Дискретное и непрерывное

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1642213 писал(а):

использовалось топологами школ Александрова П.С.

Если найдете такую работу, с интересом ознакомлюсь.

[Dan B-Yallay]

siago в сообщении #1642209 писал(а):

Тут или умение рассуждать слабовато, или знаний, которыми оно оперирует, недостаточно. Но вы-то очевидно намекаете, что умение рассуждать вообще бесполезно, не так ли?

Я намекаю на то, что философское "умение рассуждать" сильно отличается от умения рассуждать математически строго. В предложенных вам ответах на ваши вопросы ничего сверхсложного и заумного нет. Но вы пытаететсь применить "философское умение рассуждать" для понимания математических обьектов. Разумеется, безуспешно.

siago в сообщении #1642214 писал(а):

Очень не хочется уходить от изначально заявленной темы, но почему-то силам, вынуждающим это делать, очень трудно сопротивляться. И в чем вы тут нашли фантазию?

Я вижу фантазию в вашем утверждении, которое я как раз вам и процитировал ранее. O том, что физики (а с ними и математики) не отличают философию от софистики.

Если это не плод ваших фантазий, то приведите примеры. Данный форум как раз населён преимущественно физиками / математиками и здесь тема философии поднималась неоднократно. Думаю, вам не составит труда найти подтверждение вашим словам (или убедиться в их фантазийности).

-- Вт июн 11, 2024 13:19:13 --

siago в сообщении #1642214 писал(а):

Напомню, мне непонятно, как, скажем, линию можно считать множеством точек. То, что на линии можно выделить точку, у меня вопросов не вызывает.

Уточните: что именно непонятно.

Как линию можно считать множеством (чего бы то ни было )?

Или же вы ничего не имеете против линии как множества, но только не точек? Тогда предложите свой вариант - множеством каких объектов является по-вашему линия

[Mihr]

(siago)

siago в сообщении #1642161 писал(а):

Не понимаю, о каких фантазиях вы говорите.

О Ваших. Их у Вас много.
Сначала Вы придумали понятия "дискретное множество" и "непрерывное множество". И начали разговор так, словно это нечто общеизвестное. Вы на полном серьёзе спрашиваете собеседников: состоит ли "непрерывное множество" из элементов. Словно есть вообще (непустые) множества, не состоящие из элементов. Значит, Ваше представление о множествах вообще - тоже фантазия. У Вас какое-то странное представление о смысле слова "алгоритм". "Алгоритм по siago" - опять же некая фантазия. "Множество, состоящее из одного элемента, имеющего величину" - совсем уж дикая фантазия, непереводимая на нормальный язык.

siago в сообщении #1642041 писал(а):

"одно", с философской точки зрения являющееся противоположностью "множеству"

- тоже какая-то фантазия.
Представление о том, будто философия может быть чем-то полезна математике, тем паче, о том, будто с позиций философии можно реформировать математику - это просто запредельная фантазия. Хотя, скорее всего, не лично Ваша. Но Вы, очевидно, один из её "носителей".

siago в сообщении #1642124 писал(а):

определения из учебника по высшей математике вполне мне понятны, в том числе и с физической точки зрения.

- это вообще вызывает улыбку. No comments. Попробуйте выделить здесь фантазии самостоятельно (их явно больше одной).

siago в сообщении #1642136 писал(а):

я пытаюсь разобраться в устройстве мироздания, поэтому где, как не в математике, искать ответы на многие вопросы?

- Вы уверены, что правильно представляете, чем занимается математика? Мне кажется, о самом предмете математики у Вас тоже фантастическое представление.
Это ещё далеко не всё. Но стоит ли продолжать? Проще, наверно, в Ваших постах выделить фразы, где нет полёта фантазии, нежели те, в которых он явно присутствует.

[siago]

Anton_Peplov в сообщении #1642173 писал(а):

siago в сообщении #1642129 писал(а):

Я, извините, не силён в математическом языке, поэтому не понимаю условия.

