2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 14:16 
Заслуженный участник


13/12/05
3939
Уважаемый vek88!
Объясните, зачем Вы так хотите найти представление группы Галилея в виде группы преобразований фазового пространства? Ну допустим найдём мы такое представление. И что это нам дает? Как к дифф. уравнениям движения-то перейти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 14:47 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #305955 писал(а):
Уважаемый vek88!
Объясните, зачем Вы так хотите найти представление группы Галилея в виде группы преобразований фазового пространства? Ну допустим найдём мы такое представление. И что это нам дает? Как к дифф. уравнениям движения-то перейти?
Уважаемый Padawan!

Вообще-то я не ищу представления - я их все нашел. Для $n$ частиц - это произвольное семейство $n$ траекторий с множеством преобразований в соответствии с группой $G$ преобразований 4-пространства. А понять хочу следующее.

1. Какие траектории свободных частиц и взаимодействующих частиц можно считать разумными с точки зрения механики. Например, если взять траекторию с потолка, то вряд ли это интересно в механике.

2. Как построить уравнения для разумных траекторий. Предположительно, разумные траектории соответствуют системам дифференциальных уравнений, которые имеют ковариантный вид.

А в целом я продолжаю разбираться в меру своего понимания с вопросом, что следует, а что не следует из Галилей или другой инвариантности.

И разве то, что я делаю, не соответствует Вашим идеям? На интуитивном уровне мне казалось, что я воспользовался Вашими идеями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 14:54 
Заслуженный участник


13/12/05
3939
vek88
Но смотрите что делал я: я брал расширенное фазовое пространство, траектории в нем - мировые линии частиц, и конкретное представление группы Галилея, соответствующее сдвигам и поворотам системы частиц как целого. Дальше я хотел найти такие уравнения, чтобы эта группа переводила траектории в траектории.

А Вы же группу преобразований берете с потолка. И траектории у Вас - это линии в нерасширенном фазовом пространстве. Каждой такой траектории может соответствовать различное движение (с разными скоростями частиц).

И еще. Это не мои идеи, Вы мне льстите - это идеи Софуса Ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 15:02 


15/10/09
1344
Во всяком случае, Вы подтолкнули меня попробовать сделать именно так. А с траекториями... я, видимо, не точен в выражениях. Под $n$-частичной траекторией я понимаю кривую в фазовом пространстве, заданную параметрически, а параметром является время $$x_i_\alpha = x_i_\alpha(t).$$ В этом случае скорости и следующие производные вполне определены. И группу я беру - любую непрерывную группу преобразований пространства-времени, например, группу Галилея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 15:08 
Заслуженный участник


13/12/05
3939
vek88
Тогда мы говорим об одном и том же. И проще, чем я это делал не сделать. Это стандартный алгоритм: по заданной группе преобразований найти наиболее общий вид дифф. уравнений, допускающих эту группу.

Дифф. уравнение допускает группу если оно не меняет вид при преобразованиях из этой группы. Эквивалентно -преобразования переводят траектории в траектории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение03.04.2010, 16:35 


15/10/09
1344
Padawan
Спасибо за ликбез.

Итак, коли все верно математически, хочется понять каким траекториям можно приписать разумный физический смысл. Например, раньше я немного возмущался по поводу закрутона, который нам предлагал myhand. А сейчас смотрю на закрутон нормально. И даже если "свободная" частица будет описывать, например, некую "трехмерную фигуру Лиссажу" ..., а почему бы и нет?

Причем, в данном случае мне интересна именно вся траектория, а не ее локальное поведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 11:33 


15/10/09
1344
Итак, закрутон воспринимается вполне нормальной частицей - это частица с определенной внутренней структурой, определяемой вектором угловой скорости и фазой.

А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения $$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$ Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид $$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 12:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #306276 писал(а):
По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид $$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.


А может Вы неудачно записали гамильтониан? Нет? Может там _разность_ $x_\alpha - x_\alpha(0)$, скажем? Но дело даже не в этом.

Лагранжиан досататочно естественно, определен с точностью до полной производной. В соседнем топике обсуждалось - что соответствует этому для гамильтониана, см. пост: post305998.html#p305998 Например, очевидно, постоянное слагаемое или явно зависящее только от времени - никак не скажется на уравнениях движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 13:01 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #306279 писал(а):
vek88 в сообщении #306276 писал(а):
По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид $$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?

