Минимизация без использования производной

[wrest]

Задача:
Крокодил двигается с разной скоростью по суше и воде (5 и 4 метра в секунду соответственно).
Крокодил находится на берегу реки шириной 6 метров, а на другом берегу, на расстоянии 20 метров находится зебра -- потенциальная добыча крокодила.

Найти путь крокодила к зебре, который займет минимальное время.

Решение, с точки зрения анализа, элементарное.
Время в пути например $t(x)=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$, где $x$ это некий параметр (смысл для моего вопроса не важен), производная соответственно $t'(x)=\frac{5x}{\sqrt{36+x^2}} - 4$ принимает нулевое значение при $x=8$, это минимум и соответственно минимальное время равно 9.8с

Картинка с крокодилом и зеброй есть тут: http://mashable.com/2015/10/09/crocodile-maths-problem/ И там написано что студенты лили слезы и не могли решить задачку эту. Я так понял что имелись в виду студенты 1 курса института, если по-нашему.

Вопрос собственно такой -- можно ли решить эту задачу без привлечения производных?

То есть, может ли решить такую задачу школьник, которому про производные еще не рассказывали?

У меня такое решение найти не получилось. Школьник, не привлекая производные, мог бы сделать вывод, что "если функция везде возрастает, то её максимум находится на правом конце интервала" или "если до точки $a$ функция все время убывает а после $a$ все время возрастает, то $a$ - минимум". Например, понять то, что ноль является минимумом функции $y(x)=x^2$ для школьника не составило бы труда.

Преобразованиями задача сводится к минимизации функции $t(x)=\frac{1-ax}{\sqrt{1-x^2}}$ но как это сделать без производных все равно непонятно.

В журнале Квант пишут что "Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х, при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения, равна нулю", здесь: http://www.physbook.ru/index.php/Kvant. ... 0%BC%D0%B0

Однако например у Фейнмана как-то хитро выводится закон синусов (преломления), но я не понял как именно и можно ли применить это к задаче про крокодила, описанной выше: http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obshaya_ ... 1965ru.pdf страницы 11-12.

Еще один способ предложили на другом форуме, " берем жесткий горизонтальный лист, на месте зебры протыкаем дырочку и продеваем веревочку на которую вешаем груз 4 Н. На месте крокодила тоже протыкаем дырку и вешаем груз 5 Н. Обе веревки привязываем к кольцу которое может скользить вдоль дальнего берега.
Теперь рассмотрим условие равновесия кольца. Проекции сил на ось, направленную вдоль берега должны быть противоположны, получаем тот же самый синус 4/5.", всё красиво, чистая геометрия без производных (то есть школьник такую задачу решить может), но как показать эквивалентность задач?

[mihailm]

wrest в сообщении #1149366 писал(а):

$y=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$

Минимум у этой функции для тех, кто не знает производной, ищется как обычно через дискриминант. Избавляемся от корня и т.д.

[VPro]

Уточню: минимум $t=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$ достигается при $x=8$ и равен $t^*=98$. Чтобы получить этот результат элементарными методами можно заметить, что количество корней уравнения $t=f(x)$ при прохождении параметра $t$ сверху через минимум функции $f(x)$ изменяется от 2 до 0. Минимуму функции соответствует ровно один корень.
Исследуемое выражение приводится к квадратному уравнению $9x^2-8(t-80)x+900-(t-80)^2=0$. Дискриминант равен нулю при $t=98$.

[DeBill]

wrest
Фейнман использует принцип Ферма, который - в данном контексте, грит, что в точке максимума производная равна нулю. А производную считает на языке бесконечно малых...

[mihailm]

VPro в сообщении #1149449 писал(а):

...можно заметить, что количество корней...

Писать про корни лишнее, дискриминант должен быть больше нуля - отсюда минимум $t$ равен 98.

[VPro]

mihailm в сообщении #1149452 писал(а):

VPro в сообщении #1149449 писал(а):

...можно заметить, что количество корней...

Писать про корни лишнее, дискриминант должен быть больше нуля - отсюда минимум $t$ равен 98.

Рассуждение про количество корней доказывает, что минимум соответствует именно случаю D=0. Это рассуждение годится и в общем случае, когда речи про дискриминант не идет.

[mihailm]

Рассуждение про корни к сожалению не совсем элементарно, нужно приплетать непрерывность

[VPro]

Да, конечно. Но школьные постановки и методы часто включают условие непрерывности без ее упоминания.

[mihailm]

В данной ситуации желательно обойтись без непрерывностей, иначе чем тогда дифференцируемость провинилась?
Кстати, "школьные постановки и методы" (с конца восьмидесятых) всегда включают в себя разрешение использовать не то что непрерывность, но и производную, так как оба понятия входят в школьную программу.

[VPro]

В любом случае, я описал метод поиска минимума без вычисления производной.

