Задача о двух материальных точках

[anik]

Munin в сообщении #236731 писал(а):

anik в сообщении #236723 писал(а):

Вот эту задачу я и имел в виду решить

Ну так решите. А вообще, вам надо решить не одну задачу, а пару десятков.

Откуда вы знаете сколько задач я перерешал на самом деле?

-- Пт авг 21, 2009 19:26:44 --

Munin в сообщении #236731 писал(а):

anik в сообщении #236723 писал(а):

Задача же с двумя массами и пружинами, рассматриваемая Геронимусом, как видно, вышла из разряда «плинтусных» задач и оказалась для механики непосильной.

Только для вас непосильной.

Почему же эта задача не решена Геронимусом до конца? Он смог только составить неправильные дифференциальные уравнения и не решил их.

[Munin]

anik в сообщении #236774 писал(а):

Откуда вы знаете сколько задач я перерешал на самом деле?

Это видно по результатам.

anik в сообщении #236774 писал(а):

Почему же эта задача не решена Геронимусом до конца? О смог только составить неправильные дифференциальные уравнения и не решил их.

Это как это не до конца? Он решение привёл. На с. 142 ненумерованные формулы вторая и третья сверху. Или вы слепы? И дифуры у него не неправильные.

[venco]

anik в сообщении #236649 писал(а):

В логике есть ещё закон противоречия: «высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными». Учитывая закон исключённого третьего: «из двух противоречащих высказываний одно является истинным»

Высказывание А: "Высказывание А ложно".
Высказывание Б: "Высказывание А истинно".

Какое из этих высказываний явлается истинным?

[Vallav]

venco в сообщении #236787 писал(а):

anik в сообщении #236649 писал(а):

В логике есть ещё закон противоречия: «высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными». Учитывая закон исключённого третьего: «из двух противоречащих высказываний одно является истинным»

Высказывание А: "Высказывание А ложно".
Высказывание Б: "Высказывание А истинно".

Какое из этих высказываний явлается истинным?

Если и утверждение и его отрицание выводятся в данной
теории - теория противоречива.
Если теория не противоречива, то
Если утверждение выводится в данной теории, оно истинно.
Если отрицание утверждения выводится в данной теории,
то утверждение ложно.
Если в данной теории ни утверждение ни его отрицание
не выводятся - то утверждение невыводимо.
К аксиомам теории можно добавить как утверждение
так и его отрицание - получатся два разных расширения
исходной теории.

[Munin]

venco
:-)

[Nemorozov]

Нашел кучу определений и объснений явления деривации.

Например вот: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/1608 ... 0%B8%D1%8F

Цитата:

При прямолинейном движении снаряда ось его собственного вращения совпадает с направлением движения...

Пуля или снаряд вылетевший из ствола ни к каким спроектированным механическим осям (как в гироскопе, например) не прявязаны и находятся в свободном полете и при этом вращаются вокруг собственной оси!!!

Таким образом, либо:

Munin -1
anik +1

либо научное объснение деривации нужно признать неверным.

[Munin]

Nemorozov
Не будьте дураком, почитайте того же Геронимуса сами, а не со слов anik. Там всё очень внятно написано. Ни о каком свободном полёте там речи не идёт, действуют внешние силы.

[anik]

venco в сообщении #236787 писал(а):

anik в сообщении #236649 писал(а):

В логике есть ещё закон противоречия: «высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными». Учитывая закон исключённого третьего: «из двух противоречащих высказываний одно является истинным»

Высказывание А: "Высказывание А ложно".
Высказывание Б: "Высказывание А истинно".

Какое из этих высказываний явлается истинным?

Противоречат между собой высказывания:
"Высказывание А истинно"
"Высказывание А не истинно"
Какое из этих высказываний истинно на самом деле, логика ответить не может.
Высказывание не должно быть рекурсивным, т.е. указывать само на себя. В приведённом примере рекурсивным является высказывание:
Высказывание А: "Высказывание А ложно"
Если был такой пример:
Высказывание А: "Высказывание С ложно"
Высказывание Б: "Высказывание С истинно"
То, тогда бы не было никакого противоречия или парадокса. В этом случае высказывания А и Б были бы противоречивы (если, конечно под ложью понимать не истину), где не
логическая функция отрицания. С рекурсивными высказываниями связано множество парадоксов.