Условие простое. Рассмотрим множество $\mathbb F$, элементы которого - функции $y = f(x)$, которые делают из целого числа $x$ другое целое число $y$. Дроби не рассматриваем, работаем только с целыми числами. Множество $\mathbb F$, по-Вашему, дискретное или непрерывное? Если дискретное, какие элементы соседние для функции $y = x^2$? Если непрерывное, то почему?

Эта задача слишком сложная для меня. Однако очень показательная. Она показывает, что не надо представлять себе элементы множества, как круглые шарики или даже точки, у которых соседний элемент такой же шарик или точка. Вместе с тем можно предположить, что различие элементов множества в предложенной задаче не позволяет осуществлять плавный, то есть непрерывный, переход от одного элемента к другому.
Другое соображение следующее. Можно абстрагироваться от сложности элементов множества, а обратить внимание на то, что у нас нет закона следования элементов друг за другом в каком либо направлении. Может быть такой закон и можно получить, но у меня нет никаких соображений, как это сделать.
Хочу заметить, что даже если бы мы с вами и решили эту задачу, она вряд ли помогла ответить на вопрос, каким образом полученная непрерывность, если бы таковая появилась в ответе, образовалась элементами. Я могу представить плавную, то есть непрерывную, последовательность, как картину плавного изменения, но как картину, полученную из дискретных элементов, не могу. В данной задаче я не вижу причины плавного, или непрерывного, перехода от одного элемента к следующему.

[dgwuqtj]

siago, а для вас канторово множество должно быть дискретным или непрерывным? У него не дискретная топология, даже нет изолированных точек (как у, скажем, $\{0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$), но при этом оно вполне несвязно.

[siago]

skobar в сообщении #1642177 писал(а):

Величины, которые в классической механике могли принимать любые значения, в квантовой физике могут принимать только отдельные дискретные значения.

Насколько мне известно, физики до сих пор не объяснили, на каком основании они отдельные задачи, аналогом которых можно считать дискретную математику, выделяют в отдельный мир, в котором не действуют законы нашего мира. Это я считаю результатом пренебрежения философией - наукой рассуждать.

-- 11.06.2024, 23:12 --

skobar в сообщении #1642177 писал(а):

Так что bottom line - адресуйте ваш вопрос лучше физикам.

Упаси Бог.

-- 11.06.2024, 23:12 --

[Dan B-Yallay]

siago в сообщении #1642264 писал(а):

Это я считаю результатом пренебрежения философией - наукой рассуждать.

Софистика полезла...

[siago]

мат-ламер в сообщении #1642178 писал(а):

В данном случае всего лишь следует понять, что из элементов может состоять множество. А какое это будет множество - неважно.

Да это-то я понимаю. Я не понимаю, где в таком множестве рождается непрерывность.
Вот если числа (кстати, кто знает, что это такое?), расположенные на числовой прямой, представить не в виде точек, а в виде отрезков, откладываемых от нуля, то числовой ряд действительных чисел можно представить в виде непрерывного изменения, то есть превращения одного числа в другое. В такой картине вроде бы нет необходимости вести речь о каких-то элементах. Можно ли развивать мысль в этом направлении?

-- 11.06.2024, 23:38 --

Anton_Peplov в сообщении #1642179 писал(а):

Вы согласны, что отрезок состоит из точек?

Я отвечу по-хитрому: я знаю, что так вещали древние греки и что так написано в первом учебнике, который я изучал. Я склонен полагать, что на отрезке можно выделить точку в любом месте, а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом.

