Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[Padawan]

группа Галилея её не предусматривает

[myhand]

Строго говоря - да. А вот классическая механика - предусматривает.

Но тут ведь аналогично группе Лоренца. Она состоит из нескольких несвязных компонент. Обращение времени - одно из преобразований, переводящих элементы несвязных компонент друг в друга.

Рассмотрим двумерный случай. Метрику удобно представить в виде $ds^2=2 dx^+ dx^-$. Общий вид движения метрики, сохраняющее начало координат:

$$\left\{\begin{array}{l}x^+ \to x^+ c\\x^- \to x^- / c\\\end{array}\right.$$

Видно, что эта группа состоит из двух связных компонент.

[Padawan]

ну давайте тогда еще включим замену $x$ на $-x$ и еще какие-нибудь симметрии... Ландау-Лифшиц же не используют T-симметрию при выводе вида лагранжиана

Даже если есть $T$-симметрия, то почему нельзя включить в уравнения слагаемые вида $x_{12}\times v_{12}\cdot (x_{12},v_{12})\cdot f(|x_{12}|,|v_{12}|,|(x_{12},v_{12})|)$ ?

[myhand]

Padawan в сообщении #304670 писал(а):

ну давайте тогда еще включим замену $x$ на $-x$ и еще какие-нибудь симметрии... Ландау-Лифшиц же не используют T-симметрию при выводе вида лагранжиана

Т.к. для свободной частицы это не важно.

[В. Войтик]

Ой непонятно зачем вам конкретное выражение для потенциала взаимодействия двух частиц?
Во - первых классическая механика получается и без конкретной силы взаимодействия так, что 3 закон Ньютона фактически не нужен.
Во-вторых фактически точечных частиц вообще не наблюдается на практике. Все частицы как правило имеют собственные выделенные направления (да ещё и не одно) так, что потенциал взаимодействия получается слишком сложным.

[vek88]

Уважаемые коллеги!

Мы тут раскукарекались так, как-будто все проблемы решили. А ведь на самом деле нам всем полный пипец. Как-то так поспешно мы все согласились, что без дополнительного предположения лагранжевости или гамильтонианства из одной только Галилей инвариантности механика не выводится. Так ведь?

Так вот, пренепреятнейшее известие - все не так просто. И вааще, с чего я начал тему - от большого энтузазизма по поводу закона сохранения массы в классической механике.

And the moral of this is: мы представление какой алгебры Галилея ищемс - расширеннойс. Чем? Хотя бы оператором Казимира $M$, т.е. оператором массы (спин и внутрення энергия нам пока не нужны). Поясню проблему на примере спина. Представьте себе, мы ищем представление группы вращений, а фазовое пространство взяли двумерное. Дык ведь мы тогда должны явно указать операторы Казимира для спина - матрицы Паули. А просто из соображений ковариантного вида уравнений мы ничего не получим!?

А что ж мы себе позволили думать в нашем случае? Ищем ведь представление расширенной алгебры - значит мы должны явно указать представление расширенной алгебры с оператором массы. И никакие рассуждения о ковариантном виде потенциала и т.д. не заменят отсутствие оператора массы. Вот так вот. Итак, мы должны помнить, что

$$[X_\alpha, P_\beta] = M \delta_\alpha_\beta.$$

Отсюда следует, что

$$X_\alpha = m x_\alpha,$$

что в классике, что в нерелятивистских квантах. А где, позвольте Вас спросить, коллеги, это сидит в ковариантных рассуждениях о виде уравнений?

Кстати, по моим понятиям, расширенного (c $M$) представления алгебры Галилея в классе линейных дифоператоров в фазовом пространстве (координаты, импульсы) не существует. Так что пока мы не нашли какого-либо представления расширенной алгебры Галилея вне гамильтонианства!?

Коряво, но сказал. Вот.

[myhand]

1) vek88 - а почему мы ищем представление в виде расширенной алгебры Ли (в данном случае)? Я почему-то не уверен, что коммутатор не будет нулем (т.е. мы не получим искомого представления, без необходимости расширения алгебры).

