Задача о двух материальных точках

[Alex165]

anik в сообщении #236199 писал(а):

...
А если кому-нибудь скучно, то пусть найдет тему повеселее.

И мне теперь скучно, пока.

[Vallav]

Alex165 в сообщении #236187 писал(а):

Классическая механика говорит, что вектор угловой скорости в ИС для произвольного тела (произвольные главные моменты инерции) совершает периодическое движение, а само тело - апериодическое, т.е. может никогда не возвращаться в своё исходное положение. Это значит, в частности, что те кувырки гайки, что Вы наблюдали, ещё далеко не самое сложное движение, которое она может совершать. И всё это в вакууме в невесомости и т.д. Детально это можно найти у Уиттекера в Аналитической динамике (которая недавно вышла в России, старое издание есть в интернете).

Извините, Вы не поняли.
Я не спрашивал, что говорит классическая механика по поводу
поведения твердого тела, закрученного вокруг произвольной
оси.
Я спрашивал - как ведет себя гайка Джанибекова
в вакууме ( когда сопротивлением воздуха можно принебречь ).
В предложенной Вами книге об этом говорится?
Здесь не сообщите?

[Someone]

Vallav в сообщении #236250 писал(а):

Я спрашивал - как ведет себя гайка Джанибекова
в вакууме ( когда сопротивлением воздуха можно принебречь ).
В предложенной Вами книге об этом говорится?

anik в сообщении #236199 писал(а):

Мне не хотелось бы всё время возвращаться к "гайке Джанибекова" потому, что она вращалась в воздухе и не являлась изолированным телом.

Слушайте, братцы-акробатцы, почему бы вам обоим не взять по ссылке http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ejxenvald_ch3_1934ru.djvu учебник, изданный задолго до Джанибекова с его "барашком" (а не шестиугольной гайкой), не открыть там главу V и не приложить некоторые усилия к тому, чтобы разобраться с вращением твёрдого тела и применить это к "барашку" Джанибекова?

Vallav в сообщении #236250 писал(а):

Здесь не сообщите?

Никто не будет переписывать для Вас несколько страниц из учебника. Максимум, что могу предложить - это http://dxdy.ru/post109077.html#p109077.

[Vallav]

Someone в сообщении #236288 писал(а):

Vallav в сообщении #236250 писал(а):

Я спрашивал - как ведет себя гайка Джанибекова
в вакууме ( когда сопротивлением воздуха можно принебречь ).
В предложенной Вами книге об этом говорится?

Слушайте, братцы-акробатцы, почему бы вам обоим не взять по ссылке http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ejxenvald_ch3_1934ru.djvu учебник, изданный задолго до Джанибекова с его "барашком" (а не шестиугольной гайкой), не открыть там главу V и не приложить некоторые усилия к тому, чтобы разобраться с вращением твёрдого тела и применить это к "барашку" Джанибекова?

Вы применили?
И что получилось?
Гайка в вакууме переодически переворачивается?
И Вы знаете, как этот период посчитать?

Someone в сообщении #236288 писал(а):

Vallav в сообщении #236250 писал(а):

Здесь не сообщите?

Никто не будет переписывать для Вас несколько страниц из учебника. Максимум, что могу предложить - это http://dxdy.ru/post109077.html#p109077.

Дык не надо переписывать страницы.
Достаточно для начала - сообщить результат.
По ссылке - получается, что тело, закрученное вдоль средней
оси не беспорядочно бултыхается ( как обычно пишут ) а совершает
вполне переодические перевороты?
Может все же Вы не правы, и это - вращение вокруг минимальной
оси? А перевороты - вследствии опрокидывающего момента из
за сопротивления воздуха?
Тут хоть понятно, почему гайка "застревает" на время, когда ось вращения
близка к направлению этой оси и быстро переворачивается, когда
далека.
Ведь вращение вокруг этой оси хоть не абсолютно устойчиво,
но все же - устойчиво.
А вот с чего бы гайке застревать, когда направление оси вращения
близко к направлению средней оси - непонятно.

[Munin]

Someone в сообщении #236288 писал(а):

Максимум, что могу предложить - это post109077.html#p109077.

Добавлю, что рисунок эллипсоида, расчерченного траекториями, есть в ЛЛ-1:

[anik]

Munin в сообщении #236213 писал(а):

anik в сообщении #236199 писал(а):

"Глядя" на эту гайку, некоторые думают, что изолированное твердое тело будет "опрокидываться" или совершать все время апериодическое движение.

А некоторые точно так же думают, глядя не на гайку, а на решение задачи свободного движения тела. Например, в § 37 той же "Механики" Ландау-Лифшица.

anik в сообщении #236199 писал(а):

А ето уже наша тема, поскольку гантель представляет собой именно такое тело.

