Рассмотрим плоское движение. Соответственно, вращение у нас будет не вокруг оси, а вокруг точки. Желающие могут вложить плоскость в трёхмерное пространство.
Сначала наглядный пример. Если мы смотрим на Луну с Земли, то хорошо видим, что Луна вращается вокруг Земли. Если мы посмотрим на Луну с Солнца, то увидим, что Луна вращается вокруг Солнца по траектории, мало отличающейся от окружности, причём, эта траектория во всех точках обращена вогнутостью к Солнцу и не только не имеет "петель", но даже не кажется "волнистой". Правда, пример этот имеет тот недостаток, что система координат, связанная с Землёй, явно не инерциальная.
Пусть в плоскости задана декартова система координат
![$Oxy$ $Oxy$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/e/4bef5b14e98ff435f2b2c77d9c15867682.png)
. Если точка
![$M(x(t),y(t))$ $M(x(t),y(t))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14e9afdd225a23d87e42264d84d84af182.png)
(равномерно) вращается вокруг (не обязательно неподвижной) точки
![$C(x_0(t),y_0(t))$ $C(x_0(t),y_0(t))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/a/b6a2e993243fcee2208898b88b69b4cd82.png)
, то скорость
![$(\dot x(t),\dot y(t))$ $(\dot x(t),\dot y(t))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/a/82a92d2c2d962b956809f5711e7cd7db82.png)
точки
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
удовлетворяет соотношениям
![$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0(t))\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0(t))\text{.}\end{cases}\eqno{(1)}$$ $$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0(t))\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0(t))\text{.}\end{cases}\eqno{(1)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/a/e3aa42fc525313a4eb4308ae0ad578a182.png)
Параметр
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
называется угловой скоростью.
Рассмотрим случай
![$x_0(t)=y_0(t)=0$ $x_0(t)=y_0(t)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/f/b0f3523a5496513fe1ea9955bddf1cca82.png)
, то есть, вращение вокруг неподвижного центра. Тогда
![$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega y(t)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega x(t)\text{.}\end{cases}\eqno{(2)}$$ $$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega y(t)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega x(t)\text{.}\end{cases}\eqno{(2)}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/8/b88bb9f2364fd05433e327afd9c60ee882.png)
Предполагая, что
![$x(0)=R,y(0)=0$ $x(0)=R,y(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/0/6f06f7cdd7dece5cbd01dc1b4e629a2f82.png)
, получим из этих уравнений
![$$\begin{cases}x(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y(t)=R\sin\omega t\text{.}\end{cases}\eqno{(3)}$$ $$\begin{cases}x(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y(t)=R\sin\omega t\text{.}\end{cases}\eqno{(3)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/d/60d185cb0d2f39e45549d046dce1db3582.png)
Теперь рассмотрим систему координат
![$O'x'y'$ $O'x'y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/5100bd2aa332cdd61cfa9d53c39eb99f82.png)
, которая движется относительно
![$Oxy$ $Oxy$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/e/4bef5b14e98ff435f2b2c77d9c15867682.png)
в направлении оси
![$Oy$ $Oy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/5/975c715a94d10588acb85bf1f3e79be882.png)
с постоянной скоростью
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
. Преобразование координат имеет вид
![$$\begin{cases}x=x'\text{,}\\ y=y'+vt\text{,}\end{cases}\eqno{(4)}$$ $$\begin{cases}x=x'\text{,}\\ y=y'+vt\text{,}\end{cases}\eqno{(4)}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/3/003bd26d7ab3c8445d815161a754465d82.png)
поэтому уравнения движения точки
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
преобразуются к виду
![$$\begin{cases}x'(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y'(t)=R\sin\omega t-vt\text{,}\end{cases}\eqno{(5)}$$ $$\begin{cases}x'(t)=R\cos\omega t\text{,}\\ y'(t)=R\sin\omega t-vt\text{,}\end{cases}\eqno{(5)}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/9/939faef634157e3102daba68a9ae754282.png)
откуда, дифференцируя (5) и используя соотношения (3) и (4), находим
![$$\begin{cases}\dot x'(t)=-R\omega\sin\omega t=-\omega y(t)=-\omega(y'(t)+vt)\text{,}\\ \dot y'(t)=R\omega\cos\omega t-v=\omega\left(x(t)-\frac v{\omega}\right)=\omega\left(x'(t)-\frac v{\omega}\right)\text{.}\end{cases}\eqno{(6)}$$ $$\begin{cases}\dot x'(t)=-R\omega\sin\omega t=-\omega y(t)=-\omega(y'(t)+vt)\text{,}\\ \dot y'(t)=R\omega\cos\omega t-v=\omega\left(x(t)-\frac v{\omega}\right)=\omega\left(x'(t)-\frac v{\omega}\right)\text{.}\end{cases}\eqno{(6)}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/0/f80e1ba5980328bee053eeafcda9f23982.png)
Из последних соотношений видим, что в системе
![$O'x'y'$ $O'x'y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/5100bd2aa332cdd61cfa9d53c39eb99f82.png)
точка
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
вращается вокруг движущейся точки
![$C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$ $C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/1/341ca823b9c7ca351cf4af132172c79282.png)
, вовсе не совпадающей с точкой
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
.