[PapaKarlo]

anik, с рекурсией Вы здорово разобрались. А с задачей у Геронимуса и закреплением некоторых элементов систем тоже разобрались? То, на чем эти элементы закреплены, тоже входит в изолированную систему или нет? И центр масс какой системы рассматривает Геронимус?

[anik]

Давайте вместе решать пример Геронимуса с двумя колечками, т.е. я буду решать, а желающие могут проверять и возражать если я не прав. Текст из книги я буду выделять цветом.
4. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример: вдоль гладкого горизонтального стержня ОА могут скользить два колечка с массами $m_1$ и $m_2$ (рис.51); их абсциссы

обозначим $x_1$ и $x_2$; они связаны с неподвижными концами О и А стержня и друг с другом невесомыми пружинами с жесткостями $c_1, c_2$ и $c$, причём ненапряжённые длины пружин равны $l_1, l_2$ и $l$. Найти движение обоих колечек и их центра инерции.
Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек таково:
$M\ddot x_c = m_1\ddot x_1 + m_2\ddot x_2 = -c_1(x_1 - l_1) + c_2(l + l_1 - x_2).$
Мы не можем его решить, ибо оно содержит две неизвестные функции времени $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

Здесь не сказано о массе стержня ОА. Судя по тому, что масса стержня не входит в уравнения, приходим к выводу что она равна нулю. Они связаны с неподвижными концами О и А стержня... Почему Геронимус считает, что стержень О А неподвижен?
Если он неподвижен по условию задачи, тогда на рисунке в точке О должна быть черта со штриховкой и система не является изолированной. Будем всё-таки считать, что Геронимус рассматривает изолированную систему. Но в этом случае стержень не будет при движении колечек оставаться неподвижным, он будет неподвижен только в частном случае, когда $m_1 = m_2, c_1 = c_2, l_1 + l_2$, и задача становится симметричной. От того что Геронимус связал с точкой О систему отсчёта, стержень стал неподвижен относительно этой системы отсчёта. От этого реальное движение стержня не изменится, просто система отсчёта, связанная с точкой О сама будет участвовать в колебательном движении вместе со стержнем и не будет являться инерциальной системой отсчёта.
На этом пока остановимся. Если не у кого нет возражений по поводу этой части, то далее проверим дифференциальное уравнение движения центра инерции.

-- Сб авг 22, 2009 12:55:35 --

Почему в дифференциальное уравнение не входит жёсткость пружины $c$, в то время как длина этой пружины $l$ входит? Неужели движение системы не зависит от жёсткости пружины $c$?
Рассмотрим член $-c(x_1 - l_1)$. Запишем его так: $c_1(l_1 - x_1)$; выражение $(l_1 - x_1)$ означает деформацию пружины с длиной $l_1$, а член $c_1 (l_1 - x_1)$ есть сила, действующая на колечко $m_1$ со стороны пружины с жёсткостью $c_1$. Но ведь колечко $m_1$ связано со стержнем ОА не только пружиной $c_1$. Нужно учесть ещё деформации пружин с жёсткостями $c$ и $c_2$ и соответствующие им силы. Какие соображения будут по этому поводу?

[Munin]

anik в сообщении #236935 писал(а):

Почему Геронимус считает, что стержень О А неподвижен?
Если он неподвижен по условию задачи, тогда на рисунке в точке О должна быть черта со штриховкой

Ну уж на такое Геронимус не рассчитывал :-)

anik в сообщении #236935 писал(а):

и система не является изолированной

А где сказано, что она изолированная?

anik в сообщении #236935 писал(а):

Будем всё-таки считать, что Геронимус рассматривает изолированную систему.

Вопреки условиям? С этого момента ваше решение можно уже не читать, оно ошибочно.

anik в сообщении #236935 писал(а):

Почему в дифференциальное уравнение не входит жёсткость пружины $c$, в то время как длина этой пружины $l$ входит? Неужели движение системы не зависит от жёсткости пружины $c$?

Потому что это не дифференциальное уравнение "движения системы".

Когда вы читать научитесь? Там же всё сказано. По-русски. Чего не сказано - того не сказано. Чего сказано - сказано не напрасно.

[anik]

Munin в сообщении #236943 писал(а):

А где сказано, что она изолированная?

А где сказано что она не изолирована?

[jetyb]

anik в сообщении #236935 писал(а):

Почему в дифференциальное уравнение не входит жёсткость пружины , в то время как длина этой пружины входит?