2) Padawan, да - годится слагаемые вида $v_{12} (x_{12}\cdot v_{12}) f(|x_{12}|,|v_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|)$. Сохранение четности $\vec x \to -\vec x$ также, по-хорошему, надо добавить. Что убирает слагаемые с векторным произведением.

Но может Ваш пример еще можно как-то модифицировать с учетом этого.

[vek88]

myhand в сообщении #304873 писал(а):

1) vek88 - а почему мы ищем представление в виде расширенной алгебры Ли (в данном случае)? Я почему-то не уверен, что коммутатор не будет нулем (т.е. мы не получим искомого представления, без необходимости расширения алгебры).

Именно к обсуждению этого вопроса я и призываю - нужна нам расширенная алгебра или нет? Сам я всех ответов на этот вопрос не знаю. Могу лишь сослаться на экспериментальный факт, к установлению которго причастен Михайло Ломоносов - закон сохранения материи.

Разумеется, сегодня этот закон "видоизменился". Но напомню, что до сих пор у химиков закон сохранения массы реально используется. Т.к. дефекты масс атомов для химиков пренебрежимо малы - например, дефект массы атома водорода порядка $10^{-8}$, а ядерными реакциями химики не занимаются.

А с учетом этого я настаиваю на необходимости именно расширенной (операторм $M$) алгебры Галилея.

Хотелось бы узнать другие аргументы за и против расширения алгебры.

[Padawan]

vek88
Расширение алгебры Галилея означает расширение группы симметрий - вложение группы Галилея в более богатую группу, и, соответственно, спецификацию вида уравнения.

Тогда возникают такие вопросы:
1) какой смысл в терминах групп преобразований фазового пространства имеет расширение алгебры Галилея оператором массы
2) Найти наименьшее расширение группы Галилея, чтобы уже из одних соображений симметрии можно было получить уравнения классической механики. Скажу точнее, чтобы не было разночтений: под уравнениями классической механики я понимаю такие уравнения, решения которых могут быть реальным движением конечного числа взаимодействующих частиц.

[vek88]

Padawan

Вы преувеличиваете мои познания. В оправдание могу сказать, что давным давно я просто смотрел какие есть неприводимые представления, к примеру, группы Пуанкаре. Ага - вижу представление типа $(m,s)$ - и все. Я знаю, что это частица массы $m$ со спином $s$. Про операторы Казимира тогда я даже и не задумывался. Сейчас прочитал, но от этого мне легче не стало.

Так что я и сейчас трактую это по рабоче-крестьянски. Есть представления класса $m\neq 0,$ где $m$ масса - вот я и считаю тупо, что это масса частицы, а соответствующий оператор Казимира должон быть. А если пользуюсь представлением с нулевой массой (такие для Галилея тоже есть), то тогда мне оператор Казимира (массы), видимо, не нужон? А значит все представления без $M$ не соответствуют реальным частицам с массой, даже несмотря на формальное присутствие какого-то параметра $m$.

Короче, как видите, мало что могу объяснить. Поэтому было бы хорошо, если бы кто-нибудь популярно объяснил математический и физический смысл этого оператора Казимира (массы). Ведь не зря же та же Википедия дает для Галилея также и расширенную оператором $M$ алгебру Галилея?

-- Ср мар 31, 2010 19:39:25 --

И еще. Посмотрите, что мы говорим без оператора массы в моем фазовом пространстве координаты-импульсы - вектор импульса при переходе в движущуюся ИСО преобразуется по формуле $p'_\alpha =p_\alpha - m V_\alpha$. А откуда это взялось - ведь мы еще не родили никакой массы. А вот когда есть оператор $M$ (равен сумме масс частиц) и коммутатор

$$[X_\alpha, P_\beta] = M\delta_\alpha_\beta,$$

вот тогда все в порядке - мы найдем, что

$$X_\alpha=M x_\alpha.$$

И далее все понятно и гладко. Делая это для одной свободной частицы, мы находим, что $M=m,$ где $m$ - произвольная ненулевая константа.

[myhand]

vek88, в том-то и дело. Никакого фазового пространства у Padawan пока нет. Нет симплектической структуры, нету никаких скорок Пуассона. Нету пока и необходимости в расширении представления группы Галилея.