Нет. Гантель симметрична, более того, один её момент инерции нулевой.

Я говорил о том, что гантель представляет собой именно свободное твёрдое тело. Вы отверили: "Нет. Гантель симметрична...." Из того, что гантель симметрична и один её момент инерции нулевой, она не перестаёт быть свободным твёрдым телом. Впрочем, можно доказать что и гантель не будет совершать апериодическое движение. Её вращение вокруг оси инерции максимум будет устойчивым. Не доказав этого, нет смысла двигаться в решении "задачи о двух материальных точках" дальше.
Сначала докажем, что гантель будет устойчиво вращаться вокруг точки на стержне гантели, являющейся именно центром масс. В доказательстве будем исходить из двух положений:
1. Вектор кинетического момента гантели не изменяется ни по модулю ни по направлению.
2. Вращение будет происходить вокруг такой точки на стержне гантели, чтобы кинетическая энергия вращения, при заданном кинетическом моменте, была минимальна. (Принцип минимума кинетической энергии).
Доказательство.
Поступим следующим образом. Зададим на отрезке $S_{12}$ некоторый центр $O$, делящий этот отрезок в отношении $\lambda$ внутренним образом. Исходя из заданного кинетического момента $H$ и выбранного произвольно центра $O$, найдём линейные скорости $V_{1O}$ и $V_{2O}$ вращения точек $m_1$ и $m_2$. Далее, зная линейные скорости, найдём суммарную кинетическую энергию $T$ двух точек. Эту кинетическую энергию выразим через параметры гантели и отношение $\lambda$. Затем, найдём при каком $\lambda$ кинетическая энергия $T$ примет минимальное значение. Для этого возьмём производную $\frac {dT} {d \lambda}$ и приравняем её нулю. Решив это уравнение найдём то значение $\lambda$, при котором $T$ принимает минимальное значение.
Действуем по намеченному плану.
Найдём линейные скорости вращения точек $m_1$ и $m_2$ вокруг центра $O$.
$V_1=\Omega S_{O1}; V_2= \Omega S_{O2}$, причём: $\frac{S_{O1}} {S_{O2}}=\lambda $,
$\e\left\{\begin{array} {1} S_{O1} - \lambda S_{O2} = 0,\\ S_{O1}+ S_{O2} = S_{12}, \end{array} \right.$
$S_{O1} = \frac{\lambda S_{12}} {1+\lambda}$, $S_{O2} = \frac{S_{12}} {1+\lambda}$,
$V_1= \frac{\lambda \Omega S_{12}} {1+\lambda},$
$V_2= \frac{\Omega S_{12}} {1+\lambda},$ (1)
Найдём момент инерции гантели относительно точки $O$. (Предполагается, что гантель вращается вокруг точки $O$).
$J = m_1S_{O1}^2 + m_2S_{O2}^2 = \frac {(m_1\lambda ^2 + m_2)S_{12}^2} {(1 + \lambda )^2}$
Теперь "найдём" кинетический момент $H$
$H = \frac {\Omega (m_1\lambda ^2 + m_2)S_{12}^2} {(1+ \lambda)^2}$
На самом деле $H$ задан, нам нужно выразить отсюда угловую скорость $\Omega$,
$\Omega = \frac {H(1+\lambda )^2} {(m_1\lambda ^2 + m_2)S_{12}^2}$.
Теперь, зная угловую скорость $\Omega$, мы можем найти линейные скорости вращения из (1).
$V_1 = \frac {\lambda H (1+\lambda)} {(m_1\lambda ^2+m_2)S_{12}}$
$V_2 = \frac {H (1+\lambda)} {(m_1\lambda ^2+m_2)S_{12}}$.
И, наконец, зная линейные скорости, можно найти кинетическую энергию вращения $T$.
$T = \frac {m_1V_1^2}{2} + \frac {m_2V_2^2}{2} = \frac {H^2(1+\lambda )^2}{2(m_1\lambda ^2+m_2)S_{12}^2}$
Теперь, найдём производную:
$\frac {dT}{d\lambda} = \frac {H^2(1+\lambda )(m_1\lambda ^2+m_2) - H^2(1+\lambda)^2m_1\lambda}{(m_1\lambda ^2+m_2)^2S_{12}^2}$
Приравняем нулю числитель, решим уравнение и найдём $\lambda = \frac {m_2}{m_1}$.
Вспоминая, что $\lambda = \frac {S_{O1}}{S_{O2}},$ пишем:
$\frac {S_{O1}}{S_{O2}} = \frac {m_2}{m_1}$,
Т.е. $\lambda$ делит отрезок $S_{12}$ в отношении $\frac {m_2}{m_1}$. Это означает, что искомый центр $O$ находится в центре масс. Только когда центр вращения $O$ находится в центре масс системы точек $m_1$ и $m_2$, кинетическая энергия вращения $T$ при $H - const$ достигает минимума. При малейшем смещении центра вращения от центра масс, кинетическая энергия должна возрастать (при $H - const$).
Но это противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, вращение вокруг центра $C$ будет устойчивым, что и требовалось доказать.

