Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Padawan в сообщении #306302 писал(а):

vek88 в сообщении #306276 писал(а):

А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения

$$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$

Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

Это уравнение не инвариантно относительно вращений. Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.

Вы проанализировали и совершенно правильно свободную частицу в фазовом пространстве

$$(x_\alpha, \dot x_\alpha).$$

Но ведь частица может имет дополнительные характеристики, например, спин. В данном случае я приписал частице в качестве дополнительной характеристики вектор $a_\alpha$. Поэтому теперь фазовое пространство

$$(x_\alpha, \dot x_\alpha, a_\alpha).$$

Вектор $a_\alpha$ при поворотах преобразуется как вектор.

И вообще, мы можем плодить сколь угодно сложные свободные частицы. Вот, например, трехмерный вибрион (не путать с холерным вибрионом). Он характеризуется кроме вектора координат и скорости еще тремя угловыми частотами, тремя амплитудами, фазами и тремя главными осями (взаимно перпендикулярными). Он колеблется в направлении этих осей с заданными (для каждой оси) частотой, фазой и амплитудой. Закрутон - это частный случай двумерного вибриона.

[Padawan]

vek88
Так. Запишите в развернутом виде Ваше уравнение, укажите, что является переменными в этих уравнениях, и какая действует группа преобразований в пространстве переменные + время.

[vek88]

(Оффтоп)

К сожалению, смогу сделать это только вечером.

[myhand]

vek88 в сообщении #306310 писал(а):

И вообще, мы можем плодить сколь угодно сложные свободные частицы. Вот, например, трехмерный вибрион (не путать с холерным вибрионом). Он характеризуется кроме вектора координат и скорости еще тремя угловыми частотами, тремя амплитудами, фазами и тремя главными осями (взаимно перпендикулярными). Он колеблется в направлении этих осей с заданными (для каждой оси) частотой, фазой и амплитудой. Закрутон - это частный случай двумерного вибриона.

Рад, что в конце-концов Вы согласились с такой точкой зрения. Осталось признать, что явно задавать дополнительно всякие тензорные характеристики частицы - вовсе не нужно. Аналогичного можно добиться, просто увеличив порядок дифференциального уравнения.

[vek88]

Padawan в сообщении #306314 писал(а):

vek88
Так. Запишите в развернутом виде Ваше уравнение, укажите, что является переменными в этих уравнениях, и какая действует группа преобразований в пространстве переменные + время.

На самом деле здесь два вопроса:
1. Инвариантны ли уравнения движения?
2. Правильно ли я записал гамильтониан? В этом я и сам не уверен.

Будем волноваться поэтапно и рассмотрим первый вопрос. Итак, рассмотрим свободную частицу в обычном фазовом пространстве $(x_\alpha, p_\alpha),$ дополненном некоторыми «внутренними» характеристиками частицы. Для акселерона такой внутренней характеристикой является вектор ускорения $a_\alpha.$

Теперь наше пространство состояний (не фазовое пространство) – это множество точек вида

$$(x_\alpha, p_\alpha; a_\alpha).$$

На переменные из фазового пространства $(x_\alpha, p_\alpha,)$ по-прежнему действует то же самое представление группы Галилея в обычном фазовом пространстве. Т.е. сдвиги сдвигают координаты, повороты поворачивают координаты и импульс, переход в движущуюся ИСО добавляет к импульсу вектор $m V$, сдвиг во времени координат дает добавку в соответствии со скоростью.

Плюс теперь еще сдвиг во времени действует на импульс в соответствии с вектором ускорения. Но при этом производная импульса не меняется.

А на дополнительную характеристику частицы – на вектор ускорения – действует только подгруппа группы Галилея вращений пространства.

Таким образом, действие группы Галилея в пространстве состояний четко определено.

С учетом сказанного, уравнение

$$\dot p_\alpha = m a_\alpha$$

Галилей-инвариантно.