[vek88]

myhand

Я же не про пример Padawan говорю. А вообще. И вопрос мой можно перефразировать так. Есть разные типы неприводимых представлений группы Галилея, в частности, как с массой, так и без массы. И мой вопрос - а что нам-то нужно - с массой или без оной?

Мне кажется, в рассматриваемом случае обычных частиц, правильный ответ - с массой. А значит с оператором массы.

А объяснить, почему так должно быть, я не могу. Моих познаний не хватает. Вот и призываю подумать.

А может кто-то знает что-то полезное в этой области? Например, как вообще происходила классификация неприводимых представлений группы Галилея? Или где есть доступное изложение этого вопроса?

Так что у меня в данный момент больше вопросов, чем ответов. Вот еще вопрос. А почему в квантах у нас сразу автоматически с массой при естественном выборе фазового пространства и класса операторов для представления алгебры Галилея? Т.к. (на примере одной частицы)

$$X_\alpha = m x_\alpha,$$

$$P_\alpha = -i\frac{\partial }{\partial x_\alpha}.$$

Следовательно, их коммутатор

$$[X_\alpha, P_\beta] = i m \delta_\alpha_\beta.$$

И почему в классике это не получается автоматически, а только в гамильтоновом формализме. Короче, не должны такие вещи зависеть от нашего произвола в выборе фазовых пространств и классов операторов.

[vek88]

Здесь уместно напомнить, что при использовании скобок Пуассона выше мы показали, что для нерасширенной алгебры Галилея, т.е. с коммутатором (без $M$ справа)

$$[X_\alpha, P_\beta]=0,\eqno(\ast)$$

представление не существует! Покажем, что это имеет место и в квантах на примере одной частицы. Итак, пусть имеет место $(\ast)$, где

$$P_\alpha=-i \frac{\partial }{\partial x_\alpha}.$$

Наиболее общий вид $X_\alpha$, удовлетворяющий коммутатору $(\ast)$,

$$X_\alpha = f(P^2_\beta) P_\alpha.$$

Далее, гамильтониан коммутирует с оператором импульса, из чего заключаем, что

$$H = h(P^2_\alpha).$$

Осталось вспомнить, что необходимо

$$[H, X_\alpha]=-i P_\alpha.$$

Но при установленном выше общем виде операторов у нас получается

$$[H, X_\alpha]=0.$$

Т.о. действительно для нерасширенной алгебры представления в квантах не существует. Какова же the moral of this?

[vek88]

И тишина ... А вдоль дороги мертвые с косами - операторы Казимира.

А вот еще масло в огонь - почему в релятивистской механике наша проблема не возникает? Там ведь сразу (если не ошибаюсь) представление группы Пуанкаре содержит коммутатор (никакого расширения не надо?)

$$[X_\alpha, P_\beta]=-i \delta_\alpha_\beta H.$$

И значит в нерелятивистском пределе Казимир-масса есть!?

Замечу, что к равновесному мнению мы не пришли. Однако похоже, что без решения вопроса о наличии/отсутствии оператора массы продвинуться к этому равновесному положению мы в принципе не сможем.

А может быть нам переехать, хотя бы на время, в математический форум? А там, вдруг, математики нам что-нибудь умное скажут про физический смысл нашей проблемы с оператором Казимира (массы)?

Или сами справимся? Что думают коллеги?

Лично я сказать ничего умного не могу. Пытался найти что-нибудь в Интернете, но кроме Желобенко (600 страниц, якобы для физиков) или Фушич, Никитин (тоже толстая и очень специальная) ничего не нашел.

Итак, напомню наш принципиальный вопрос:

Какая алгебра Галилея адекватна классической механике - расширенная оператором Казимира-массы? Или исходная (нерасширенная)?

[ИгорЪ]

Терминология. Если взять алгебру Ли и рассматривать линейные комбинации разных степеней генераторов, то это называется обертывающая. Казимиры лежат в обертывающей. Расширение алгебры Ли - это добавление нового генератора, коммутирующего со всеми первоначальными. Задавая вопрос

vek88 в сообщении #305329 писал(а):

Какая алгебра Галилея адекватна классической механике - расширенная оператором Казимира-массы?

вы что имеете ввиду? Ну а адекватность это непонятное слово.