Геометрия для не особо одарённых

[horda2501]

Здравствуйте! У меня снова вопрос по соответствию построения и условий в задаче. Текст таков. "В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что АВ=СЕ, ВЕ=AD, угол AED=углу BAD. Докажите, что ВС>AD".

Оставим в стороне сами доказательства, они в данной книге разбираются с иллюстрациями. Вопрос в том, почему при соблюдении условий равенства отрезков нет равенства углов? Чертёж прилагаю. Разбираю его поэтапно:
1) Сначала я отложила точку А. И попробовала выяснить может ли быть равенство этих углов, если угол BAD прямой (при соблюдении всех условий задачи, разумеется). Отсюда этот луч А на чертеже.
2) Далее стало ясно, что так это построение не может быть осуществлено. Я построила угол BAD тупым Угол AED вышел острым. Этот вариант данного четырёхугольника выполнен обычными линиями.
3) Я подумала, что нужно проверить это построение с острым углом BAD. Данный вариант четырёхугольника выполнен пунктирными линиями. Получилось лучше, но всё равно не вышло правильного построения. Угол BAD=72 градуса, угол AED=78 градусов. Даже если принимать в расчёт мелкие (в пределах миллиметра) ошибки в построениях сторон, то это слишком большие расхождения в градусных мерах.

Отсюда и следуют вопросы:
1) Почему такое происходит? Ведь стороны выполнены равными, тогда должны быть и углы равны.
2) Как выполнить данное построение правильно, не заглядывая в ответы? (Данный вопрос адресован тем, кто серьёзно интересуется такой узкоспециализированной областью как начертательная геометрия и, если таковых форумчан тут нет, то можно не разбирать его, наверное).

Чертёж: https://postimg.cc/7CGt2Shw

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):

Как выполнить данное построение правильно, не заглядывая в ответы?

Зная доказательство, легче найти правильный чертёж. Вы пытались его сделать, зная только то, что дано в задании. Если рассуждать, то можно найти новые данные. Например, в четырёхугольнике спрятан равнобедренный треугольник. Тогда можно искать правильный чертёж (или один из правильных чертежей) отталкиваясь от этого треугольника.

[horda2501]

Не уверена, что такие проблемы решаются подобным образом. Но оставим пока этот момент. Всё как всегда приходит по мере накопления практического опыта. Ранее я рассуждала вообще без чертежей. Потом стала строить чертежи сначала и только потом, глядя на них, пыталась размышлять. И один, и другой подходы имеют свои преимущества и недостатки, получается Начни я рассуждать чисто умозрительно, возможно, доказательство нашлось бы без особого труда. По крайней мере в книге оно очень короткое и довольно ясное. Однако, глядя только на чертёж получившийся это сделать невозможно. Вот начало доказательства: "Рассмотрим треугольники BAD и CBE". Ну и далее подводится к тому, что они равны. Однако на чертеже ВС=55, в то время как АВ=BD=52 (изначально такими построились). С углами та же проблема. Угол BAD=72, а "равные" ему СЕВ и AED по 78 градусов. Глядя на чертёж без линейки и транспортира это можно и не заметить и использовать при доказательстве без проблем, но как же так?

P.S. Посмотрела наличие отдела "Начертательная геометрия" на форуме. Такового не оказалось. Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так? И, соответственно, все вопросы здесь же, в ветке форума "Геометрия", правильно?

[matidiot]

horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):

Я построила угол BAD тупым Угол AED вышел острым

Сначала сделал чертёж по условию задачи и сразу увидел элементарное решение (основанное на равенстве треугольников), а потом прочитал Ваш комментарий - у меня тоже получилось как у Вас (два равных по условию угла на рисунке оказались совсем разными - один острый, другой тупой), однако это совсем не вызвало сомнения у меня в решении! Всё дело в психологии - надо научиться не обращать внимания на неизбежные метрические и угловые несоответствия при геометрических построениях от руки! Есть известный афоризм: геометрия - искусство решения задач на неправильных чертежах. Под "неправильными" чертежами я понимаю как раз метрические и угловые несоответствия. Хотя есть хитрые случаи, когда действительно неправильные чертежи приводят к ошибкам и геометрическим парадоксам, но они являются скорее исключениями в обычной школьной практике. Чаще возникают неоднозначные ситуации, когда условие задачи допускает различные варианты решения.