Разумеется, все можно перефразировать в пространстве

$$(x_\alpha, \dot x_\alpha; a_\alpha).$$

Тогда получим Галилей-инвариантность уравнения

$$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$

[Padawan]

Ладно, раз Вы так упорно не хотите выписать систему уравнений, выпишу сам

$$\dot p_1=ma_1, \dot p_2=ma_2, \dot p_3=ma_3, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3$$

Вопрос: относительно каких переменных мы решаем эти уравнения?

[vek88]

Видимо, я что-то не понимаю? Все как обычно, даны начальные координаты и импульс (или скорости) - найти как двигается частица дальше. Ответ: равноускоренно с ускорением $a_\alpha$ (это ускорение суть константа, характеризующая акселерон).

[Padawan]

Хорошо. $a_1$, $a_2$, $a_3$ - это какие-то константы, числа? Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0$ ?

[vek88]

Padawan в сообщении #306366 писал(а):

Хорошо. $a_1$, $a_2$, $a_3$ - это какие-то константы, числа? Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0$ ?

Padawan
Никак не пойму куда Вы клоните. Каждый конкретный акселерон в конкретной ИСО характеризуется своим конкретным постоянным (в данной ИСО) вектором ускорения. Например, $a_1=2,4$, $a_2=\pi$, $a_3=0.$ Для порядка, разумеется, надо бы указать единицы измерения. При 3-повороте вектор ускорения преобразуется также, как векторы координат и импульса.

Кстати, акселероны можно классифицировать по величине модуля вектора ускорения. В том смысле, что акселероны с разной величиной ускорения - это разные частицы. А акселероны с одинаковой величиной ускорения - это разные ориентации одной и той же частицы.

У меня подозрение, что мы говорим о разном?

[Padawan]

Инвариантность уравнений подразумевает, что в любой ИСО они имеют один и тот же вид. То есть $a_1$, $a_2$, $a_3$ должны быть константами. У Вас же они не константы, а переменные, раз их преобразования задевают.

-- Вс апр 04, 2010 20:38:44 --

Смотрите: в первой ИСО уравнени выглядят как

$$\dot p_1=m\cdot 1, \dot p_2=m\cdot 2, \dot p_3=0, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3,$$

а во второй

$$\dot p_1=m\cdot 2, \dot p_2=-m\cdot 1, \dot p_3=0, m\dot x_1=p_1, m\dot x_2=p_2, m\dot x_3=p_3$$

Уравнения разные.

[vek88]

У кого-то из нас глюк?

Вот реальная приближенная модель акселерона. Ракета двигается с постоянным вектором ускорения. Пренебрегая изменением ее массы уравнение движения ракеты то же, что для акселерона. Где в этом случае нарушение инвариантности?

[Padawan]

В одной ИСО траектории, отвечающие всевозможным начальным условиям, будут параболы с осью OX, в другой ИСО - параболы с осью OY. То есть траектории не переходят в траектории - уравнение не инвариантно.

Я же написал, что в одной системе вид уравнения один, в другой - другой.

[vek88]

Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения. Поэтому в любой ИСО будут абсолютно одинаковые 9-параметрические множества траекторий.

И вообще, что означает наше уравнение движения? Это предписание: возьми вектор ускорения конкретного изучаемого акселерона (или ракеты) и подставь его в правую часть. Тогда левая часть дает производную вектора импульса этого конкретного акселерона (ракеты).

Где здесь неинвариантность? Данный рецепт абсолютно инвариантен.

[Padawan]

vek88 в сообщении #306422 писал(а):

Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения.

То есть $a_1, a_2, a_3$ - это тоже переменные, удовлетворяющие уравнениям

$$\dot a_1=0, \dot a_2=0, \dot a_3=0$$

Тогда да, инвариантность будет. Если вращения задевают и эти переменные.

[Padawan]

Тогда уж можно сразу записать уравнение $\dddot x=0$