Вот такая ботва - уравнения движения Галилей-инвариантны, а гамильтониан нет.


(1) А может Вы неудачно записали гамильтониан? Нет? Может там _разность_ $x_\alpha - x_\alpha(0)$, скажем? Но дело даже не в этом.

(2) Лагранжиан достататочно естественно, определен с точностью до полной производной. В соседнем топике обсуждалось - что соответствует этому для гамильтониана, см. пост: post305998.html#p305998 Например, очевидно, постоянное слагаемое или явно зависящее только от времени - никак не скажется на уравнениях движения.
1. А что, разве вид гамильтониана не очевиден в данном случае. Я считал, что достаточно найти функцию состояния $H(p_\alpha, x_\alpha),$ такую, что выполнены канонические уравнения Гамильтона $$\dot x_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha},$$ $$\dot p_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial x_\alpha}.$$ С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы. Конечно, со знаком потенциальной энергии ошибся. Надо $$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 13:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #306282 писал(а):
С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.


Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88 в сообщении #306282 писал(а):
2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид $$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?


А ДОЛЖЕН? Совершенно не обязательно. Гамильтониан _не_инвариантен_ относительно симметрий. Например, перехода в другую ИСО (это справедливо даже без слагаемого с ускорением). Это совершенно нормально и не отражается на уравнениях движения.

Я попытался по ссылке объяснить почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 13:40 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #306288 писал(а):
vek88 в сообщении #306282 писал(а):
С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.


Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88: а что такое $x_\alpha(0)$ - это что же, мы должны учитывать в гамильтониане, где была частица в момент ноль? Нетушки. Гамильтониан - это гамильтониан для всех частиц данного вида, где бы они не находились в момент ноль.

vek88 в сообщении #306282 писал(а):
2. Что Вы хотели сказать этим пунктом я не понял.

По поводу этой частицы интересно заметить, что это гамильтонова частица!? Гамильтониан имеет вид $$H= m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$ Но гамильтониан не инвариантен относительно сдвигов!?


А ДОЛЖЕН? Совершенно не обязательно. Гамильтониан _не_инвариантен_ относительно симметрий. Например, перехода в другую ИСО (это справедливо даже без слагаемого с ускорением). Это совершенно нормально и не отражается на уравнениях движения.

vek88: а как же, коммутатор гамильтониана и оператора импульса равен нулю!

Я попытался по ссылке объяснить почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 13:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #306292 писал(а):
myhand в сообщении #306288 писал(а):
vek88 в сообщении #306282 писал(а):
С учетом уравнений движения акселерона отсюда гамильтониан находится с точностью до константы.


Ну вот. $H=ma_\alpha (x_\alpha - x_\alpha(0)) + p_\alpha^2 / (2m)$ - тоже решение. Инвариантное относительно трансляций.

vek88: а что такое $x_\alpha(0)$ - это что же, мы должны учитывать в гамильтониане, где была частица в момент ноль? Нетушки. Гамильтониан - это гамильтониан для всех частиц данного вида, где бы они не находились в момент ноль.


Ну, строго говоря, $H= m a_\alpha (x_\alpha(t) - y_\alpha) + \frac{p^2_\alpha(t)}{2 m}$. $y$ - некоторый постоянный вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:10 
Заслуженный участник


13/12/05
3939
vek88 в сообщении #306276 писал(а):
А вот пример свободной частицы, которая воспринимается как явно аномальная - это акселерон. Он, характеризуется вектором $a_\alpha$ ускорения. Уравнение движения $$\ddot x_\alpha = a_\alpha.$$ Здесь с Галилей-инвариантностью все в порядке. Но частица заведомо нам не может нравиться, поскольку нарушается 1-й Закон Ньютона.

Это уравнение не инвариантно относительно вращений. Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #306302 писал(а):
Это уравнение не инвариантно относительно вращений.


Относительно вращений - инвариантно. $a_\alpha$ - заданный вектор.

Padawan в сообщении #306302 писал(а):
Случай одной частицы я же полностью проанализировал. Инвариантное уравнение только одно $\ddot x=0$.


Скажем так. Это в определенном предположении относительно порядка искомого уравнения. Добавьте еще два порядка - получите что-то в духе лагранжиана с высшими производными, пример которого я приводил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение04.04.2010, 14:32 
Заслуженный участник


13/12/05
3939
myhand
Не инвариантно. Запишите уравнение в развернутом виде, без индексов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group