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):

Глядя на чертёж без линейки и транспортира это можно и не заметить и использовать при доказательстве без проблем, но как же так?

horda2501 в сообщении #1641764 писал(а):

В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что АВ=СЕ, ВЕ=AD, угол AED=углу BAD. Докажите, что ВС>AD

Более точная формулировка: В любом четырёхугольнике $ABCD,$ если его диагонали пересекаются в точке $E,$ $AB=CE,$ $BE=AD$ и $\angle AED=\angle BAD,$ то $BC>AD.$
Тогда чертёж не имеет значение для правильности доказательства. Вы рисуете один конкретный четырёхугольник, а предложение надо доказать для любого.

-- Пт июн 07, 2024 20:56:34 --

Берёте произвольный четырёхугольник $ABCD$ (представьте себе множество $P$ всех четырёхугольников).
Допускаете условия, что его диагонали пересекаются в точке $E,$ $AB=CE,$ $BE=AD$ и $\angle AED=\angle BAD$ (представьте себе, что Вы выделили из множества $P$ только те четырёхугольники, которые удовлетворяют этим условиям; получается новое множество $P_1$).
Далее для всех четырёхугольников из множества $P_1$ надо доказать, что $BC>AD.$

[horda2501]

matidiot
Замечательный афоризм, я его запомню! И всё же, существуют ведь, например, изобразительное искусство академического направления и серьёзные технические чертежи. Собственно, академическая живопись основана на черчении, которое technical drawing. А где technical, там по определению погрешности и неточности должны быть сведены к минимуму. У всего этого наверняка множество нюансов и закономерностей, как и в любом другом направлении техники и искусства. Например, в предисловии к академическому учебнику по начертательной геометрии (советскому ), я прочла, что без аналитической геометрии нечего в этом предмете делать.

gefest_md
Автору книги не помешало бы, наверное, дать подобное пояснение, кстати. Мол, есть множество четырёхугольников, но не все из них будут удовлетворять всем условиям одновременно и доказывать нужно для тех, которые будут соответствовать. Так как по формулировке задач кажется, что если выполняются некоторые из условий, то обязательно будут выполняться и все остальные. Я впервые столкнулась с такой очевидностью с этими явлениями именно в этом пособии (очень хорошее, кстати, глубина с первых же страниц чувствуется, заставляет много думать).

[svv]

А ещё бывают ситуации, когда чертёж к рассуждению, в котором удовлетворены все условия, принципиально невозможен. Это когда условия несовместны, и это надо доказать рассуждением от противного.

[Евгений Машеров]

horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):

Посмотрела наличие отдела "Начертательная геометрия" на форуме. Такового не оказалось. Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так? И, соответственно, все вопросы здесь же, в ветке форума "Геометрия", правильно?

А нет здесь вообще ветки "Геометрия". Есть "Помогите решить, разобраться" и есть "Общие вопросы". Если просьба о помощи - отдельной темой в "ПРР".

[horda2501]

Я пробовала и так и этак построить эту конструкцию. Всё работает по принципу "голову вытащил - хвост застрял, хвост вытащил - голова застряла". Но это для опытных участников форума, конечно же, не новость А для меня серьёзное открытие, вызвавшее ряд вопросов. Главный из них вот какой. Если считать геометрию мерилом всего в физическом мире, его реализацией не только в нашем восприятии, но и в структуре материи на всех уровнях как таковой, то как же быть в таком случае? Получается нет идеальных форм и структур в принципе и всегда есть некие нюансы, а овладение с точки зрения практического применения каким-либо сегментом материи это изучение этих нюансов и нестыковок, с выработкой последующих маневров по их обхождению?
На конкретном примере. Вот те же архитектурные сооружения. В них нужна исключительная точность, так как ошибка может привести к разрушению и гибели. При их возведении те же нестыковки будут, так? Однако они как-то обходятся же и сложные здания не рушатся. Как это получается?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1642053 писал(а):

При их возведении те же нестыковки будут, так? Однако они как-то обходятся же и сложные здания не рушатся. Как это получается?

