Парадокс лжеца

[Gevin Magnus]

mihaild в сообщении #1634412 писал(а):

Не очень понятен второй вариант. Плюс часто считается что "3 шоколадных, 5 карамельных" удовлетворяет описанию "в коробке 3 шоколадных конфеты".

А что непонятного-то? И это не противоречит же ничему, в коробке 3 шоколадных конфеты, и всего конфет 3, внимательно читайте

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634416 писал(а):

Так стараются не говорить, как раз из-за неоднозначности формализации. Это может означать как то, что для любого вида, у Вас есть фрукт этого вида, так и что у Вас есть магический фрукт, такой что для любого вида, этот фрукт относится к этому виду. Поэтому такие языковые конструкции просто не используются.

Хочется просто ввести утверждение о полноте и формализовать его в рамках классической логики. Поясню на примере:

Имеем 3 жены, которые хотят или не хотят меня отравить: существует ряд утверждений относительно них:
3 хотят 0 не хочет
2 хотят одна не хочет
1 хочет две не хотят
0 хочет 3 не хотят
хотя бы 1 хочет
хотя бы 2 хочет
хотя бы 1 не хочет
хотя бы 2 не хотят

Это множество утверждений полно, других утверждений нельзя сделать относительно жен и их желания отравить.

Для этой полноты хотелось бы дать определение на языке логики, причем универсальное для любого количества жен, но их желания могут принимать только 2 значения: хотят и не хотят. Может такой объект уже есть в логике?

[mihaild]

Gevin Magnus в сообщении #1634419 писал(а):

А что непонятного-то?

Непонятно, в чем состоит доказательство, особенно с учетом записи посылки в середине предложения.

Alpha AXP в сообщении #1634420 писал(а):

Для этой полноты

Под "полнотой" в логике понимается возможность вывода. А Вам явно нужно что-то другое.

Формализовать ситуацию очень просто в, например, терии множеств: у нас есть трехэлементное множество, которое мы называем множеством жен, и его подмножество, которое мы называем множеством жен, которые хотят отравить.

[Gevin Magnus]

mihaild в сообщении #1634421 писал(а):

Непонятно, в чем состоит доказательство, особенно с учетом записи посылки в середине предложения.

Вы согласны, что все конфеты в коробке шоколадные эквивалентно "в коробке N шоколадных конфет, где N - число конфет"

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634420 писал(а):

Это множество утверждений полно, других утверждений нельзя сделать относительно жен и их желания отравить.

четное число хочет
нечетное число хочет
число, делящееся на 3, хочет

Так как на вопрос "сколько жен хотят меня отравить" есть четыре варианта ответа, очевидно, что существует $16$ неэквивалентных утверждений об этом числе. Из них одно тождественно истинно (например, хотя бы $0$ хочет) и одно тождественно ложно (например, хотя бы $4$ хочет), остальные $14$ содержательны.

Можно нарисовать их в виде четырехмерного куба, где стрелки на ребрах будут обозначать логическое следование между ближайшими вариантами, например, "нечетное число жен хочет меня отравить" -> "не менее одной жены хочет меня отравить". Исток будет в тождественно ложном утверждении, из него следуют все остальные. Сток - в тождественно истинном, видимо, вы его называете полной истиной.

тождественная ложь $F$ - "количество жен, желающих меня отравить, не выражается числом"
тождественная истина $T$ - "сколько-то жен желает меня отравить"
$F\rightarrow$ "ни одной жены не хочет меня отравить"
$F\rightarrow$ "ровно одна жена хочет меня отравить"
$F\rightarrow$ "ровно две жены хотят меня отравить"
$F\rightarrow$ "ровно три жены хотят меня отравить"
"одна жена хочет меня отравить" $\rightarrow$ "не более одной жены хочет меня отравить"
"одна жена хочет меня отравить" $\rightarrow$ "одна или две жены хотят меня отравить"
"одна жена хочет меня отравить" $\rightarrow$ "нечетное число жен хотят меня отравить"
и так далее, а в конце
"не менее одной жены хочет меня отравить" $\rightarrow T$
"ноль, две или три жены хотят меня отравить" $\rightarrow T$
"ноль, одна или три жены хотят меня отравить" $\rightarrow T$
"не более двух жен хочет меня отравить" $\rightarrow T$

Все стрелки идут от менее общих высказываний к более общим.

[tolstopuz]

А если мы различаем жен по именам (или по номерам), то добавляются утверждения вида "Наташа хочет меня отравить" или "только Зульфия и Наташа хотят меня отравить" и общее количество неэквивалентных утверждений будет $256$.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1634448 писал(а):

и общее количество неэквивалентных утверждений будет $256$.

А разве например, "одна хочет" не эквивалентно "две не хотят"?

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634453 писал(а):

А разве например, "одна хочет" не эквивалентно "две не хотят"?

Например, эквивалентно. Но если различать имена, то "только Наташа хочет" и "только Зульфия хочет" уже перестают быть эквивалентными.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1634448 писал(а):

только Зульфия и Наташа хотят меня отравить" и общее количество неэквивалентных утверждений будет $256$.