[Someone]

Vallav в сообщении #236298 писал(а):

Someone в сообщении #236288 писал(а):

Vallav в сообщении #236250 писал(а):

Я спрашивал - как ведет себя гайка Джанибекова
в вакууме ( когда сопротивлением воздуха можно принебречь ).
В предложенной Вами книге об этом говорится?

Слушайте, братцы-акробатцы, почему бы вам обоим не взять по ссылке http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ejxenvald_ch3_1934ru.djvu учебник, изданный задолго до Джанибекова с его "барашком" (а не шестиугольной гайкой), не открыть там главу V и не приложить некоторые усилия к тому, чтобы разобраться с вращением твёрдого тела и применить это к "барашку" Джанибекова?

Вы применили?
И что получилось?
Гайка в вакууме переодически переворачивается?

Судя по идиотскому вопросу, учебник Вы не открывали. Иначе знали бы, что в пунктах 71 - 73 рассматривается движение тела при отсутствии внешних моментов (свободного в смысле "моего" определения). То есть, заведомо в вакууме.

Vallav в сообщении #236298 писал(а):

И Вы знаете, как этот период посчитать?

В том же учебнике в пункте 71 приведено решение уравнений Эйлера, выраженное через эллиптические функции. Про них много чего известно, в том числе - и периоды.

Vallav в сообщении #236298 писал(а):

Дык не надо переписывать страницы.
Достаточно для начала - сообщить результат.
По ссылке - получается, что тело, закрученное вдоль средней
оси не беспорядочно бултыхается ( как обычно пишут ) а совершает
вполне переодические перевороты?

Вы путаете движение вектора момента импульса или оси вращения относительно тела, которое действительно выглядит достаточно регулярным, и движение тела, которое вращается вокруг оси, которая сама также как-то движется в неподвижной системе координат. "Гайка Джанибекова" реализует весьма специфический случай, в котором движение выглядит столь наглядным и эффектным, потому что скорость движения оси мала по сравнению с угловой скоростью вращения самого тела. В общем же случае скорость движения оси мало отличается от скорости вращения тела, в результате чего движение тела выглядит как беспорядочное кувыркание, тем более, что проследить за ним невооружённым глазом и понять детали вращения практически невозможно. Попробуйте бросать спичечный коробок, заставляя его вращаться вокруг средней оси (и для сравнения - вокруг большой или вокруг малой оси).

Vallav в сообщении #236298 писал(а):

А вот с чего бы гайке застревать, когда направление оси вращения близко к направлению средней оси - непонятно.

Вы ведь мой текст читали? Там объясняется. Или Вы объяснение с формулами не понимаете?

Цитата:

$$\begin{cases}\frac{dM_1}{dt}=\frac{I_2-I_3}{I_2I_3}M_2M_3\text{,}\\ \frac{dM_2}{dt}=\frac{I_3-I_1}{I_3I_1}M_3M_1\text{,}\\ \frac{dM_3}{dt}=\frac{I_1-I_2}{I_1I_2}M_1M_2\text{.}\end{cases}$$

...
Теперь рассмотрим вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции. Предположим, что в начальный момент вращение происходит не вокруг этой оси, а вокруг очень близкой к ней. В этом случае компоненты момента импульса $\vec M$ следующие: $M_1\approx 0$, $M_2\approx M$, $M_3\approx 0$. Из уравнений Эйлера видим, что правые части этих уравнений в этом случае малы, и вектор момента относительно гайки движется очень медленно.

P.S. Спасибо Muninу за рисунок.

[Munin]

anik в сообщении #236350 писал(а):

Я говорил о том, что гантель представляет собой именно свободное твёрдое тело.

Нет. Вы говорили, что гантель представляет собой "такое тело". А какое - перед этим говорили про гайку.

anik в сообщении #236350 писал(а):

Из того, что гантель симметрична и один её момент инерции нулевой, она не перестаёт быть свободным твёрдым телом.

Зато она перестаёт опрокидываться.

anik в сообщении #236350 писал(а):

Впрочем, можно доказать что и гантель не будет совершать апериодическое движение.

