Необходимость производной и понимание её полезности

[strimax]

Добрый день, уважаемые специалисты-математики. Возможно вам всем покажется мой вопрос наивным, однако я его задам. Может вы мне поможете разобраться.
Сперва опишу ситуацию: проучился я в школе и на уроках алгебры на 5 порешал задачи и примеры по теме производная. Однако нам в школе вообще не пояснил учитель зачем она нужна вообще. Мы применяли готовые формулы, находили производные функций, но для чего всё это - так никто нам и не сообщил. Настало время идти в строительный ВУЗ и там начались теоретическая механика и сопротивление материалов, где материал как-раз и объясняется через производные (дифференцирование), интегралы и т д. Так вот непонимание для чего нужны все эти вещи, а, в частности, производная, делает меня и ещё 99% студентов полными нулями и нам все эти заумные объяснения от преподов не понятны. Мы, по-сути, не умеем применять математические инструменты для решения практических задач, которые рассматриваются теперь в ВУЗах. Так как быть с этим? Можете ли пояснить о производных, чтобы мы все поняли?! Задам следующие вопросы:

1. Например, нам лектор объясняет материал через различные вычисления и в определённый момент говорит -"продифференцируем это выражение". Мы сидим и не понимаем- с чего вдруг он начал это предлагать? Ведь шло всё хорошо и понятно, делили, умножали, отнимали и складывали, и вдруг "продифференцируем". Как понимать, что нужно в конкретной ситуации начать дифференцировать? Что мы добьёмся этим процессом дифференцирования?

2. Зачем нам нужно рассматривать аргумент функции, стремящийся к 0? Мы же прекрасно рассматривали значения аргументов функций не обязательно стремящихся к 0, и разумеется, значение функции бцдет также стремиться к какому-то числу. Это же очевидно, но всё же зачем нам устремлять аргумент к 0?

3. Мои родители состоявшиеся специалисты, но они смеются на теорию, которую подают через производные в том числе, т к после универа никто из них ни разу их не применял, как и интегралы. Тогда зачем всё подаётся через эти математические инструменты, если мало того, что их никто не понимает, так ещё и не применяет потом?

Прокомментируйте, плиз. Спасибо заранее. Может есть какая-то классная книжка, где крайне подробно и доходчиво подаётся тема производной? Тогда посоветуйте.

[drzewo]

я бы эту тему снес бы сразу к едрени матери. потому, что это то ли бот , то ли тролль , то ли еще что-то в этом роде

[ozheredov]

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

проучился я в школе и на уроках алгебры на 5 порешал задачи и примеры по теме производная. Однако нам в школе вообще не пояснил учитель зачем она нужна вообще. Мы применяли готовые формулы, находили производные функций, но для чего всё это - так никто нам и не сообщил.

"Привет, Сири - для чего нужна производная?"
"Алиса - для чего нужна производная?"
"Ок, Гугл - для чего нужна производная?"

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

Так вот непонимание для чего нужны все эти вещи, а, в частности, производная, делает меня и ещё 99% студентов полными нулями

Полными нулями вас делает отстутствие интереса, которое вы пытаетесь замаскировать под объективные факторы.

-- 09.08.2024, 16:24 --

drzewo в сообщении #1649002 писал(а):

я бы эту тему снес бы сразу к едрени матери. потому, что это то ли бот , то ли тролль , то ли еще что-то в этом роде

Вот такие обороты

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

они смеются на теорию

не используют ни боты, ни тролли (и те и другие обучаются на более "городских" текстах).

[Dedekind]

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

1. Например, нам лектор объясняет материал через различные вычисления и в определённый момент говорит -"продифференцируем это выражение".

Приведите пример.

[drzewo]

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1649003 писал(а):

не используют ни боты, ни тролли (

ну-ну, поживем, увидим

[alesha_popovich]

Мда, пришёл человек, нормально попросил помощи разобраться с непонятными вопросами, а его ответ обозвали троллем, ботом, послали в гугл, докопались до орфографии и вообще предложили забанить. Типичный научный форум
strimax
Вы бы привели конкретные примеры, чтобы было что разбирать. Например, при решении какой задачи лектор вам предлагает дифференцировать выражение? Там и видно будет, зачем он это делает.
Если в целом о производной - ну можете думать о ней для начала как о скорости изменения какой-то величины. Вы же понимаете, зачем считать скорость?

