2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 18:21 


30/10/23
265
Здравствуйте! У меня снова вопрос по соответствию построения и условий в задаче. Текст таков. "В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что АВ=СЕ, ВЕ=AD, угол AED=углу BAD. Докажите, что ВС>AD".

Оставим в стороне сами доказательства, они в данной книге разбираются с иллюстрациями. Вопрос в том, почему при соблюдении условий равенства отрезков нет равенства углов? Чертёж прилагаю. Разбираю его поэтапно:
1) Сначала я отложила точку А. И попробовала выяснить может ли быть равенство этих углов, если угол BAD прямой (при соблюдении всех условий задачи, разумеется). Отсюда этот луч А на чертеже.
2) Далее стало ясно, что так это построение не может быть осуществлено. Я построила угол BAD тупым :roll: Угол AED вышел острым. Этот вариант данного четырёхугольника выполнен обычными линиями.
3) Я подумала, что нужно проверить это построение с острым углом BAD. Данный вариант четырёхугольника выполнен пунктирными линиями. Получилось лучше, но всё равно не вышло правильного построения. Угол BAD=72 градуса, угол AED=78 градусов. Даже если принимать в расчёт мелкие (в пределах миллиметра) ошибки в построениях сторон, то это слишком большие расхождения в градусных мерах.

Отсюда и следуют вопросы:
1) Почему такое происходит? Ведь стороны выполнены равными, тогда должны быть и углы равны.
2) Как выполнить данное построение правильно, не заглядывая в ответы? (Данный вопрос адресован тем, кто серьёзно интересуется такой узкоспециализированной областью как начертательная геометрия и, если таковых форумчан тут нет, то можно не разбирать его, наверное).

Чертёж: https://postimg.cc/7CGt2Shw

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 19:09 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):
Как выполнить данное построение правильно, не заглядывая в ответы?
Зная доказательство, легче найти правильный чертёж. Вы пытались его сделать, зная только то, что дано в задании. Если рассуждать, то можно найти новые данные. Например, в четырёхугольнике спрятан равнобедренный треугольник. Тогда можно искать правильный чертёж (или один из правильных чертежей) отталкиваясь от этого треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 20:24 


30/10/23
265
Не уверена, что такие проблемы решаются подобным образом. Но оставим пока этот момент. Всё как всегда приходит по мере накопления практического опыта. Ранее я рассуждала вообще без чертежей. Потом стала строить чертежи сначала и только потом, глядя на них, пыталась размышлять. И один, и другой подходы имеют свои преимущества и недостатки, получается :-) Начни я рассуждать чисто умозрительно, возможно, доказательство нашлось бы без особого труда. По крайней мере в книге оно очень короткое и довольно ясное. Однако, глядя только на чертёж получившийся это сделать невозможно. Вот начало доказательства: "Рассмотрим треугольники BAD и CBE". Ну и далее подводится к тому, что они равны. Однако на чертеже ВС=55, в то время как АВ=BD=52 (изначально такими построились). С углами та же проблема. Угол BAD=72, а "равные" ему СЕВ и AED по 78 градусов. Глядя на чертёж без линейки и транспортира это можно и не заметить и использовать при доказательстве без проблем, но как же так? :shock:

P.S. Посмотрела наличие отдела "Начертательная геометрия" на форуме. Такового не оказалось. Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так? И, соответственно, все вопросы здесь же, в ветке форума "Геометрия", правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 21:00 


07/11/12
137
horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):
Я построила угол BAD тупым :roll: Угол AED вышел острым

Сначала сделал чертёж по условию задачи и сразу увидел элементарное решение (основанное на равенстве треугольников), а потом прочитал Ваш комментарий - у меня тоже получилось как у Вас (два равных по условию угла на рисунке оказались совсем разными - один острый, другой тупой), однако это совсем не вызвало сомнения у меня в решении! Всё дело в психологии - надо научиться не обращать внимания на неизбежные метрические и угловые несоответствия при геометрических построениях от руки! Есть известный афоризм: геометрия - искусство решения задач на неправильных чертежах. Под "неправильными" чертежами я понимаю как раз метрические и угловые несоответствия. Хотя есть хитрые случаи, когда действительно неправильные чертежи приводят к ошибкам и геометрическим парадоксам, но они являются скорее исключениями в обычной школьной практике. Чаще возникают неоднозначные ситуации, когда условие задачи допускает различные варианты решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 21:34 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):
Глядя на чертёж без линейки и транспортира это можно и не заметить и использовать при доказательстве без проблем, но как же так?
horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):
В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что АВ=СЕ, ВЕ=AD, угол AED=углу BAD. Докажите, что ВС>AD
Более точная формулировка: В любом четырёхугольнике $ABCD,$ если его диагонали пересекаются в точке $E,$ $AB=CE,$ $BE=AD$ и $\angle AED=\angle BAD,$ то $BC>AD.$
Тогда чертёж не имеет значение для правильности доказательства. Вы рисуете один конкретный четырёхугольник, а предложение надо доказать для любого.