Уравнение составлено неверно. На первое тело действует не только левая пружина, но и средняя. Как и на второе.

Чтобы не заморачиваться каждый раз, для подобных задач придумали алгоритм решения через уравнения Лагранжа. Находим функцию L={кинетическая энергия}-{потенциальная энергия} от координат, затем решаем уравнения:

$$\frac{d}{dt}L_{\dot{x}_i}=L_{x_i}.$$

Если концы крайних пружин не прикреплены к неподвижному стержню, то крайние пружины вообще можно не рассматривать.

[anik]

Munin в сообщении #236943 писал(а):

anik в сообщении #236935 писал(а):

Почему Геронимус считает, что стержень О А неподвижен?
Если он неподвижен по условию задачи, тогда на рисунке в точке О должна быть черта со штриховкой

Ну уж на такое Геронимус не рассчитывал

Вы бы дописали мое предложение до конца, а то контекст слишком вырванный.
Там было написано: "Если он неподвижен по условию задачи, тогда на рисунке в точке О должна быть черта со штриховкой и система не является изолированной." Поскольку нет указаний на то, что система не изолирована, то эта штриховка означала бы что стержень закреплён. И зря "Ну уж на такое Геронимус не рассчитывал", мы что должны гадать изолирована система или нет?

-- Сб авг 22, 2009 14:29:30 --

jetyb в сообщении #236954 писал(а):

Уравнение составлено неверно. На первое тело действует не только левая пружина, но и средняя. Как и на второе.

Я тоже так считаю

-- Сб авг 22, 2009 14:36:31 --

jetyb в сообщении #236954 писал(а):

Если концы крайних пружин не прикреплены к неподвижному стержню, то крайние пружины вообще можно не рассматривать.

Разве кто-нибудь говорил о том, что "концы крайних пружин не прикреплены к неподвижному стержню"?

-- Сб авг 22, 2009 14:45:06 --

jetyb в сообщении #236954 писал(а):

Чтобы не заморачиваться каждый раз, для подобных задач придумали алгоритм решения через уравнения Лагранжа. Находим функцию L={кинетическая энергия}-{потенциальная энергия} от координат, затем решаем уравнения:

$$\frac{d}{dt}L_{\dot{x}_i}=L_{x_i}.$$

Вы можете, если желаете, привести решение этой задачи с использованием алгоритма Лагранжа. Я эту задачу (в том случае если это изолированная система) решу гораздо проще.

-- Сб авг 22, 2009 14:56:08 --

Munin в сообщении #236943 писал(а):

anik в сообщении #236935 писал(а):

Неужели движение системы не зависит от жёсткости пружины $c$?

Потому что это не дифференциальное уравнение "движения системы".
Когда вы читать научитесь? Там же всё сказано. По-русски. Чего не сказано - того не сказано. Чего сказано - сказано не напрасно.

Согласен. Мне следовало сказать:" Неужели движение центра инерции системы не зависит от жескости пружины $c$?"

[ewert]

anik в сообщении #236956 писал(а):

И зря "Ну уж на такое Геронимус не рассчитывал", мы что должны гадать изолирована система или нет?

Не должны гадать. Если бы в задаче допускалась какая-либо динамика самого стержня, то в тексте обязано было бы присутствовать что-нибудь типа "стержень скользит по столу без трения", ну и что-нибудь про его массу или невесомость тоже. Поэтому по умолчанию -- стержень предполагается закреплённым.

anik в сообщении #236935 писал(а):

Почему в дифференциальное уравнение не входит жёсткость пружины $c$, в то время как длина этой пружины $l$ входит? Неужели движение системы не зависит от жёсткости пружины $c$?

Потому, что не "уравнения", а только одно уравнение, в то время как независимых функций -- две (почему, собственно, и появилось упоминание о "неразрешимости"). Если же честно выписать систему из двух дифуравнений, то там как раз и появится $c$. А при сложении этих двух уравнений (как и было формально получено выписанное) -- соответствующие слагаемые сокращаются, естественно.

jetyb в сообщении #236954 писал(а):

Уравнение составлено неверно. На первое тело действует не только левая пружина, но и средняя.

Верно (см. выше).

anik в сообщении #236956 писал(а):

Согласен. Мне следовало сказать:" Неужели движение центра инерции системы не зависит от жескости пружины $c$?"

Зависит. Но чтобы найти эту зависимость, надо честно решать систему из двух уравнений.