Парадокс лжеца

[Gevin Magnus]

Как в классической логике решается парадокс лжеца? Он же противоречит закону исключенному третьему.
Кстати, в диалектической логике он решается просто

[mihaild]

Синтаксисом, не дающим формулировать самореферентные утверждения.

[EminentVictorians]

Gevin Magnus, можете на мою интерпретацию посмотреть

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Формулировка:
Некоторый человек говорит: "Я лгу".

Мой разбор:
Если включить обычную человеческую логику, то непонятно, что в точности означает фраза "Я лгу". Я вижу два варианта:

1)Некоторый человек говорит: "Каждое произнесенное мной предложение является ложью."
Разберем этот случай.
Если человек действительно таков, что каждое произнесенное им предложение является ложным, и он действительно произнес предложение выше, значит он сказал правду. Получили противоречие. Это значит, что если человек действительно всегда говорит ложь, он просто не мог произнести это предложение. Поэтому если некоторый человек таки произнес это предложение, значит он точно не может быть всегда лгущим человеком.

2) Некоторый человек говорит: "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью."
Опять включаем обычную человеческую логику. Замечаем, что человек говорит на русском языке. Очевидно, что не каждая строка, составленная из символов русского алфавита, является высказыванием. Например, строки "Который час?" или "Авждплвплдв вдаповждлэцв лповдоп" высказываниями не являются. Первая строка является вопросительным предложением, а вторая строка такова, что в ней фигурируют не определенные слова. Таким образом, чтобы некоторая строка являлась высказыванием, как минимум в нее должны входить сущности, которые определены до собственно формулировки этого высказывания. Таким образом, строка "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью." не является высказыванием, а значит относительно нее нельзя ожидать, что ей присвоено однозначное истинностное значение "И" или "Л" и выполняется закон исключенного третьего.

Парадокса не получилось.

[Gevin Magnus]

mihaild в сообщении #1633712 писал(а):

Синтаксисом, не дающим формулировать самореферентные утверждения.

Но ведь не любые сомореферентные утверждения таковы, и отказ от них может сделать доказательства менее эффективными. И где гарантия, что такое может вылезти только в самореферентных утверждениях? Или что утверждения могут содержать неявную самореференцию (когда есть куча утверждений о других утверждениях, какой синтаксис тут может спасти)
EminentVictorians
Я говорил о А="Утверждение А ложно"

[EminentVictorians]

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

Я говорил о А="Утверждение А ложно"

Так это по сути то же самое, что и "Некоторый человек говорит: "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью." "

Я бы так разобрал.

Если в каком-то утверждении $X$ говорится об объекте $Y$, всегда должно быть так, чтобы объект $Y$ был определен до того, как мы станем делать какие-то утверждения про него. Иначе $X$ - это не утверждение.

Тут все вокруг этого и крутится. Рассмотрим строчку "Утверждение А ложно". Чтобы эта строчка была утверждением, необходимо, чтобы объект "Утверждение А" был определен до того, как мы начнем произносить нашу строчку.

Вы же произносите строчку, в которой фигурирует объект, не определенный на момент начала произношения этой строчки. Значит, то что Вы произносите - не высказывание. Со всеми вытекающими (что у такой строчки нету истинностного значения).

[mihaild]

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

Но ведь не любые сомореферентные утверждения таковы, и отказ от них может сделать доказательства менее эффективными

Вы спрашивали, как это решается в классической логике. Вот так.
Если Вы хотите какую-то другую логику - ну пишите. Только не советую ссылаться на Гегеля, гражданин, мнэ-э... не советую. Съедят.

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

И где гарантия, что такое может вылезти только в самореферентных утверждениях?

Какое "такое"? Парадокс лжеца по определению про самореферентное утверждение.

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

Или что утверждения могут содержать неявную самореференцию

Что это такое?

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

когда есть куча утверждений о других утверждениях

Синтаксис классического исчисления высказываний (и предикатов) вообще не позволяет делать утверждения об утверждениях.

[Gevin Magnus]

mihaild в сообщении #1633721 писал(а):

Если Вы хотите какую-то другую логику - ну пишите. Только не советую ссылаться на Гегеля, гражданин, мнэ-э... не советую. Съедят.

