"Глядя" на эту гайку, некоторые думают, что изолированное твердое тело будет "опрокидываться" или совершать все время апериодическое движение.
А некоторые точно так же думают, глядя не на гайку, а на решение задачи свободного движения тела. Например, в § 37 той же "Механики" Ландау-Лифшица.
А ето уже наша тема, поскольку гантель представляет собой именно такое тело.
Нет. Гантель симметрична, более того, один её момент инерции нулевой.
Я говорил о том, что гантель представляет собой именно свободное твёрдое тело. Вы отверили: "Нет. Гантель симметрична...." Из того, что гантель симметрична и один её момент инерции нулевой, она не перестаёт быть свободным твёрдым телом. Впрочем, можно доказать что и гантель не будет совершать апериодическое движение. Её вращение вокруг оси инерции максимум будет устойчивым. Не доказав этого, нет смысла двигаться в решении "задачи о двух материальных точках" дальше.
Сначала докажем, что гантель будет устойчиво вращаться вокруг точки на стержне гантели, являющейся именно центром масс. В доказательстве будем исходить из двух положений:
1. Вектор кинетического момента гантели не изменяется ни по модулю ни по направлению.
2. Вращение будет происходить вокруг такой точки на стержне гантели, чтобы кинетическая энергия вращения, при заданном кинетическом моменте, была минимальна. (Принцип минимума кинетической энергии).
Доказательство.
Поступим следующим образом. Зададим на отрезке
некоторый центр
, делящий этот отрезок в отношении
внутренним образом. Исходя из заданного кинетического момента
и выбранного произвольно центра
, найдём линейные скорости
и
вращения точек
и
. Далее, зная линейные скорости, найдём суммарную кинетическую энергию
двух точек. Эту кинетическую энергию выразим через параметры гантели и отношение
. Затем, найдём при каком
кинетическая энергия
примет минимальное значение. Для этого возьмём производную
и приравняем её нулю. Решив это уравнение найдём то значение
, при котором
принимает минимальное значение.
Действуем по намеченному плану.
Найдём линейные скорости вращения точек
и
вокруг центра
.
, причём:
,
,
,
(1)
Найдём момент инерции гантели относительно точки
. (Предполагается, что гантель вращается вокруг точки
).
Теперь "найдём" кинетический момент
На самом деле
задан, нам нужно выразить отсюда угловую скорость
,
.
Теперь, зная угловую скорость
, мы можем найти линейные скорости вращения из (1).
.
И, наконец, зная линейные скорости, можно найти кинетическую энергию вращения
.
Теперь, найдём производную:
Приравняем нулю числитель, решим уравнение и найдём
.
Вспоминая, что
пишем:
,
Т.е.
делит отрезок
в отношении
. Это означает, что искомый центр
находится в центре масс. Только когда центр вращения
находится в центре масс системы точек
и
, кинетическая энергия вращения
при
достигает минимума. При малейшем смещении центра вращения от центра масс, кинетическая энергия должна возрастать (при
).
Но это противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, вращение вокруг центра
будет устойчивым, что и требовалось доказать.