[skobar]

siago в сообщении #1642258 писал(а):

Эта задача слишком сложная для меня. Однако очень показательная. Она показывает, что не надо представлять себе элементы множества, как круглые шарики или даже точки, у которых соседний элемент такой же шарик или точка. Вместе с тем можно предположить, что различие элементов множества в предложенной задаче не позволяет осуществлять плавный, то есть непрерывный, переход от одного элемента к другому.
Другое соображение следующее. Можно абстрагироваться от сложности элементов множества, а обратить внимание на то, что у нас нет закона следования элементов друг за другом в каком либо направлении. Может быть такой закон и можно получить, но у меня нет никаких соображений, как это сделать.
Хочу заметить, что даже если бы мы с вами и решили эту задачу, она вряд ли помогла ответить на вопрос, каким образом полученная непрерывность, если бы таковая появилась в ответе, образовалась элементами. Я могу представить плавную, то есть непрерывную, последовательность, как картину плавного изменения, но как картину, полученную из дискретных элементов, не могу. В данной задаче я не вижу причины плавного, или непрерывного, перехода от одного элемента к следующему.

Вы не сможете разговаривать с математиками, пока не осилите хотя бы азы теории множеств и топологии (понятие множества, упорядоченного множества, топологического пространства ...) Есть полно хороших элементарных текстов на эту тему с примерами легкие для понимания даже полному новичку в математике. Если сможете осилить, то многие вопросы (если не все) отпадут сами собой.

-- 11.06.2024, 23:43 --

siago в сообщении #1642264 писал(а):

Насколько мне известно, физики до сих пор не объяснили, на каком основании они отдельные задачи, аналогом которых можно считать дискретную математику, выделяют в отдельный мир, в котором не действуют законы нашего мира. Это я считаю результатом пренебрежения философией - наукой рассуждать.

Увы, вижу, что ваши познания в физике примерно такие же, как и в математике.

На одной философии далеко не уедете :)

[siago]

mihaild в сообщении #1642219 писал(а):

siago в сообщении #1642214 писал(а):

Напомню, мне непонятно, как, скажем, линию можно считать множеством точек

Вот так:
Определение. Прямой линией на плоскости называется подмножество плоскости, состоящее в точности из точек, удовлетворяющих уравнению $Ax + By + C = 0$ при некоторых $A$, $B$, не равных нулю вместе.

Да, знаю.

-- 11.06.2024, 23:51 --

Dan B-Yallay в сообщении #1642238 писал(а):

вы пытаететсь применить "философское умение рассуждать" для понимания математических обьектов. Разумеется, безуспешно.

И какая же особенность философии мешает мне понять?

-- 11.06.2024, 23:56 --

Dan B-Yallay в сообщении #1642238 писал(а):

Я вижу фантазию в вашем утверждении, которое я как раз вам и процитировал ранее
. O том, что физики (а с ними и математики) не отличают философию от софистики.

Если это не плод ваших фантазий, то приведите примеры

Не уверен, что у меня это легко получится, но попробую. В любом случае от своих слов не отказываюсь.

-- 11.06.2024, 23:59 --

Dan B-Yallay в сообщении #1642238 писал(а):

Уточните: что именно непонятно.

Как линию можно считать множеством (чего бы то ни было )?

Да, именно это.

[mihaild]

siago в сообщении #1642272 писал(а):

Да, знаю

Ну так и в чем вопрос?

[Dan B-Yallay]

siago в сообщении #1642272 писал(а):

И какая же особенность философии мешает мне понять?

Я вам уже указал на сильное различие в строгости рассуждений. Если вас это не убеждает, то попробуйте самостоятельно разобраться, какие особенности "философского мышления" не позволяет вам понимать простые математические идеи..

-- Вт июн 11, 2024 15:13:11 --

siago в сообщении #1642272 писал(а):

Да, именно это.

Тогда аргументируйте и поясните предельно ясно и по-существу: почему вы не можете считать линию множеством.