Если бы у нас была не одна точка
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, а твёрдое тело (плоское, естественно), вращающееся с постоянной угловой скоростью
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
вокруг точки
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
, то, повторив вычисления для любой другой точки этого тела, мы обнаружили бы, что в системе
![$O'x'y'$ $O'x'y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/5100bd2aa332cdd61cfa9d53c39eb99f82.png)
все точки тела вращаются с одной и той же угловой скоростью
![$\omega$ $\omega$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4fb5973f393577570881fc24fc205482.png)
вокруг одной и той же точки
![$C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$ $C'\left(\frac v{\omega},-vt\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/1/341ca823b9c7ca351cf4af132172c79282.png)
, то есть, тело вращается именно вокруг этой точки.
Заметим, что употребление термина "вращается вокруг" в данном случае выглядит парадоксальным. Если скорость
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
достаточно велика, то точка
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
будет всё время "болтаться" по одну сторону от точки
![$C'$ $C'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e9592dd37df872e4eaae9c6e9b44e582.png)
, не обходя "вокруг". На самом деле используется термин "мгновенный центр вращения" (в трёхмерном пространстве - "мгновенная ось вращения"). Определяя этот термин, исходят из случая равномерного вращения вокруг неподвижного центра
![$C_0(x_0,y_0)$ $C_0(x_0,y_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/a/f9a4ecf1eb3bf93ed53149c8d7d44e0e82.png)
, то есть, из формул
![$$\begin{cases}x(t)=x_0+R\cos\omega(t-t_0)\text{,}\\ y(t)=y_0+R\sin\omega(t-t_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(7)}$$ $$\begin{cases}x(t)=x_0+R\cos\omega(t-t_0)\text{,}\\ y(t)=y_0+R\sin\omega(t-t_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(7)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/2/2b25cf885ba3d3e0338a107eb235556e82.png)
дифференцируя которые, получаем
![$$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(8)}$$ $$\begin{cases}\dot x(t)=-\omega(y(t)-y_0)\text{,}\\ \dot y(t)=\omega(x(t)-x_0)\text{,}\end{cases}\eqno{(8)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/d/acd226079cc85682ae8f4c6203072afe82.png)
поэтому мгновенный центр вращения
![$C(x(t),y(t))$ $C(x(t),y(t))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/9/c2944196378821b9eba4afd27a70c4c582.png)
твёрдого тела определяют условием, чтобы скорости всех точек тела в заданный момент времени
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
удовлетворяли соотношениям (1), то есть, были такими же, как у тела, равномерно вращающегося вокруг неподвижной точки
![$C_0$ $C_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/2/93205c116b0f5c643ea55261e300e1f182.png)
, которая совпадает в этот момент с
![$C(x(t),y(t))$ $C(x(t),y(t))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/9/c2944196378821b9eba4afd27a70c4c582.png)
(это определяет также и мгновенную угловую скорость).