Как-то много. Не похоже на правду.

-- 27.03.2024, 23:38 --

tolstopuz в сообщении #1634431 писал(а):

что существует $16$ неэквивалентных утверждений

Все-таки не 16?

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634455 писал(а):

Как-то много. Не похоже на правду

Рассмотрите тогда пример двух жен.
Сколько разных ситуаций может быть (если жены отличаются? если не отличаются?)? Сколько может быть неэквивалентных утверждений (множеств ситуаций)?

Alpha AXP в сообщении #1634455 писал(а):

Все-таки не 16?

16.
Учтите, что "хотят отравить ровно 1 или ровно 3" - тоже утверждение. Неэквивалентное утверждениям вида "хотят отравить не менее $n$" или "хотят отравить не более $n$".

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634455 писал(а):

Как-то много. Не похоже на правду.

Ну гадайте дальше, я уже все посчитал. Одно из утверждений, например, "Зульфия и Алиса не согласны друг с другом в вопросе отравления меня, а Наташа согласна с Алисой".

Alpha AXP в сообщении #1634455 писал(а):

Все-таки не 16?

Вот они все $16$ нарисованы:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hasse_dia ... ram_design
Каждое утверждение - кружок с меткой, метка состоит из четырех разрядов, пронумеруем их $0-3$, $i$-й разряд означает истинность утверждения при $i$ женах, желающих отравить. Стрелки импликаций идут снизу вверх.
Например, $1100$ - "не более одной жены хочет меня отравить", $0101$ - "нечетное число жен хотят меня отравить".

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634456 писал(а):

16.
Учтите, что "хотят отравить ровно 1 или ровно 3" - тоже утверждение. Неэквивалентное утверждениям вида "хотят

Хочет 0$\leftrightarrow$ Не хочет 3
Хочет 1$\leftrightarrow$ Не хотят 2
Хочет 2$\leftrightarrow$ Не хочет 1
Хочет 3$\leftrightarrow$ Не хочет 0
Хочет хотя бы 1
Хочет хотя бы 2
Не хочет хотя бы1
Не хочет хотя бы 2
Хочет не более 3
Хочет не более 2
Не хочет не более 3
Не хочет не более 2
Хочет нечетное число
Не хочет нечетное число
Хочет кратное 3 число
Не хочет кратное 3 число

Правильно ли выписаны неэквивалентные утверждения?

-- 28.03.2024, 00:14 --

Если жен пять, то общее количество неэквивалентных утвепждений $6^6$?

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634458 писал(а):

Правильно ли выписаны неэквивалентные утверждения?

$0000$ F

$1000$ Хочет 0$\leftrightarrow$ Не хочет 3
$0100$ Хочет 1$\leftrightarrow$ Не хотят 2
$0010$ Хочет 2$\leftrightarrow$ Не хочет 1
$0001$ Хочет 3$\leftrightarrow$ Не хочет 0

$1100$ Не хочет хотя бы 2
$1010$ Не хочет нечетное число
$1001$ Хочет кратное 3 число
$0110$ Не хочет кратное 3 число
$0101$ Хочет нечетное число
$0011$ Хочет хотя бы 2

$1110$ Хочет не более 2 $\leftrightarrow$ Не хочет хотя бы 1
$1101$ Забыли
$1011$ Забыли
$0111$ Хочет хотя бы 1 $\leftrightarrow$ Не хочет не более 2

$1111$ Хочет не более 3 $\leftrightarrow$ Не хочет не более 3 $\leftrightarrow$ T

Итак, три написали по два раза и забыли $F$, "хочет не одна" и "хочет не две". А зачем теперь это, если у каждого утверждения есть четырехсимвольная метка?

Alpha AXP в сообщении #1634458 писал(а):

Если жен пять, то общее количество неэквивалентных утвепждений $6^6$?

А если три, то $4^4$? :)

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634421 писал(а):

Под "полнотой" в логике понимается возможность вывода. А Вам явно нужно что-то другое.

Да, как раз то, что нашел tolstopuz. Я пытался это построить как структуру на множествах безуспешно. А оказывается этоиструктура на гиперкубе.

tolstopuz в сообщении #1634460 писал(а):

Итак, три написали по два раза и забыли $F$, "хочет не одна" и "хочет не две". А зачем теперь это, если у каждого утверждения есть четырехсимвольная метка?

Правильно ли сказать, что из такого гиперкуба выводится любое неэквивалентное утверждение?

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634462 писал(а):

Правильно ли сказать, что из такого гиперкуба выводится любое неэквивалентное утверждение?

Конечно.
Если у меня $n$ жен, то у величины "количество жен, желающих меня отравить" $n+1$ возможный вариант. Любое утверждение либо истинно, либо ложно на каждом из этих вариантов, и его можно обозначить последовательностью нулей и единиц длиной $n+1$. Утверждения, имеющие одинаковую метку, эквивалентны. Все $2^{n+1}$ таких последовательностей нарисованы в гиперкубе.