[strimax]

drzewo в сообщении #1649002 писал(а):

я бы эту тему снес бы сразу к едрени матери. потому, что это то ли бот , то ли тролль , то ли еще что-то в этом роде

Почему вы так решили? Я же не просил вот такой словесный понос устраивать! Именно вас я отвечать не просил и выплёскивать крайнюю злобу. Моё обращение именно к адекватным людям направлено, а не к ядовитым. Посмотрите сколько злости и ненависти в вашем сообщении вы заложили. А я при этом вам абсолютно ничего не сделал плохого. Из глаз и из зубов ваших кровь пока ещё не пошла от злости немереной?

Сейчас идёт война, а стоооолько ненависти в людях и к людям, просто ужас.

[sergey zhukov]

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

Что мы добьёмся этим процессом дифференцирования?

Допустим, есть некоторое уравнение общего вида $A(x, y, z ...)=B(x, y, z ...)$ с многими переменными. Когда мы говорим "продифференциируем это равенство по $x$", то это просто значит, что правая и левая часть этого равенства прирастает примерно на одно и то же значение, если и справа и слева добавить к $x$ небольшую величину $\Delta x$, т.е. такие разности равны:

$$A(x+\Delta х, y, z, ...)-A(x, y, z ...)=B(x+\Delta х, y, z ... )-B(x, y, z)$$

Понятно, что эти разности стремятся к нулю, когда $\Delta x$ стремится к нулю. Поэтому мы делим эти разности на этот самый $\Delta x$, и это отношение в общем случае уже не стремится к нулю (а стремится к какому-то определенному значению - скорости изменения функции по выбранному аргументу $x$):

$$\frac{A(x+\Delta х, y, z, ...)-A(x, y, z ...)}{\Delta x}=\frac{B(x+\Delta х, y, z ... )-B(x, y, z)}{\Delta x}$$

Это о том, что такое дифференциирование. Это совершенно рядовая операция, которую можно выполнять над функциями, т.е. выражениями, где есть переменные. Вместо "продифференциируем по $x$" можно говорить "найдем скорость изменения значения функции по $x$". Т.е. когда мы дифференциируем некоторое равенство по $x$, то просто приравниваем скорость изменения по $x$ его правой и левой частей.

[strimax]

alesha_popovich в сообщении #1649007 писал(а):

Если в целом о производной - ну можете думать о ней для начала как о скорости изменения какой-то величины. Вы же понимаете, зачем считать скорость?

Спасибо за понимание. Да, я умею считать скорость, однако для чего мгновенная нужна также не понятно. Мы считаем среднюю скорость. Всё понятно нам. Но, при рассмотрении, например, заделки в стену, начинается объяснение её прогиба с другой стороны именно через производные. Т е есть стержень, который вставлен в стену и замурован в ней одним концом, а на другой конец действует сила, прогибающая его вниз. Как только начинается объяснение через производную, так все сидят и тупят, т к ничего не понимают. Скорость его перемещения можно и без производной высчитать, перемещение тоже.
Поэтому я и обратился сюда с вопросом, иначе я бы и не зашёл на этот форум.

-- 09.08.2024, 16:56 --

sergey zhukov в сообщении #1649014 писал(а):

Это о том, что такое дифференциирование. Это совершенно рядовая операция, которую можно выполнять над функциями, т.е. выражениями, где есть переменные. Вместо "продифференциируем по $x$" можно говорить "найдем скорость изменения значения функции по $x$". Т.е. когда мы дифференциируем некоторое равенство по $x$, то просто приравниваем скорость изменения по $x$ его правой и левой частей.

Спасибо за разъяснение, это всё понятно. Не понятно именно то, что вдруг начинают дифференцировать. Для чего? Можно без производных обойтись? Не понятна цель поиска производной. У меня и у многих и в голову не пришло бы начать что-то дифференцировать. Я спрашиваю у таких же студентов, но все в непонятках. Т е мы слушаем лектора, но никто ничего не понимает)) Может мы и тупые окончательно, но не все же одновременно!

[ozheredov]

strimax в сообщении #1649015 писал(а):

Да, я умею считать скорость, однако для чего мгновенная нужна также не понятно. Мы считаем среднюю скорость. Всё понятно нам.

Некто некто неспешно шёл 2 дня со скоростью 2 км/ч. Затем внезапно увидел, что впереди стоит ап-стена, начал разгоняться и проаннигилировал с препядствием на весьма приличной скорости. Как Вы думаете, что играет бОльшую роль в оценивании последствий столкновения:
а) средняя скорость на всём пути
или
б) МГНОВЕННАЯ скорость в момент соприкосновения с ап-стеной?