"И гантель" - не будет. Гантель - будет. Но без "и", потому что гайка совершает апериодическое движение.

anik в сообщении #236350 писал(а):

В доказательстве будем исходить из двух положений:
1. Вектор кинетического момента гантели не изменяется ни по модулю ни по направлению.
2. Вращение будет происходить вокруг такой точки на стержне гантели, чтобы кинетическая энергия вращения, при заданном кинетическом моменте, была минимальна. (Принцип минимума кинетической энергии).

И откуда этот принцип следует? Вы знаете, что если доказательство опирается на ложное положение, то оно и само недействительно?

anik в сообщении #236350 писал(а):

Поступим следующим образом. Зададим на отрезке $S_{12}$ некоторый центр $O$, делящий этот отрезок в отношении $\lambda$ внутренним образом. Исходя из заданного кинетического момента $H$ и выбранного произвольно центра $O$

Вы уже выбрали центр не произвольно, а на отрезке $S_{12}.$

[anik]

По поводу «принципа минимума кинетической энергии». Этот принцип сформулирован мною как рабочая гипотеза. Можно еще говорить о «принципе минимума потенциальной энергии». Например: шарик на волнистой поверхности, под действием силы тяжести примет устойчивое положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии, а куриное яйцо на плоскости не будет стоять на «носике». Для того чтобы найти положение яйца на плоскости, нужно исходить из принципа минимума потенциальной энергии, т.е. центр масс яйца будет расположен в устойчивом положении на минимальной высоте. Я не знаю, сформулирован ли где-нибудь принцип минимума потенциальной энергии как «принцип», но им часто пользуются. Мы часто пользуемся «законами симметрии», но мне не доводилось встречать в литературе формулировку этих законов. Я не спорю с тем, что возведение минимума кинетической энергии в ранг принципа может быть слишком «смелым», но иметь этот принцип «на уме», по-моему, не будет лишним. Цитирую У. Ригли. «Теория, проектирование и испытание гироскопов».
«Уравнение (3, 38) справедливо для твердого и упругого тел, и кинетический момент тела остается постоянным при отсутствии внешних моментов. Следовательно, устойчивое вращение будет иметь угловую скорость, минимизирующую кинетическую энергию при условии постоянства кинетического момента». Как видим, здесь тоже используется минимизация кинетической энергии.
Для чего нам так нужно найти центр вращения гантели? Для того, что именно центр вращения гантели будет являться «неподвижной» точкой в инерциальном пространстве, т.е. не двигаться с ускорением. Тогда, остальные точки гантели будут двигаться по окружностям вокруг этого центра с угловой скоростью $\Omega$ т.е. двигаться с ускорением, и тогда системы отсчета, связанные с точками гантели, отличными от центра вращения не будут являться инерциальными. Впрочем, для того, чтобы доказать, что гантель будет вращаться именно вокруг центра масс, можно не пользоваться минимумом кинетической энергии.
Предположим, что гантель вращается вокруг точки $O$, являющейся серединой отрезка $S_{12}$ Найдём силы, действующие со стороны стержня на массы $m_1$ $m_2$, $m_1<m_2$.

$F_1 = 1/2m_1\Omega ^2S_{12}; F_2 = 1/2m_2\Omega ^2S_{12}$

но, поскольку $m_1<m_2$, то $F_1<F_2$.
Мы видим явное нарушение третьего закона Ньютона. В этом случае сумма внутренних сил взаимодействия уже не равна нулю и центр масс гантели (и сама гантель) начнет двигаться с ускорением. Мы получим: «§6. Косвенное влияние внутренних сил на движение центра инерции материальной системы». [«Теоретическая механика» Я.Л. Геронимус, «Наука» М 1973г. Стр. 139].
Получается так: вообще-то крокодилы не летают, но иногда они летают, но очень низко.
Ошибка, допущенная в рассматриваемом там примере, заключается в том, что система отсчёта была связана с одним из «неподвижных» концов О и А стержня. Наверное, стержень «стал неподвижен» потому, что с ним связали систему отсчёта? На самом деле, систему отсчёта нужно было связать с центром масс колечек, и потом уже составлять дифференциальные уравнения движения.
Если (для гантели) предположить, что меньшая масса $m_1$ будет вращаться вокруг большей массы $m_2$ (как считают некоторые авторы), то тогда на меньшую массу $m_1$ будет действовать центростремительная сила «взаимодействия», а на большую массу $m_2$ сила «взаимодействия» действовать вообще не будет. А как быть в случае, когда $m_1 = m_2$ ? Какая из масс будет вращаться вокруг другой?