[Anton_Peplov]

siago в сообщении #1642258 писал(а):

у нас нет закона следования элементов друг за другом в каком либо направлении

Вот именно. Это та самая мысль, на которую я пытался Вас натолкнуть.
Первичная, базовая структура - это множество. Любое множество, кроме пустого, состоит из элементов. А уже когда есть множество, можно ввести на нем линейный порядок. То есть правило, которое для любых двух элементов $a \ne b$ указывает, какой предшествует другому: $a \prec b$ или же $b \prec a$. И только когда мы ввели линейный порядок (множество и его элементы у нас на тот момент уже есть), мы можем решать вопрос, есть ли у элемента $a$ соседние.

Более того, наличие соседних элементов зависит от того, какой именно линейный порядок мы ввели. Рассмотрим для примера множество всех рациональных чисел (дробей с целыми числителями и знаменателями) на отрезке $[0, 1]$. Если в качестве линейного порядка использовать стандартное отношение "меньше" $<$, то у элемента $1/2$ нет соседних: между $1/2$ и любой дробью $m/n$ найдется еще одна дробь (сами сообразите, какая?). Т.е. в Вашей терминологии это "непрерывное" множество.

Однако давайте упорядочим множество дробей в порядке возрастания знаменателей, а при одном знаменателе - в порядке возрастания числителей:
1) $0$
2) $1$
3) $1/2$
4) $1/3$
5) $2/3$
6) $1/4$
7) $3/4$
...
При таком линейном порядке у элемента $1/2$ есть соседние: слева элемент $1$, справа элемент $1/3$. Между $1$ и $1/2$ нет других элементов! Т.е. при таком линейном порядке в Вашей терминологии это "дискретное" множество. А множество-то одно и то же! Только линейный порядок изменили. Порядок - это не что-то данное множеству от Бога. Мы сами выстраиваем на множестве порядок, какой хотим.

siago в сообщении #1642268 писал(а):

а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом

Проблема в том, что отрезок состоит не просто из точек, а из бесконечного множества точек. Интуиция - это обобщенный опыт (Ваш лично или предков, оставивших Вам мозг Homo sapiens со всеми встроенными программами). Но на своем опыте человек никогда не сталкивается с бесконечностью, поэтому наша наивная интуиция не умеет с ней работать. Если Ваша интуиция противоречит учебнику математики, прав учебник. Примите этот факт, иначе изучать математику не получится. Первое время контринтуитивные результаты будут попадаться на каждом шагу (это Вы еще про теорему Цермело не читали, а уж парадокс Банаха-Тарского...). Если найдете в себе силы перебороть бытовые представления и двигаться дальше, наработаете себе новую интуицию, которая с бесконечностью на ты. Меня, например, в свое время поразил тот факт, что пересечение бесконечного множества лучей $[1, +\infty), [2, +\infty), \dots$ равно пустому множеству. А сейчас я думаю: как, черт возьми, может быть иначе?

Ну а если не найдете в себе сил преодолеть наивную интуицию и учиться, то либо вообще перестанете думать о математике, либо пополните ряды фантазеров и фриков, выдумывающих глупости. Таких тут полный Пургаторий.

[EminentVictorians]

siago в сообщении #1642268 писал(а):

Вот если числа (кстати, кто знает, что это такое?)

Если в качестве оснований у Вас теория множеств без атомов, то любой математический объект - это множество. Значит и числа - тоже множества. Например, число 2 может быть таким множеством: $\{\varnothing, \{\varnothing\} \}$. Есть и другие варианты (другие теоретико-множественные модели чисел (натуральных и не только), где двойка будет другим множеством). А есть вообще другие варианты оснований.

siago в сообщении #1642268 писал(а):

Я склонен полагать, что на отрезке можно выделить точку в любом месте, а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом.

А вот здесь я на Вашей стороне. Сомневаться полезно. Тем более в таком (не очень простом и далеко не очевидном) понятии, как число.

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642268 писал(а):

а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом.

Тем не менее, при любом разумном подходе к математике можно образовать множество из всех точек отрезка. Будет ли это самим отрезком или же отрезок — это нечто большее, чем множество его точек, зависит от определений, но в обычной математике это буквально одно и то же.