-- Пт июн 07, 2024 20:56:34 --

Берёте произвольный четырёхугольник $ABCD$ (представьте себе множество $P$ всех четырёхугольников).
Допускаете условия, что его диагонали пересекаются в точке $E,$ $AB=CE,$ $BE=AD$ и $\angle AED=\angle BAD$ (представьте себе, что Вы выделили из множества $P$ только те четырёхугольники, которые удовлетворяют этим условиям; получается новое множество $P_1$).
Далее для всех четырёхугольников из множества $P_1$ надо доказать, что $BC>AD.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение07.06.2024, 22:56 


30/10/23
265
matidiot
Замечательный афоризм, я его запомню! :D И всё же, существуют ведь, например, изобразительное искусство академического направления и серьёзные технические чертежи. Собственно, академическая живопись основана на черчении, которое technical drawing. А где technical, там по определению погрешности и неточности должны быть сведены к минимуму. У всего этого наверняка множество нюансов и закономерностей, как и в любом другом направлении техники и искусства. Например, в предисловии к академическому учебнику по начертательной геометрии (советскому :!: ), я прочла, что без аналитической геометрии нечего в этом предмете делать.

gefest_md
Автору книги не помешало бы, наверное, дать подобное пояснение, кстати. Мол, есть множество четырёхугольников, но не все из них будут удовлетворять всем условиям одновременно и доказывать нужно для тех, которые будут соответствовать. Так как по формулировке задач кажется, что если выполняются некоторые из условий, то обязательно будут выполняться и все остальные. Я впервые столкнулась с такой очевидностью с этими явлениями именно в этом пособии (очень хорошее, кстати, глубина с первых же страниц чувствуется, заставляет много думать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение08.06.2024, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10907
Crna Gora
А ещё бывают ситуации, когда чертёж к рассуждению, в котором удовлетворены все условия, принципиально невозможен. Это когда условия несовместны, и это надо доказать рассуждением от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение08.06.2024, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):
Посмотрела наличие отдела "Начертательная геометрия" на форуме. Такового не оказалось. Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так? И, соответственно, все вопросы здесь же, в ветке форума "Геометрия", правильно?


А нет здесь вообще ветки "Геометрия". Есть "Помогите решить, разобраться" и есть "Общие вопросы". Если просьба о помощи - отдельной темой в "ПРР".

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение10.06.2024, 22:37 


30/10/23
265
Я пробовала и так и этак построить эту конструкцию. Всё работает по принципу "голову вытащил - хвост застрял, хвост вытащил - голова застряла". Но это для опытных участников форума, конечно же, не новость :-) А для меня серьёзное открытие, вызвавшее ряд вопросов. Главный из них вот какой. Если считать геометрию мерилом всего в физическом мире, его реализацией не только в нашем восприятии, но и в структуре материи на всех уровнях как таковой, то как же быть в таком случае? Получается нет идеальных форм и структур в принципе и всегда есть некие нюансы, а овладение с точки зрения практического применения каким-либо сегментом материи это изучение этих нюансов и нестыковок, с выработкой последующих маневров по их обхождению?
На конкретном примере. Вот те же архитектурные сооружения. В них нужна исключительная точность, так как ошибка может привести к разрушению и гибели. При их возведении те же нестыковки будут, так? Однако они как-то обходятся же и сложные здания не рушатся. Как это получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение10.06.2024, 22:43 


05/09/16
12058
horda2501 в сообщении #1642053 писал(а):
При их возведении те же нестыковки будут, так? Однако они как-то обходятся же и сложные здания не рушатся. Как это получается?

