2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 21:38 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #307980 писал(а):
Сохранение фазового объема, скорее всего, не достаточно для гамильтоновости.



Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости», то недостаточно. Я бы для начала хотел разобраться с более простым вопросом. Что нужно потребовать от отображения не сохраняющего фазовый объем что существовала такая замена переменных, что бы в этих новых переменных объем сохранялся. Сомнительно что этот вопрос еще не решен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 21:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
EvgenyGR в сообщении #308120 писал(а):
Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости»


Вы выдрали фразу из контекста. Там речь шла об _уравнении Лиувилля_. И не только - еще о связи с квантовой механикой. Уравнение Лиувилля - это не только сохранение фазового объема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 22:01 


15/11/09
1489
Верю на слово, но как с моим вопросом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение10.04.2010, 13:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558

(Оффтоп)

EvgenyGR в сообщении #308130 писал(а):
Верю на слово, но как с моим вопросом?

Пусть дано двухмерное отображение:
$$\left\{\begin{array}{l} x' = F(x,y) \\ y' = G(x,y) \end{array}\right.$$
Ищем такую замену переменных
$$\left\{\begin{array}{l} x = X(u,v) \\ y = Y(u,v) \end{array}\right.$$
при котором якобиан отображения в новых переменных равен 1.
Ответ: $J = T(u',v')^{-1} M T(u,v)$, $\det J = 1$. Где $$M = \left.\frac{\partial (F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{x=X(u,v),\;y=Y(u,v)}$$
$$T(u,v) = \frac{\partial (X,Y)}{\partial(u,v)}$$
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 21:45 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #308235 писал(а):
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.



И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.

Тогда где ошибка в моих рассуждениях. Пусть есть отображение F фазового пространства в себя. Пусть найдется такая область (пусть для определенности односвязанная), такая, что F отображает эту область целиком в ее подобласть, а остаток (ну куда ничего не отобразилось) имеет не нулевой объем. Понятно, что это отображение F, хотя бы в отношении этой области, фазовый объем не сохраняет. Я полагаю что любое непрерывное отображение G сохранит это свойство вложенности отображения F и не нулевой фазовый объем остатка. Но тогда не существует и нормализующего отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 22:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
EvgenyGR в сообщении #308621 писал(а):
myhand в сообщении #308235 писал(а):
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.


И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.


Вы просили критерий - я его дал. Ответ - нелинейное функционально-дифференциальное уравнение ($\det J = 1$) для пары функций $X(u,v)$ и $Y(u,v)$. Дополнительное условие: $\det T(u,v) \ne 0$.

Для симплектичности отображения в новых переменных - больше ничего не нужно дополнительно в _двумерном_ случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 23:36 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #308632 писал(а):
Вы просили критерий - я его дал.



Т.е. вопрос о существовании отображения заменили на вопрос существования решения у «нелинейного дифференциального уравнения»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение12.04.2010, 00:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Вообще-то функционально-дифференциального.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group