2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 10:32 


15/10/09
1344
Вот и славно, что мы все согласовали. А почему с таким трудом согласовывали подобные пустяки? Да, это, конечно, пустяки, но в неизведанном лесу. А в таком лесу обычная коряга может запросто привидиться страшным лешим.
Padawan в сообщении #306466 писал(а):
vek88 в сообщении #306422 писал(а):
Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения.
То есть $a_1, a_2, a_3$ - это тоже переменные, удовлетворяющие уравнениям
$$\dot a_1=0, \dot a_2=0, \dot a_3=0$$ Тогда да, инвариантность будет. Если вращения задевают и эти переменные.
Это пример неизведанности леса. Ведь я трактую вектор ускорения $a_\alpha$ как характеристику конкретной частицы, которая вполне определена и является постоянной величиной. Поэтому мне не приходило в голову писать уравнения для этого вектора.

Но и Вы тоже правы. Нам никто не запрещает писать уравнения для этого вектора. Логически, можно и так и так.

И, конечно, Вы правы в том, что в уравнении движения $a_\alpha$ - это переменная. Но вместо переменной можно подставлять константы (как делаю я), а можно переменные (как делаете Вы).
Padawan в сообщении #306485 писал(а):
Тогда уж можно сразу записать уравнение $\dddot x=0$
Да, конечно. Но это опять пример того же рода. И дело вкуса. Например, myhand любит такие уравнения. А я нет, но привыкаю.

Резюмируя, в этом лесу пока еще нет традиций и устоявшейся терминологии. Поэтому у нас были и будут соответствующие трудности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 13:17 


15/10/09
1344
Интуитивно гамильтониан для акселерона имеет вид$$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но я как-то в этом не очень уверен. На вектор $a_\alpha$ я смотрю как на величину того же сорта, что и масса частицы $m$. Обе они - характеристики конкретного акселерона. Вся разница в том, что первая - вектор, а вторая - скаляр. И в конце концов, ведь есть же, например, у электрона спин и магнитный момент.

Каково мнение общественности по поводу гамильтониана для акселерона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 18:52 


15/10/09
1344
Такое ощущение, что мы углубляемся в чисто академические упражнения. А значит, пора подвести итоги темы. Тем более, все для этого у нас уже имеется.

Итак, цель темы состояла в выводе классической механики из Галилей-инвариантности. В принципе, это сделать удалось, но, как оказалось, при неявном предположении о гамильтоновом виде механики. Это объясняется тем, что известная теорема Нетер применима к лагранжевым и/или гамильтоновым системам. Кроме того, аппарат скобок Пуассона в неявном виде предполагает гамильтоновость системы, т.е. возможность описать ее движение в виде канонических уравнений Гамильтона.

Если ограничиться требованием Галилей-ковариантности уравнений движения в виде произвольных обыкновенных дифференциальных уравнений, то мы явно выходим за рамки классической механики даже в случае одной свободной частицы. Так, например, Padawan в сообщении #306485 предложил вполне Галилей-ковариантное уравнение движения акселерона - частицы, нарушающей первый закон Ньютона. $$\dddot x_\alpha=0.$$ Уважаемые коллеги! Просьба дополнить и/или поправить меня, если сочтете необходимым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 20:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88, вообще-то уравнение с третьей производной - не инвариантно относительно обращения времени ($T$-симметрия). Думаю, что неявно выбор гамильтонова формализма - добавляет подобные преобразования.

Другой пример - пространственная инверсия ($P$-симметрия). Почему мы не включаем подобные преобразования и ищем представление только, так сказать, односвязной группы Галилея?

С другой стороны, похоже даже добавление этих дискретных преобразований не позволяет еще получить симплектическую структуру и гамильтониан в случае с двумя частицами. Напомню, получались следующие уравнения:
$$\left\{\begin{array}{l}\dot v_1 = x_{12} f_1 + v_{12} (v_{12}\cdot x_{12}) g_1 \\
\dot v_2 = x_{12} f_2 + v_{12} (v_{12}\cdot x_{12}) g_2 \\
 \end{array}\right.$$
где $f_{1,2}$ и $g_{1,2}$ являются функциями инвариантов $|x_{12}|$, $|v_{12}|$ и $|x_{12}\cdot v_{12}|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 21:24 


15/10/09
1344
А так лучше? $$\ddddot x_\alpha=0.$$ И мне кажется, что $T-$симметрия - это уже непринципиальные и спорные тонкости, если говорить о классической механике.

А две частицы мне как-то стали не интересны, поскольку уже для одной частицы просто Галилей-ковариантность может производить на свет всякую чушь. А для двух, думаю, какой-угодно бардак можно предложить, если исходить только из Галилей-ковариантности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 21:35 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
0) Лучше. И это вполне лагранжева/гамильтонова механика.