[mihiv]

Еще можно применить подстановку Эйлера: $\sqrt {36+x^2}=x+u$ или $x=\dfrac {36-u^2}{2u}$. После этого приходим к минимизации функции $t(u)=\dfrac {9u}2+\dfrac {18}u+80=9(\frac u2+\frac 2u)+80$. Отсюда $u=2$ и $x=8$.

[wrest]

VPro в сообщении #1149449 писал(а):

Уточню: минимум $t=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$ достигается при $x=8$ и равен $t^*=98$. Чтобы получить этот результат элементарными методами можно заметить, что количество корней уравнения $t=f(x)$ при прохождении параметра $t$ сверху через минимум функции $f(x)$ изменяется от 2 до 0. Минимуму функции соответствует ровно один корень.
Исследуемое выражение приводится к квадратному уравнению $9x^2-8(t-80)x+900-(t-80)^2=0$. Дискриминант равен нулю при $t=98$.

Спасибо, всё верно. Хотя конечно "заметить что количество корней... при прохождении параметра ... изменяется от 2 до 0" это надо постараться.

Школьник бы рассуждал, как мне кажется, немного по-другому.

Для начала, нужно показать правомочность возведения минимизируемой функции в квадрат. По смыслу задачи минимизируется время, оно не может быть отрицательным, значит возводить в квадрат можно.

Далее, поскольку коэффициент при квадрате (при $x^2$) положительный, то ветви параболы направлены вверх, и следовательно вершина параболы является её минимумом, а для нахождения вершины есть формулы которые школьник по идее должен знать, координаты вершины $(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a})$ Далее должно быть рассуждение, что поскольку ранее мы минимизируемую функцию возводили в квадрат, то ее минимальное значение равно нулю, то есть вторая координата вершины должна быть равна нулю (что эквивалентно равенству нулю дискриминанта, естественно). Далее находим $t=98$ и по формуле вершины (т.е. без решения получившегося квадратного уравнения) -- $x=8$

mihailm в сообщении #1149478 писал(а):

В данной ситуации желательно обойтись без непрерывностей, иначе чем тогда дифференцируемость провинилась?
Кстати, "школьные постановки и методы" (с конца восьмидесятых) всегда включают в себя разрешение использовать не то что непрерывность, но и производную, так как оба понятия входят в школьную программу.

Ну мне нужно было уточнить, конечно. Имелся в виду 9-классник, когда свойства параболы (наличие вершины, наличие минимума\максимума) уже изучили, а производные еще нет (их сейчас проходят в 10-м классе).

----
Подозреваю что есть и какой-то красивый геометрический метод решения этой задачи, поскольку эта задача эквивалентна нахождению траектории луча света при преломлении (крокодил -- свет, его скорость разная в разных средах вода\суша, до цели (зебра) крокодил (свет) идет за минимальное время.

[VPro]

wrest в сообщении #1149557 писал(а):

Спасибо, всё верно. Хотя конечно "заметить что количество корней... при прохождении параметра ... изменяется от 2 до 0" это надо постараться.
Школьник бы рассуждал, как мне кажется, немного по-другому.

Думаю, для школьника рассуждение вполне доступное. Их учат и гораздо более хитрым приемам. Метод минимизации, основанный на сечениях, вполне себе элементарный прием не только для квадратного трехчлена. Например, найдем минимум функции $t=e^x-x$. Легко видеть, что уравнение $e^x=t+x$ имеет 2 корня при $t>1$. Из неравенства $e^x\ge 1+x$ следует, что при $t<1 $ корней нет, а при $t=1$ ровно 1 корень. Значит минимум $e^x-x$ равен 1.

[deep blue]

Я решал так:
$9x^2-8(t-80)x+900-(t-80)^2=0$
уравнение имеет корни при $t\le62$ или при $t\ge98$
$t=98$ удовлетворяет самому первому уравнению, а t\le62$ нет ибо выполняется очевидное неравенство $62<5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$. Следовательно минимальное допустимое значение $t=98$

wrest в сообщении #1149557 писал(а):

Далее должно быть рассуждение, что поскольку ранее мы минимизируемую функцию возводили в квадрат, то ее минимальное значение равно нулю, то есть вторая координата вершины должна быть равна нулю

Это я не понял. Во-первых мы возводили в квадрат не минимизируемую функцию $t(x)=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$, а уравнение $t(x)-4(20-x)=5 \sqrt{36+x^2} $

[wrest]

deep blue в сообщении #1149583 писал(а):

Во-первых мы возводили в квадрат не минимизируемую функцию $t(x)=5 \sqrt{36+x^2} + 4(20-x)$, а уравнение $t(x)-4(20-x)=5 \sqrt{36+x^2} $

Да, вы правы. Чего-то не хватает в рассуждениях.