Ну, есть такая штука как "допуск", если все нестыковки в допуске, то здание [скорее всего] не упадёт. Это часть ремесла.

Но сложные здания, бывает, и рушатся...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение10.06.2024, 22:53 


30/10/23
265
Что значит "допуск"? Допустимые отклонения, вроде "+/- 5" ? Однако, что значит, "бывает рушатся"? :shock: Скажем, серьёзные промышленные объекты, вроде атомных станций. Если они "сломаются" это приведёт к массовым вымираниям и вообще неслыханным последствиям ведь :?:
Вот совсем простой вопрос. У меня в этом четырёхугольнике, где "внутри" два одинаковых равнобедренных треугольника, получилось так, что одна из сторон 55 мм, а ей "равная" 50, хотя по логике рассуждений они одинаковые. Как будет строится сооружение по такому чертежу? Будет указано ответственному лицу, мол, тут одна стена 55, а вторая 50?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение11.06.2024, 02:14 


03/06/12
2862

(Оффтоп)

horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):
Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так?

Нет, проективная геометрия - это совсем другое. Для получения представления о том, что такое проективная геометрия, можно полистать, например, книгу Н.Ф. Четверухина "Проективная геометрия". Но вам сейчас только полистать. Перед изучением Четверухина (если есть желание/необходимость вникнуть в предмет достаточно глубоко), неплохо бы осилить брошюрку Певзнера и прорешать к ней задачник. Но и к Певзнеру вы сейчас не готовы. Совсем не готовы. За проективную геометрию не беритесь до тех пор, пока не прошерстите основательно школьный курс геометрии, вплоть до стереометрии а аналитическую геометрию. Решение шаблонной задачи по ангему не должно вызывать у вас вообще никаких затруднений. Про школьную геометрию я вообще молчу. Вот тогда и только тогда человек в состоянии хоть что-то понять в проективной геометрии. Дальнейшим же обобщением проективной геометрии является синтетическая геометрия. По мне, так там вообще жесть. Например, задачник Чнрняева. Но в моем случае, скорее всего, это просто потому, что не с кем было прокручивать решение более простых задач по проективной геометрии. Или рассматривать с разных сторон доказательства теорем из книги Четверухина. Вот это была бы база для Черняева! Но, увы. Впрочем, проективная геометрия большинству сейчас и неинтересна. Ее время отошло. Я не говорю, что она неинтересна по содержанию. Я бы сам еще с удовольствием в нее углубился. Просто на серьезном математическом уровне там сейчас нет, ну или почти нет вопросов. Начертательную же геометрию можно, ИМХО, вместе со школьной. Как-то у маминой подруги в гостях мне попался в руки учебник по ней. Кто автор, конечно, не скажу. Полистал. ИМХО, ничего не подъемного в ней для желающего учиться школьника нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение11.06.2024, 05:01 


03/06/12
2862

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1642082 писал(а):
Начертательную же геометрию можно, ИМХО, вместе со школьной. Как-то у маминой подруги в гостях мне попался в руки учебник по ней. Кто автор, конечно, не скажу. Полистал. ИМХО, ничего не подъемного в ней для желающего учиться школьника нет.

А вообще при изучении математики в целом знание/незнание начертательной геометрии не имеет абсолютно никакого значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение11.06.2024, 08:04 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):
У меня в этом четырёхугольнике, где "внутри" два одинаковых равнобедренных треугольника, получилось так, что одна из сторон 55 мм, а ей "равная" 50, хотя по логике рассуждений они одинаковые.
По-моему внутри четырёхугольника только один равнобедренный треугольник. Стороны равнобедренного треугольника в Вами нарисованном четырёхугольнике получились неравными, потому что четырёхугольник принадлежит множеству $P$, но не принадлежит множеству $P_1,$ то есть логика рассуждений нарушена. Описание $P$ и $P_1$ было выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия для не особо одарённых
Сообщение11.06.2024, 10:52 


05/09/16
12058
horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):
Скажем, серьёзные промышленные объекты, вроде атомных станций. Если они "сломаются" это приведёт к массовым вымираниям и вообще неслыханным последствиям ведь :?:

Ну да, Три-Майл-Айленд, Чернобыль, Фукусима...

-- 11.06.2024, 10:52 --

horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):
Что значит "допуск"? Допустимые отклонения, вроде "+/- 5" ?

Да, типа того.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 348 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group