Необходимость производной и понимание её полезности

[wrest]

realeugene в сообщении #1650715 писал(а):

Достаточно вспомнить, что световой луч

Это ж не вам был вопрос, а?

realeugene в сообщении #1650715 писал(а):

Задача сводится к применению формулы критического угла полного внутреннего отражения.

Сводится, только надо это показать/доказать, а не "вспомнить". Доказать без применения производных, тогда уж. А так-то и ответ к задаче можно просто вспомнить, тем более что задача небезывестная.

[miflin]

realeugene в сообщении #1650715 писал(а):

правильный ответ будет $20/4=5$ секунд

Вроде бы $4.9$

[realeugene]

wrest в сообщении #1650718 писал(а):

Сводится, только надо это показать/доказать, а не "вспомнить".

Можно открыть учебник физики.

[wrest]

realeugene в сообщении #1650715 писал(а):

И, кстати, то, что правильный ответ будет $20/4=5$ секунд

Шта-а?

[realeugene]

wrest в сообщении #1650721 писал(а):

Шта-а?

2 секунды по воде и 3 по суше, да.

А, да, вру. Там проекция волнового вектора сохраняется.

[miflin]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1650715 писал(а):

Достаточно вспомнить, что световой луч распространяется между начальной и конечной точкой за минимальное время, а показатель преломления среды обратно пропорционален скорости света в среде. Задача сводится к применению формулы критического угла полного внутреннего отражения.

Вспомнил свою давнюю попытку решить аналогичную задачу оптическим методом.

[realeugene]

wrest в сообщении #1649028 писал(а):

Крокодил двигается с разной скоростью по суше и воде (5 и 4 метра в секунду соответственно).
Крокодил находится на берегу реки шириной 6 метров, а на другом берегу, на расстоянии 20 метров находится зебра -- потенциальная добыча крокодила.

Найти путь крокодила к зебре, который займет минимальное время (и это минимальное время).

В общем, без производных задача решается школьными методами так. Школьнику не обязательно повторять все эти слова, но в выводе нет ничего нешкольного.

Задача эквивалентна нахождению минимума функции $t(x) = \frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$, где $a=4/5$ - отношение скоростей, а $x=\sin\varphi$ - синус угла с перпендикуляром к реке. Это выражение получаем преобразованием исходного физического выражения для времени, вычтя константу и поделив на постоянный коэффициент, положение минимумов у них совпадает. Каждый минимум функции $t(x)$ находится среди экстремумов функции $t(x)^2$, которая - рациональная функция с квадратичными числителем и знаменателем. Пусть $x_0$ - положение экстремума. Запишем разность $d(x,x_0)=t(x)^2 - t(x_0)^2$. Разность опять довольно простая рациональная функция, так как при вычитании всё лишнее сокращается. У неё знаменатель положительный на интервале $x \in (-1,1)$ при условии $x_0 \in (-1,1)$. Очевидно, $d(x_0, x_0)=0$, а значит, числитель делится на $x-x_0$. Остаток от деления числителя на $x-x_0$ - линейная функция (билинейная по $x$, $x_0$). Чтобы функция $d(x,x_0)$ в точке $x=x_0$ не меняла знак, этот линейный остаток должен менять знак. Значит, у него при $x=x_0$ нуль. Подставляем в этот остаток $x=x_0$, приравниваем его к нулю, получаем квадратное уравнение $ax_0^2-\left(a^2+1\right)x_0+1=0$, у которого два корня: $x_0=a$ и $x_0=1/a$. Нам нужен меньший единицы, откуда получаем $x_0=\sin\varphi=a$. Осталось проверить, что это на самом деле глобальный минимум, сравнив время с временем на краях.

Как видите, производные для решения данной задачи, на самом деле, не нужны.

[nnosipov]

Надо же, прям как Америку открыл: topic111228.html

[Rak so dna]

realeugene в сообщении #1650782 писал(а):

Задача эквивалентна нахождению минимума функции $t(x) = \frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$

Без производной:

для $a\leq 1:~~\frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\left(x-a\right)^2}{\left(1-ax+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-a^2\right)}\right)\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-a^2}\geq \sqrt{1-a^2}$

и минимум достигается при $x=a$

[miflin]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1650788 писал(а):

Надо же, прям как Америку открыл

А-ХРИ-НЕТЬ
И я там, оказывается, был, мед-пиво пил (далее по тексту).
Что-то с памятью моей стало...

[realeugene]

Rak so dna в сообщении #1650792 писал(а):

realeugene в сообщении #1650782 писал(а):

Задача эквивалентна нахождению минимума функции $t(x) = \frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$

Без производной:

для $a\leq 1:~~\frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\left(x-a\right)^2}{\left(1-ax+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-a^2\right)}\right)\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-a^2}\geq \sqrt{1-a^2}$

и минимум достигается при $x=a$

Браво!
А есть техника получения такого разложения без априорного знания минимума? Мне медитация без использования бумажки не помогает даже его проверить.

[wrest]

Rak so dna в сообщении #1650792 писал(а):

для $a\leq 1:~~\frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\left(x-a\right)^2}{\left(1-ax+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-a^2\right)}\right)\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-a^2}\geq \sqrt{1-a^2}$

Черная магия. Но разложение верное.

[Rak so dna]

realeugene в сообщении #1650799 писал(а):

А есть техника получения такого разложения без априорного знания минимума?

Сомневаюсь. Тут даже когда знаешь минимум, не всегда просто построить соответствующую очевидно неотрицательную форму, особенно в многомерном случае.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1650782 писал(а):

Остаток от деления

Сорри, частное, не остаток.

[iifat]

realeugene в сообщении #1650782 писал(а):

без производных задача решается школьными методами так

Rak so dna в сообщении #1650792 писал(а):

Без производной

Оффтопик, извините вам заметить, как по мне. Вон, таблица умножения тоже не содержит производных ­— и как это относится к вопросу о необходимости и полезности оной?