Дискретное и непрерывное

[Dan B-Yallay]

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Не понимаю, о каких фантазиях вы говорите.

Например, вот эта фантазия о физиках/математиках:

siago в сообщении #1642136 писал(а):

Многие не различают философию и софистику и, не зная первой, принимают за неё вторую. Этим давно грешат физики и, как видим, математики тоже не защищены от этой заразы.

[mihaild]

siago в сообщении #1642158 писал(а):

Не только в нём, но и, например, в определении непрерывной линии как множества точек, мне непонятно, как единое может быть состоящим из элементов

Откуда вы взяли термин "единое"?

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Я не могу понять, как непрерывное может состоять из элементов

Просто по определению. Забудьте невнятную интуицию про "непрерывность", правильное определение непрерывной функции - в учебниках. "Непрерывное множество" из википедии - не совсем общеупотребимая терминология. Могли бы назвать не "непрерывным", а "глоким", от этого ничего бы не поменялось.

siago в сообщении #1642166 писал(а):

Если не сложно, дайте направление, где об этом можно почитать

Берете, например, "Основы математического анализа" Рудина, открываете алфавитный указатель, обнаруживаете отсутствие там термина "непрерывное множество". Что еще Вы хотите об этом прочитать?

[пианист]

skobar в сообщении #1642157 писал(а):

Википедия действительно дает определение "непрерывного множества",

Чет оно какое-то подозрительное. Ссылается на статью некой энциклопедии, которая, в свою очередь, уже никуда не ссылается. Видимо, считает себя истиной в последней инстанции.

[dgwuqtj]

Для отображений про непрерывность написано в любом учебнике по математическому анализу или общей топологии. А про непрерывные множества не написано. Ни там, ни в других учебниках и монографиях. Конечно, в какой-то узкой области такое понятие и может быть, ну так на то это и узкая область. В статьях по комбинаторике вы и какие-нибудь "хорошие множества" можете встретить, причём с разными (совсем) определениями в разных источниках.

[Anton_Peplov]

siago в сообщении #1642129 писал(а):

Я, извините, не силён в математическом языке, поэтому не понимаю условия.

Условие простое. Рассмотрим множество $\mathbb F$, элементы которого - функции $y = f(x)$, которые делают из целого числа $x$ другое целое число $y$. Дроби не рассматриваем, работаем только с целыми числами. Множество $\mathbb F$, по-Вашему, дискретное или непрерывное? Если дискретное, какие элементы соседние для функции $y = x^2$? Если непрерывное, то почему?

[mihaild]

пианист в сообщении #1642169 писал(а):

Чет оно какое-то подозрительное

В "Теории множеств" Куратовского, Мостовского, тоже есть этот термин, определение эквивалентное. Так что это не совсем чья-то самодеятельность. Но и не особо общеупотребительный термин.
(правда всё же говорится о непрерывности не просто множества, а линейно упорядоченного множества)

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1642169 писал(а):

Чет оно какое-то подозрительное. Ссылается на статью некой энциклопедии, которая, в свою очередь, уже никуда не ссылается. Видимо, считает себя истиной в последней инстанции.

Если интересуетесь, определение непрерывного множества можно посмотреть у П.С. Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию", пар. 3.1, стр.55. Никакого отношения к общей топологии оно не имеет.

[skobar]

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Я не могу понять, как непрерывное может состоять из элементов.

В контексте математики, как здесь все дружно говорят, вопрос едва ли имеет смысл. Однако, если уйти из области математики в физику и философию, то вопрос, на мой взгляд, может приобрести глубокий смысл. В физике, когда мы переходим в микромир, непрерывность значений физических величин теряется. Величины, которые в классической механике могли принимать любые значения, в квантовой физике могут принимать только отдельные дискретные значения. Например, энергетические уровни электрона меняются не непрерывно, а дискретно (энергия электрона не может принимать значения между значениями соседних уровней, изменение энергии происходит только скачком). Или электрический заряд, который может принимать только значения, кратные заряду одного электрона. Математическая "непрерывность" превращается в некоторое абстрактное понятие, которого и в реальности-то может быть и нет. Глубокий вопрос в том, существует ли непрерывность из математики в реальном мире, или реальность формируется из каких-то отдельных дискретных основообразующих "кирпичиков". Но, ещё раз, это уже не про математику. Насколько я знаю, наука не в состоянии ещё единодушно ответить на этот вопрос.

Так что bottom line - адресуйте ваш вопрос лучше физикам.

-- 11.06.2024, 17:24 --

пианист в сообщении #1642169 писал(а):

skobar в сообщении #1642157 писал(а):

Википедия действительно дает определение "непрерывного множества",

Чет оно какое-то подозрительное. Ссылается на статью некой энциклопедии, которая, в свою очередь, уже никуда не ссылается. Видимо, считает себя истиной в последней инстанции.

Я тоже его вижу в первый раз . Но математический смысл оно имеет. Уверен, что бОльшая часть профессиональных математиков с ним незнакома, как и я был незнаком.

