Крокодил двигается с разной скоростью по суше и воде (5 и 4 метра в секунду соответственно).
Крокодил находится на берегу реки шириной 6 метров, а на другом берегу, на расстоянии 20 метров находится зебра -- потенциальная добыча крокодила.
Найти путь крокодила к зебре, который займет минимальное время (и это минимальное время).
В общем, без производных задача решается школьными методами так. Школьнику не обязательно повторять все эти слова, но в выводе нет ничего нешкольного.
Задача эквивалентна нахождению минимума функции
, где
- отношение скоростей, а
- синус угла с перпендикуляром к реке. Это выражение получаем преобразованием исходного физического выражения для времени, вычтя константу и поделив на постоянный коэффициент, положение минимумов у них совпадает. Каждый минимум функции
находится среди экстремумов функции
, которая - рациональная функция с квадратичными числителем и знаменателем. Пусть
- положение экстремума. Запишем разность
. Разность опять довольно простая рациональная функция, так как при вычитании всё лишнее сокращается. У неё знаменатель положительный на интервале
при условии
. Очевидно,
, а значит, числитель делится на
. Остаток от деления числителя на
- линейная функция (билинейная по
,
). Чтобы функция
в точке
не меняла знак, этот линейный остаток должен менять знак. Значит, у него при
нуль. Подставляем в этот остаток
, приравниваем его к нулю, получаем квадратное уравнение
, у которого два корня:
и
. Нам нужен меньший единицы, откуда получаем
. Осталось проверить, что это на самом деле глобальный минимум, сравнив время с временем на краях.
Как видите, производные для решения данной задачи, на самом деле, не нужны.