Ну, есть такая штука как "допуск", если все нестыковки в допуске, то здание [скорее всего] не упадёт. Это часть ремесла.

Но сложные здания, бывает, и рушатся...

[horda2501]

Что значит "допуск"? Допустимые отклонения, вроде "+/- 5" ? Однако, что значит, "бывает рушатся"? Скажем, серьёзные промышленные объекты, вроде атомных станций. Если они "сломаются" это приведёт к массовым вымираниям и вообще неслыханным последствиям ведь
Вот совсем простой вопрос. У меня в этом четырёхугольнике, где "внутри" два одинаковых равнобедренных треугольника, получилось так, что одна из сторон 55 мм, а ей "равная" 50, хотя по логике рассуждений они одинаковые. Как будет строится сооружение по такому чертежу? Будет указано ответственному лицу, мол, тут одна стена 55, а вторая 50?

[Sinoid]

(Оффтоп)

horda2501 в сообщении #1641775 писал(а):

Если я буду далее изучать черчение и начертательную геометрию, это будет "Проективная геометрия", так?

Нет, проективная геометрия - это совсем другое. Для получения представления о том, что такое проективная геометрия, можно полистать, например, книгу Н.Ф. Четверухина "Проективная геометрия". Но вам сейчас только полистать. Перед изучением Четверухина (если есть желание/необходимость вникнуть в предмет достаточно глубоко), неплохо бы осилить брошюрку Певзнера и прорешать к ней задачник. Но и к Певзнеру вы сейчас не готовы. Совсем не готовы. За проективную геометрию не беритесь до тех пор, пока не прошерстите основательно школьный курс геометрии, вплоть до стереометрии а аналитическую геометрию. Решение шаблонной задачи по ангему не должно вызывать у вас вообще никаких затруднений. Про школьную геометрию я вообще молчу. Вот тогда и только тогда человек в состоянии хоть что-то понять в проективной геометрии. Дальнейшим же обобщением проективной геометрии является синтетическая геометрия. По мне, так там вообще жесть. Например, задачник Чнрняева. Но в моем случае, скорее всего, это просто потому, что не с кем было прокручивать решение более простых задач по проективной геометрии. Или рассматривать с разных сторон доказательства теорем из книги Четверухина. Вот это была бы база для Черняева! Но, увы. Впрочем, проективная геометрия большинству сейчас и неинтересна. Ее время отошло. Я не говорю, что она неинтересна по содержанию. Я бы сам еще с удовольствием в нее углубился. Просто на серьезном математическом уровне там сейчас нет, ну или почти нет вопросов. Начертательную же геометрию можно, ИМХО, вместе со школьной. Как-то у маминой подруги в гостях мне попался в руки учебник по ней. Кто автор, конечно, не скажу. Полистал. ИМХО, ничего не подъемного в ней для желающего учиться школьника нет.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1642082 писал(а):

Начертательную же геометрию можно, ИМХО, вместе со школьной. Как-то у маминой подруги в гостях мне попался в руки учебник по ней. Кто автор, конечно, не скажу. Полистал. ИМХО, ничего не подъемного в ней для желающего учиться школьника нет.

А вообще при изучении математики в целом знание/незнание начертательной геометрии не имеет абсолютно никакого значения.

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):

У меня в этом четырёхугольнике, где "внутри" два одинаковых равнобедренных треугольника, получилось так, что одна из сторон 55 мм, а ей "равная" 50, хотя по логике рассуждений они одинаковые.

По-моему внутри четырёхугольника только один равнобедренный треугольник. Стороны равнобедренного треугольника в Вами нарисованном четырёхугольнике получились неравными, потому что четырёхугольник принадлежит множеству $P$, но не принадлежит множеству $P_1,$ то есть логика рассуждений нарушена. Описание $P$ и $P_1$ было выше.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):

Скажем, серьёзные промышленные объекты, вроде атомных станций. Если они "сломаются" это приведёт к массовым вымираниям и вообще неслыханным последствиям ведь

Ну да, Три-Майл-Айленд, Чернобыль, Фукусима...

-- 11.06.2024, 10:52 --

horda2501 в сообщении #1642059 писал(а):

Что значит "допуск"? Допустимые отклонения, вроде "+/- 5" ?

Да, типа того.