2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:34 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #306302 писал(а):
vek88 в сообщении #306276 писал(а):
А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения $$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$ Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

Это уравнение не инвариантно относительно вращений. Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.
Вы проанализировали и совершенно правильно свободную частицу в фазовом пространстве $$(x_\alpha, \dot x_\alpha).$$ Но ведь частица может имет дополнительные характеристики, например, спин. В данном случае я приписал частице в качестве дополнительной характеристики вектор $a_\alpha$. Поэтому теперь фазовое пространство $$(x_\alpha, \dot x_\alpha, a_\alpha).$$ Вектор $a_\alpha$ при поворотах преобразуется как вектор.

И вообще, мы можем плодить сколь угодно сложные свободные частицы. Вот, например, трехмерный вибрион (не путать с холерным вибрионом). Он характеризуется кроме вектора координат и скорости еще тремя угловыми частотами, тремя амплитудами, фазами и тремя главными осями (взаимно перпендикулярными). Он колеблется в направлении этих осей с заданными (для каждой оси) частотой, фазой и амплитудой. Закрутон - это частный случай двумерного вибриона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
vek88
Так. Запишите в развернутом виде Ваше уравнение, укажите, что является переменными в этих уравнениях, и какая действует группа преобразований в пространстве переменные + время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:53 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

К сожалению, смогу сделать это только вечером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #306310 писал(а):
И вообще, мы можем плодить сколь угодно сложные свободные частицы. Вот, например, трехмерный вибрион (не путать с холерным вибрионом). Он характеризуется кроме вектора координат и скорости еще тремя угловыми частотами, тремя амплитудами, фазами и тремя главными осями (взаимно перпендикулярными). Он колеблется в направлении этих осей с заданными (для каждой оси) частотой, фазой и амплитудой. Закрутон - это частный случай двумерного вибриона.


Рад, что в конце-концов Вы согласились с такой точкой зрения. Осталось признать, что явно задавать дополнительно всякие тензорные характеристики частицы - вовсе не нужно. Аналогичного можно добиться, просто увеличив порядок дифференциального уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 18:10 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #306314 писал(а):
vek88
Так. Запишите в развернутом виде Ваше уравнение, укажите, что является переменными в этих уравнениях, и какая действует группа преобразований в пространстве переменные + время.
На самом деле здесь два вопроса:
1. Инвариантны ли уравнения движения?
2. Правильно ли я записал гамильтониан? В этом я и сам не уверен.

Будем волноваться поэтапно и рассмотрим первый вопрос. Итак, рассмотрим свободную частицу в обычном фазовом пространстве $(x_\alpha, p_\alpha),$ дополненном некоторыми «внутренними» характеристиками частицы. Для акселерона такой внутренней характеристикой является вектор ускорения $a_\alpha.$

Теперь наше пространство состояний (не фазовое пространство) – это множество точек вида $$(x_\alpha, p_\alpha; a_\alpha).$$ На переменные из фазового пространства $(x_\alpha, p_\alpha,)$ по-прежнему действует то же самое представление группы Галилея в обычном фазовом пространстве. Т.е. сдвиги сдвигают координаты, повороты поворачивают координаты и импульс, переход в движущуюся ИСО добавляет к импульсу вектор $m V$, сдвиг во времени координат дает добавку в соответствии со скоростью.

Плюс теперь еще сдвиг во времени действует на импульс в соответствии с вектором ускорения. Но при этом производная импульса не меняется.

А на дополнительную характеристику частицы – на вектор ускорения – действует только подгруппа группы Галилея вращений пространства.

Таким образом, действие группы Галилея в пространстве состояний четко определено.

С учетом сказанного, уравнение $$\dot p_\alpha = m a_\alpha$$ Галилей-инвариантно.

Разумеется, все можно перефразировать в пространстве $$(x_\alpha, \dot x_\alpha; a_\alpha).$$ Тогда получим Галилей-инвариантность уравнения $$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 18:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Ладно, раз Вы так упорно не хотите выписать систему уравнений, выпишу сам
$$\dot p_1=ma_1, \dot p_2=ma_2, \dot p_3=ma_3, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3$$
Вопрос: относительно каких переменных мы решаем эти уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 19:08 


15/10/09
1344
Видимо, я что-то не понимаю? Все как обычно, даны начальные координаты и импульс (или скорости) - найти как двигается частица дальше. Ответ: равноускоренно с ускорением $a_\alpha$ (это ускорение суть константа, характеризующая акселерон).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 19:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Хорошо. $a_1$, $a_2$, $a_3$ - это какие-то константы, числа? Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 20:05 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #306366 писал(а):
Хорошо. $a_1$, $a_2$, $a_3$ - это какие-то константы, числа? Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0$ ?
Padawan
Никак не пойму куда Вы клоните. Каждый конкретный акселерон в конкретной ИСО характеризуется своим конкретным постоянным (в данной ИСО) вектором ускорения. Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0.$ Для порядка, разумеется, надо бы указать единицы измерения. При 3-повороте вектор ускорения преобразуется также, как векторы координат и импульса.

Кстати, акселероны можно классифицировать по величине модуля вектора ускорения. В том смысле, что акселероны с разной величиной ускорения - это разные частицы. А акселероны с одинаковой величиной ускорения - это разные ориентации одной и той же частицы.

У меня подозрение, что мы говорим о разном?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 20:32 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Инвариантность уравнений подразумевает, что в любой ИСО они имеют один и тот же вид. То есть $a_1$, $a_2$, $a_3$ должны быть константами. У Вас же они не константы, а переменные, раз их преобразования задевают.

-- Вс апр 04, 2010 20:38:44 --

Смотрите: в первой ИСО уравнени выглядят как
$$\dot p_1=m\cdot 1, \dot p_2=m\cdot 2, \dot p_3=0, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3,$$
а во второй
$$\dot p_1=m\cdot 2, \dot p_2=-m\cdot 1, \dot p_3=0, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3$$

Уравнения разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 20:56 


15/10/09
1344
У кого-то из нас глюк?

Вот реальная приближенная модель акселерона. Ракета двигается с постоянным вектором ускорения. Пренебрегая изменением ее массы уравнение движения ракеты то же, что для акселерона. Где в этом случае нарушение инвариантности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 21:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
В одной ИСО траектории, отвечающие всевозможным начальным условиям, будут параболы с осью OX, в другой ИСО - параболы с осью OY. То есть траектории не переходят в траектории - уравнение не инвариантно.

Я же написал, что в одной системе вид уравнения один, в другой - другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 21:25 


15/10/09
1344
Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения. Поэтому в любой ИСО будут абсолютно одинаковые 9-параметрические множества траекторий.

И вообще, что означает наше уравнение движения? Это предписание: возьми вектор ускорения конкретного изучаемого акселерона (или ракеты) и подставь его в правую часть. Тогда левая часть дает производную вектора импульса этого конкретного акселерона (ракеты).

Где здесь неинвариантность? Данный рецепт абсолютно инвариантен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 04:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
vek88 в сообщении #306422 писал(а):
Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения.


То есть $a_1, a_2, a_3$ - это тоже переменные, удовлетворяющие уравнениям
$$\dot a_1=0, \dot a_2=0, \dot a_3=0$$

Тогда да, инвариантность будет. Если вращения задевают и эти переменные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение05.04.2010, 09:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Тогда уж можно сразу записать уравнение $\dddot x=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group