[Mihr]

strimax, производная - это скорость роста функции.
Зачем нужно дифференцировать? Общего ответа здесь нет. Для разных целей. Например, если Вам дана зависимость (декартовых) координат материальной точки от времени, а требуется найти зависимость скорости этой точки от времени, то нужно продифференцировать каждую из координат, и Вы получите зависимости компонент скорости этой точки от времени. Но это "физический" пример. В самой математике: допустим, требуется найти точку (гладкого) экстремума функции одной переменной. В точках экстремума - точках локального максимума или минимума - производная равна нулю. Поэтому задачу решаем так: 1) дифференцируем функцию, 2) приравниваем производную к нулю 3) решаем полученное алгебраическое уравнение - таким образом находим точки возможного экстремума 4) смотрим, как меняет знак производная при переходе через данную точку. Это вещи, которые должны объясняться в школе. Но, конечно, этим далеко не исчерпывается применение производных. Иногда с помощью дифференцирования выводят новые формулы. В качестве примера посмотрите вот эту тему, может, заинтересует: Площадь поверхности как производная объема.

[sergey zhukov]

strimax
Ну, вы же понимаете, что средняя скорость - это всегда приближение? Скорость существует в каждой точке, а не только как средняя на отрезке. Дифференциальные уравнения - они для точного (без какого-то усреднения) решения задач о непрерывных объектах. Скажем, о балках в сопромате, прогиб которых, кстати, без дифференциальных уравнений найти нельзя.
И еще: скорость изменения функции по аргументу - это не только метр за секунду. Это просто отношение приращения функции к приращению аргумента. Все равно, в чем они измеряются. Скажем, есть некоторая функция $A(B)$, причем $A$ измеряется в удавах, а $B$ - в попугаях. Тогда производная $A$ по $B$ будет скоростью удав/попугай (т.е. столько-то удавов на одного попугая).
Зачем дифференциировать - это на конкретном примере лучше рассматривать. Далеко не всегда очевидно, что это нужно делать. Бывают, знаете, задачи, где нужно добавить и одновременно вычесть какое-нибудь выражение, и из этого что-то интересное получается. Или сделать хитрую замену переменных. Это часто вовсе не очевидно. Лектор просто заранее знает решение. Так-то ему это тоже было-бы не очевидно, я думаю.

[ozheredov]

sergey zhukov в сообщении #1649019 писал(а):

Скорость существует в каждой точке, а не только как средняя на отрезке.

Никакая скорость не существует вообще - это абстракция. А среднюю скорость можно посчитать сколь угодно точно.

[wrest]

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

непонимание для чего нужны все эти вещи, а, в частности, производная, делает меня и ещё 99% студентов полными нулями и нам все эти заумные объяснения от преподов не понятны.

Вы и 99% студентов выбрали не тот вуз/специальность. Возможно, надо было выбрать гуманитарный, раз элементарные вещи вам кажутся "заумными".

[iifat]

Вот же ж. Зачем нужна таблица умножения? Да низачем! Человеку читают лекцию, как с помощью умножения посчитать количество стульев на этаже, если на нём пять комнат по два стула в каждой — а он не понимает, в какой момент надо таки умнножать одно число на другое. И виновата, разумеется, семья, школа, ВУЗ, общество — в общем, все. Все остальные, разумеется.

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

Как понимать, что нужно в конкретной ситуации начать дифференцировать? Что мы добьёмся этим процессом дифференцирования?

То есть, преподаватель бросает фразу «А теперь продифференцируем» — и стремительно удаляется во всех направлениях? Или же он таки доводит лекцию до каких-то выводов? Вот для этих выводов, стало быть, и нужно дифференцировать! А момент определяется исколючительно опытным путём: если после дифференцирования удалось прийти к неким интересным соотношениям — значит, момент выбран правильно. Иначе — всё зачёркиваем и дифференцируем в другом каком-то месте.

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

Зачем нам нужно рассматривать аргумент функции, стремящийся к 0?

Если вы хотя бы несколько раз читали определение производной, неплохо было б его помнить. $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ — где, ну вот где вы увидели «аргумент функции, стремящийся к нулю»?

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

Мои родители состоявшиеся специалисты, но они смеются на теорию

Ну да, можно стать состоявшимся специалистом, забыв к тому моменту всю теорию. Ограничиться практикой и справочниками. Как можно, в принципе, забыть таблицу умножения и пользоваться калькулятором. Личный выбор каждого.