведения;

- а сдругой стороны - сужает, т.к. изымается возможность введения оператора Казимира $M$.

Короче, ясно, что ничего не ясно - хотел как лучше, а вышло как всегда. Еще короче, назад за скобки Пуассона.

Получается, что я поступал очень нравственно, работая именно со скобками Пуассона.

-- Вт мар 30, 2010 10:52:18 --

Padawan в сообщении #304335 писал(а):
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?

Обобщая это приходим к выводу, что просто представление алгебры Галилея гарантирует наличие генераторов (удовлетворяющих нужным коммутаторам, возможно без $M$). Но не гарантирует наличие соответствующих законов сохранения?

А как же теорема Нетер? Ага, она оказывается только для систем с лагранжевым формализмом (или эквивалентным). Вот оно что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 12:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304335 писал(а):
myhand в сообщении #304198 писал(а):
PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.


Да, я поторопился с vek88 согласиться. Очень уж хотелось выкинуть... Но нужный псевдоскаляр построить никаких проблем нет (из тензора Леви-Чивиты, например).

vek88 в сообщении #304375 писал(а):
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?


Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 12:22 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #304403 писал(а):
vek88 в сообщении #304375 писал(а):
А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?
Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.
Я все-таки следую своему предложению ограничиться тождественными частицами. В этом случае $f_1$ и $f_2$ антисимметричны относительно перестановки частиц. И поэтому суммарный импульс сохраняется.

Впрочем, это мелочи. А суть в том, что без скобок Пуассона (или чего-то эквивалентнго) полный пипец?

Таким образом, если принять традиционное фазовое пространство с алгеброй операторов в соответствии со скобками Пуассона, то однозначно приходим к подалгебре Галилея, соответствующей классической механике.

А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 13:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #304412 писал(а):
А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?


Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
myhand в сообщении #304443 писал(а):
Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.

В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.

Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.

К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:44 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304457 писал(а):
А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.


Если построите явный контрпример - будет очень интересно.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.


Ну почему. Действие в форме $S=\int (p dx - H dt)$ также будет локальным минимумом (варьируются $p$ и $x$ независимо, причем $\delta x=0$ на границах интегрирования) только если масса положительна (рассмотрите случай свободной частицы с $H=p^2/(2m)$).

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?


Преобразования симметрии обеспечивают наличие канонических преобразований для перехода к переменным действие-угол (интегралы типа энергии и импульса системы - соответствующие обобщенные импульсы). В сущности, то же самое, что и в лагранжевом варианте: обеспечивается наличие некоторого набора интегралов движения.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):
Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.


Не заметил ничего подобного. Там анализируется случай свободных частиц. Вполне строго. А вот взаимодействие - просто вводится "с потолка": $L=\sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} - U(x_1,x_2,\dots)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 14:51 


15/10/09
1344
Думаю, что в гамильтоновом варианте теорема Нетер даже еще более очевидна. Например, что такое наши генераторы $H, P_\alpha, J_\alpha$. Это ведь и есть интегралы системы дифуров.

Относительно ЛЛ - он мне всегда не нравился именно за постоянное нагромождение "хитростей". Может быть именно поэтому я в свое время (в молодости) пошел по пути представлений групп. Нам идеологию представлений групп на примере группы вращений (спин и все такое) очень хорошо дали на лекциях "Допглавы квантовой механики".

А почему в классике я выбрал представление групп именно скобками Пуассона? Да видимо ничего подходящего кроме них и не знал? Сейчас точно и не впомнить. Но оказывается поступил очень правильно.

А вот что интересно - ведь в квантовой механике проблем, аналогичных тутошним и не возникает? Т.е. из Галилей (Пуанкаре) инвариантности для безспиновой частицы сразу следует уравнение Шредингера (положительная ветвь Клейна_Гордона)? Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 15:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Ну вот уравнения для частиц, которые раскручиваются вокруг "геометрического центра" с постоянным угловым ускорением $\varepsilon>0$
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot x_1=-\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}+\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\
\ddot x_2=\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}-\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\
\end{array} \right.
$$
Будут ли они лагранжевыми\гамильтоновыми - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:23 


15/10/09
1344
Постойте. Если частицы гамильтоновы, и все Галилей-инвариантно, то никто самораскручиваться или саморазгоняться не может в силу законов сохранения импульса и момента импульса.

Так что Ваш последний пример заведомо не гамильтонов? И, следовательно, не лагранжев?

Объяснение. Взаимодействие дает слагаемое гамильтониана $V$ - скалярная функция от квадрата разности векторов координат частиц, квадрата разности векторов импульсов частиц, скалярного произведения этих двух векторов.

Хотя это объяснение избыточно в силу упомянутых законов сохранения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:50 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #304613 писал(а):
Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.
На случай ненулевой массы теория неприводимых представления алгебры Галилея не дает никаких ограничений - может быть и отрицательной (см. Фушич, Никитин). Я не считаю это чем-то фатальным или неправильным - просто мы не наблюдаем такого в жизни. А с точки зрения СТО - это ведь, кажется, просто отрицательная ветвь Клейна-Гордона? А классика - это нерелятивистский предел. Вот и отрицательная масса.

И еще, никто ведь не исключает возможности частиц со скоростью больше $c$ в СТО, хотя этого никто не наблюдал.

Кстати, есть классы представлений алгебры Галилея с нулевой массой и даже с $m^2<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 19:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Так.

А про T-симметрию я и забыл, разбирая вектор сил. А именно из-за этого мне понадобился модуль скалярного произведения, убрать который "посоветовал" Padawan... :)

Так что векторное произведение и относительная скорость - не годятся. Общий вид уравнений движения проще ($f$ и $g$ - скалярные функции):
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\dot v_1 = x_{12} f(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\
\dot v_2 = x_{12} g(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\
\end{array} \right.
$$

Так что контрпример Padawan - не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 20:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
myhand
что такое Т-симметрия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 20:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
http://en.wikipedia.org/wiki/T-symmetry

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 19  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group