Крокодил двигается с разной скоростью по суше и воде (5 и 4 метра в секунду соответственно).
Крокодил находится на берегу реки шириной 6 метров, а на другом берегу, на расстоянии 20 метров находится зебра -- потенциальная добыча крокодила.
Найти путь крокодила к зебре, который займет минимальное время (и это минимальное время).
В общем, без производных задача решается школьными методами так. Школьнику не обязательно повторять все эти слова, но в выводе нет ничего нешкольного.
Задача эквивалентна нахождению минимума функции
![$t(x) = \frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$ $t(x) = \frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/8/9288046570f9d02ce92cb5f30939716b82.png)
, где
![$a=4/5$ $a=4/5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/d/f9dfe426d5c57935c28329e804f76ab682.png)
- отношение скоростей, а
![$x=\sin\varphi$ $x=\sin\varphi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/f/50f74147cdf174f08413da57e41cb5b582.png)
- синус угла с перпендикуляром к реке. Это выражение получаем преобразованием исходного физического выражения для времени, вычтя константу и поделив на постоянный коэффициент, положение минимумов у них совпадает. Каждый минимум функции
![$t(x)$ $t(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/7592e8ca3cc64009a29ef0fb58f65c7682.png)
находится среди экстремумов функции
![$t(x)^2$ $t(x)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f738ecf4bf115a8c33c8c258a20e257982.png)
, которая - рациональная функция с квадратичными числителем и знаменателем. Пусть
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
- положение экстремума. Запишем разность
![$d(x,x_0)=t(x)^2 - t(x_0)^2$ $d(x,x_0)=t(x)^2 - t(x_0)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/4/a84b386531488908afe91e4fcc0d1ae582.png)
. Разность опять довольно простая рациональная функция, так как при вычитании всё лишнее сокращается. У неё знаменатель положительный на интервале
![$x \in (-1,1)$ $x \in (-1,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/5/985158c5f7e9b809c2f58b263c3bbccb82.png)
при условии
![$x_0 \in (-1,1)$ $x_0 \in (-1,1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/2/44256e84e8ef38a27848c84e71072c2f82.png)
. Очевидно,
![$d(x_0, x_0)=0$ $d(x_0, x_0)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/c/bccfcb4fbd851fcb4122940d18e4188b82.png)
, а значит, числитель делится на
![$x-x_0$ $x-x_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/a/70afb3d2f878ce99369633113da0571882.png)
. Остаток от деления числителя на
![$x-x_0$ $x-x_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/a/70afb3d2f878ce99369633113da0571882.png)
- линейная функция (билинейная по
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
). Чтобы функция
![$d(x,x_0)$ $d(x,x_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/9/3696ab9f753e817d5860bce0ab59a4ec82.png)
в точке
![$x=x_0$ $x=x_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c471afe624d7aaf273cbc3c5720fd382.png)
не меняла знак, этот линейный остаток должен менять знак. Значит, у него при
![$x=x_0$ $x=x_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c471afe624d7aaf273cbc3c5720fd382.png)
нуль. Подставляем в этот остаток
![$x=x_0$ $x=x_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c471afe624d7aaf273cbc3c5720fd382.png)
, приравниваем его к нулю, получаем квадратное уравнение
![$ax_0^2-\left(a^2+1\right)x_0+1=0$ $ax_0^2-\left(a^2+1\right)x_0+1=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/b/95b2bf751c8fe8c1d6660df8fed8ac8f82.png)
, у которого два корня:
![$x_0=a$ $x_0=a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79cfea173938f2996f89ed56e362c8f482.png)
и
![$x_0=1/a$ $x_0=1/a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a26927095843ad7c3c7741b0595f4e582.png)
. Нам нужен меньший единицы, откуда получаем
![$x_0=\sin\varphi=a$ $x_0=\sin\varphi=a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/e/fce08e13b624b927d9b766294298ae2782.png)
. Осталось проверить, что это на самом деле глобальный минимум, сравнив время с временем на краях.
Как видите, производные для решения данной задачи, на самом деле, не нужны.