[мат-ламер]

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Я не могу понять, как непрерывное может состоять из элементов.

skobar в сообщении #1642177 писал(а):

В контексте математики, как здесь все дружно говорят, вопрос едва ли имеет смысл.

Вопрос имеет смысл в контексте педагогики математики. Начинающий, во время изучения математики, часто пытается новое понятие как-то состыковать со старыми понятиями, которые уже есть в голове. А они не стыкуются. И тут тонкий вопрос, какие понятия надо стыковать между собой, а какие не надо. В данном случае всего лишь следует понять, что из элементов может состоять множество. А какое это будет множество - неважно.

[Anton_Peplov]

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Я не могу понять, как непрерывное может состоять из элементов.

Вы согласны, что отрезок состоит из точек?

[пианист]

skobar в сообщении #1642177 писал(а):

Но математический смысл оно имеет

Вопрос, есть ли хоть одна работа, в которой соответствующее понятие использовалось. Выражу осторожное сомнение.

(ворчалка)

Ну и, в любом случае, статью в справочнике все-таки надо сопровождать хотя бы ссылками.

[siago]

Dan B-Yallay в сообщении #1642160 писал(а):

siago в сообщении #1642158 писал(а):

например, в определении непрерывной линии как множества точек, мне непонятно, как единое может быть состоящим из элементов.

А "философия, то есть умение рассуждать" - никак в этом Вам не помогает?

Тут или умение рассуждать слабовато, или знаний, которыми оно оперирует, недостаточно. Но вы-то очевидно намекаете, что умение рассуждать вообще бесполезно, не так ли?

-- 11.06.2024, 20:20 --

dgwuqtj в сообщении #1642165 писал(а):

skobar в сообщении #1642157 писал(а):

В математике все построено на строго определенных понятиях, каждый термин имеет очень точное значение.

Так и в философии вроде так же, просто там каждый философ сам придумывает определения...

Там так же, но не так, как вы сказали. Там каждый философ думает, что сегодня математики думать разучились. Раздутое самомнение и там, и там мешает общению - люди и там, и там стремятся показать своё превосходство. Но не все. Мудрые есть ещё.

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1642182 писал(а):

Вопрос, есть ли хоть одна работа, в которой соответствующее понятие использовалось. Выражу осторожное сомнение.

Я думаю, что это использовалось топологами школ Александрова П.С. (может и не только) для построения тонких примеров в общей топологии и теории множеств. А иначе, зачем это определение в книге Александрова есть? Тут недавно товарищ заходил с вопросом о мощности совершенного (замкнутого без изолированных точек) множества. Ему никто не ответил. Так этот вопрос у Александрова доказывается с помощью хитрого дискретного множества. Я уже писать в ту тему не стал, чтобы не сбить ТС с уже начатого пути.

[siago]

Dan B-Yallay в сообщении #1642167 писал(а):

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Не понимаю, о каких фантазиях вы говорите.

Например, вот эта фантазия о физиках/математиках:

siago в сообщении #1642136 писал(а):

Многие не различают философию и софистику и, не зная первой, принимают за неё вторую. Этим давно грешат физики и, как видим, математики тоже не защищены от этой заразы.

Очень не хочется уходить от изначально заявленной темы, но почему-то силам, вынуждающим это делать, очень трудно сопротивляться. И в чем вы тут нашли фантазию?

-- 11.06.2024, 20:30 --

mihaild в сообщении #1642168 писал(а):

Откуда вы взяли термин "единое"?

Из головы. Вполне допускаю, что он выбран неудачно.

-- 11.06.2024, 20:32 --

mihaild в сообщении #1642168 писал(а):

siago в сообщении #1642161

писал(а):
Я не могу понять, как непрерывное может состоять из элементов Просто по определению. Забудьте невнятную интуицию про "непрерывность", правильное определение непрерывной функции - в учебниках. "Непрерывное множество" из википедии - не совсем общеупотребимая терминология. Могли бы назвать не "непрерывным", а "глоким", от этого ничего бы не поменялось.

Разумно. Спасибо.

-- 11.06.2024, 20:43 --

mihaild в сообщении #1642168 писал(а):

Берете, например, "Основы математического анализа" Рудина, открываете алфавитный указатель, обнаруживаете отсутствие там термина "непрерывное множество". Что еще Вы хотите об этом прочитать?

За ссылку спасибо, однако не думаю, что эта книга поможет разрешить изначально поставленный вопрос. Напомню, мне непонятно, как, скажем, линию можно считать множеством точек. То, что на линии можно выделить точку, у меня вопросов не вызывает.

[mihaild]

siago в сообщении #1642214 писал(а):

Напомню, мне непонятно, как, скажем, линию можно считать множеством точек

Вот так:
Определение. Прямой линией на плоскости называется подмножество плоскости, состоящее в точности из точек, удовлетворяющих уравнению $Ax + By + C = 0$ при некоторых $A$, $B$, не равных нулю вместе.