[Munin]

anik в сообщении #236432 писал(а):

Я не знаю, сформулирован ли где-нибудь принцип минимума потенциальной энергии как «принцип», но им часто пользуются.

Сформулирован. А вот принцип минимума кинетической энергии - нет. Один верен, другой неверен.

anik в сообщении #236432 писал(а):

Мы часто пользуемся «законами симметрии», но мне не доводилось встречать в литературе формулировку этих законов.

Да вы просто с литературой не знакомы. Даже в ФЛФ законы симметрии изложены.

anik в сообщении #236432 писал(а):

Цитирую У. Ригли. «Теория, проектирование и испытание гироскопов».
«Уравнение (3, 38) справедливо для твердого и упругого тел, и кинетический момент тела остается постоянным при отсутствии внешних моментов. Следовательно, устойчивое вращение будет иметь угловую скорость, минимизирующую кинетическую энергию при условии постоянства кинетического момента». Как видим, здесь тоже используется минимизация кинетической энергии.

Надо разбираться, почему.

[Vallav]

Someone в сообщении #236351 писал(а):

Судя по идиотскому вопросу, учебник Вы не открывали. Иначе знали бы, что в пунктах 71 - 73 рассматривается движение тела при отсутствии внешних моментов (свободного в смысле "моего" определения). То есть, заведомо в вакууме.

Судя по идиотскому ответу - Вы вопроса не поняли.

Я не спрашивал, как будет двигаться некое тело.
Я спрашивсал конкретно - гайка Джанибекова в вакууме будет
вести себя так же, как в воздухе?
Если да - откуда сведения?
Вы вместо ответа на этот вопрос занимаетесь оскорблениями и увиливаниями.
Однако, нехорошо.
Не знаете, так и скажите - не знаю.

[anik]

На закреплённый горизонтально гладкий стержень насажены два колечка с различными массами, связанные пружиной. Колечки и пружина могут скользить по стержню без трения. Пружина сжимается и фиксируется, а затем, в момент времени $t = 0$ отпускается. Как будут двигаться колечки, если суммарный импульс этой системы колечек с пружиной в лабораторной СО равен нулю?
Какая точка на витках пружины будет оставаться неподвижной относительно стержня?
Указание: массой пружины и сопротивлением воздуха пренебречь.
В принципе, это задача изолированной системы двух масс, связанных пружиной, с нулевым начальным кинетическим моментом.
Кто-нибудь может привести решение этой задачи?
Придираться, конечно, легче. Если эту задачу никто не решит, то я сам приведу её решение.

[Munin]

Скучно. Такие вещи в десятом классе решаются пачками. Приводите, если вам хочется, хотя будь у вас представление о плинтусном уровне этой задачи, вы бы её решили у себя на бумажке, и не выкладывали на форум.

[anik]

Munin в сообщении #236549 писал(а):

Скучно. Такие вещи в десятом классе решаются пачками. Приводите, если вам хочется, хотя будь у вас представление о плинтусном уровне этой задачи, вы бы её решили у себя на бумажке, и не выкладывали на форум.

Если задача с двумя колечками столь примитивна, то аналогичная задача с тремя колечками пружинками и двумя колечками которую рассматривал Геронимус, привела уже к "косвенному влиянию внутренних сил на движение центра масс". Посмотрите, там даже не решены дифференциальные уравнения, а сделан "не слабый" вывод.
Вы знаете, в логике есть закон исключённого третьего: "из двух противоречащих высказываний одно является истинным". Например: "1. геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю" "Краткий курс теоретической механики" Тарг С.М. Отсюда следует что "внутренние силы не влияют на движение центра масс системы". Геронимус утверждает что "внутренние силы влияют на движение центра масс системы". Эти два высказывания противоречат. Как вы думаете, какое из них истинное? Ответьте кто-нибудь, если не затруднит.
Если для вас задача с двумя колечками примитивна, то ответьте только на вопрос: какая точка на витках пружины будет неподвижна относительно стержня, т.е. в каком отношении неподвижная точка будет делить отрезок соединяющий центры масс самих колечек?

[Alex165]

anik в сообщении #236573 писал(а):

...
в каком отношении неподвижная точка будет делить отрезок соединяющий центры масс самих колечек?

(вынужден вернуться из скуки) anik, Вы со своей примитивненькой задачкой напоминаете солдата, который подошёл к генералу и говорит: "Если ты генерал, то и стреляешь лучше всех, ну-ка стрельни!" В отличие от армии здесь с Вами ещё вежливо разговаривают... Вы свою задачку лучше решите и спросите у народа: "Ну как?" и даже это будет не совсем вежливо.