1) Вообще-то $T$-симметрия для _классической механики_ - вовсе не непринципиальна. Отнюдь не. Иначе вполне логично получить в варианте Padawan что-то типа диссипативных сил.

2) А для одной свободной частицы все похоже сводится таки к гамильтоновой механике. Контрпримера никто не привел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 22:00 


15/10/09
1344
А как же гамильтониан акселерона? $$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Он ведь не коммутирует, как должно быть в алгебре Галилея, с оператором импульса, который, мне кажется, попрежнему равен $p_\alpha.$

Другими словами, как только мы переходим к гамильтоной записи, Галилей-инвариантности капут!? Мы ведь уже говорили об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 22:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Так мы, кажется, уже решили этот вопрос. Я предложил Вам представить гамильтониан в виде $$H=- m a_\alpha (x_\alpha - y_\alpha) + \frac{p^2_\alpha}{2m}$$ Где $y_\alpha$ - постоянный радиус-вектор в пространстве (в т.ч. преобразуется как координата при трансляциях). Строго говоря, наряду в тройкой $a_\alpha$, $p_\alpha$ и $x_\alpha$ - его нужно добавить в Ваше "пространство состояний".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 09:22 


15/10/09
1344
Видите ли, добавив что-то в мое пространство состояний, Вы получите свое пространство состояний. Имеете право. Но это будет другая частица.

И вообще, надо заканчивать с подобной подменой понятий. Говоря о лагранжевом или гамильтоновом формализме в классической механике мы с Нетер имеем в виду классическое фазовое пространство: координаты (обычные, не обобщенные) и импульсы (тоже обычные), в котором действует, например, группа Галилея.

А Вы имеете в виду лагранжев или гамильтонов формализм в обощенном виде, никак не связанном со структурой простраства или группой Галилея. Имеете право - но причем здесь мы и наша тема. Откройте соответствующую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 09:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Я лично против уравнений выше второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 10:45 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #306782 писал(а):
Я лично против уравнений выше второго порядка.
Формально, происхождение высших производных объясняется возможностью сведения обыкновенного дифура $n-$й степени к системе дифуров первого порядка. Но здесь зарыты связи (обобщенный импульс приравнивается к обобщенной координате) и потеря стандартного смысла координат и импульсов.

Таким образом, я солидарен с Вами - спекуляции на тему высших производных в контексте рассматриваемой темы неуместны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 12:29 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88, Вы просто _неправильно_ выбрали представление - отчего у вас и получился коммутатор неверный. Добавьте постоянный радиус-вектор - все будет нормально. Это исправление Вашей ошибки, а не просто "мое представление". Ваше представление - просто не является таковым, что и показывает ненулевой коммутатор.

Padawan в сообщении #306782 писал(а):
Я лично против уравнений выше второго порядка.


А почему? Это все-таки дополнительное ограничение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 15:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
myhand в сообщении #306837 писал(а):
Padawan в сообщении #306782 писал(а):
Я лично против уравнений выше второго порядка.

А почему? Это все-таки дополнительное ограничение.

myhand
Как известно из опыта, ... :-) Что там дальше Ландау-Лифшиц пишут?

Кстати, по поводу уравнения $\dddot x=0$. Помню в курсе физики оно возникло как одно из решений уравнений движения свободной электрически заряженной частицы, и было отвергнуто, как нефизическое. Память мне не изменяет? Вот-он акселерон-то где сидит )))

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 16:36 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #306908 писал(а):
Как известно из опыта, ... :-) Что там дальше Ландау-Лифшиц пишут?


О чем и речь. Это _дополнительное_ ограничение. С симметриями, вообще говоря - никак не связанное.

Padawan в сообщении #306908 писал(а):
Кстати, по поводу уравнения $\dddot x=0$. Помню в курсе физики оно возникло как одно из решений уравнений движения свободной электрически заряженной частицы, и было отвергнуто, как нефизическое. Память мне не изменяет?


Вообще-то изменяет. В отсутствие внешнего поля уравнение Дирака-Лоренца выглядит так: $m \dot v = \frac{2 e^2}{3} \ddot v$. Там есть решение, для которого ускорение растет по экспоненте. Именно это называют нефизическим "самоускоряющимся" решением. И исключают подходящим выбором граничных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение06.04.2010, 19:59 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #306665 писал(а):
1) Вообще-то -симметрия для _классической механики_ - вовсе не непринципиальна. Отнюдь не. Иначе вполне логично получить в варианте Padawan что-то типа диссипативных сил.




А вот такой вопрос, а разве из Т - симметрии и дифференцируемости по траектории не следует сохранение фазового объема?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group