В диалектике будет так - утверждение А являет собой единство и борьбу противоположностей двух начал - истинности и ложности. Борьба заключается в противоположности этих начал, единство - что одно следует из другого

mihaild в сообщении #1633721 писал(а):

Какое "такое"? Парадокс лжеца по определению про самореферентное утверждение.

Я сейчас говорю о законе исключенного третьего

mihaild в сообщении #1633721 писал(а):

Что это такое?

Замаскированная самореференция

mihaild в сообщении #1633721 писал(а):

Синтаксис классического исчисления высказываний (и предикатов) вообще не позволяет делать утверждения об утверждениях.

Тогда мы крайне себя обедняем

[mihaild]

(Оффтоп)

Gevin Magnus в сообщении #1633724 писал(а):

В диалектике будет так

Это никому (из способных сказать хоть что-то содержательное про математику) не интересно.

Gevin Magnus в сообщении #1633724 писал(а):

Я сейчас говорю о законе исключенного третьего

Вы называете закон исключенного третьего "неявной самореференцией"?

По какому источнику Вы изучали исчисление высказываний?

[EminentVictorians]

Gevin Magnus в сообщении #1633718 писал(а):

Но ведь не любые сомореферентные утверждения таковы, и отказ от них может сделать доказательства менее эффективными.

Можете привести пример такого доказательства? Чтобы в нем использовалось самореферентное утверждение. Лично я ни разу не встречал таких ситуаций.

Вообще, у меня такое ощущение, что Вы смешиваете самореферентность и непредикативность.

[Alpha AXP]

Gevin Magnus в сообщении #1633707 писал(а):

Как в классической логике решается парадокс лжеца? Он же противоречит закону исключенному третьему.

В математике формализуется и рассматривается парадокс Рассела- это обобщение ряда парадоксов, которые не формализованы, в их число входит и парадокс лжеца.
Парадокс Рассела: Пусть М - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Вопрос: содержит ли М само себя в качестве элемента? Если ответ «да», то, по определению М, оно не должно быть элементом М и мы получили противоречие. Если ответ «нет» - то, по определению М, оно должно быть элементом М - вновь противоречие…

Вот Вы ссылаетесь на закон исключенного третьего, но есть ведь еще и логический закон, согласно которому из лжи можно вывести все, что угодно.
Если очень грубо, то:
Из того, что получили противоречие заключаем, что такой объект как "множество всех множеств" - ложен, вследствие его рассмотрения и возник парадокс.

[Gevin Magnus]

mihaild в сообщении #1633726 писал(а):

Вы называете закон исключенного третьего "неявной самореференцией"?

Нет, это все разные вещи. Мы можем применять закон исключенного третьего к ситуациям, где есть неявная (замаскированная) самореференция

EminentVictorians в сообщении #1633727 писал(а):

Можете привести пример такого доказательства? Чтобы в нем использовалось самореферентное утверждение. Лично я ни разу не встречал таких ситуаций.

Есть куча непредикативных определений

EminentVictorians в сообщении #1633727 писал(а):

Вообще, у меня такое ощущение, что Вы смешиваете самореферентность и непредикативность

Это по сути одно и то же

Alpha AXP в сообщении #1633740 писал(а):

Из того, что получили противоречие заключаем, что такой объект как "множество всех множеств" - ложен.

Ок, а как тогда быть с доказательствами от противного?

[Alpha AXP]

Gevin Magnus в сообщении #1633742 писал(а):

Ок, а как тогда быть с доказательствами от противного?

Что именно Вы хотите доказать от противного?

-- 22.03.2024, 19:32 --

Gevin Magnus в сообщении #1633724 писал(а):

В диалектике будет так - утверждение А являет собой единство и борьбу противоположностей двух начал - истинности и ложности. Борьба заключается в противоположности этих начал, единство - что одно следует из другого

(Оффтоп)

Вот мужчина и женщина борются. В результате их борьбы и единства из мужчины может следовать как женщина-X, так и мужчина-Y, значит сам мужчина XY- это ложь. А раз женщина - противоположность мужчины, то она истина, несущая только истину XX. В общем с такой диалектикой попробуйте к биологам)))

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1633740 писал(а):

Из того, что получили противоречие заключаем, что такой объект как "множество всех множеств" - ложен

Нет такого понятия - "ложный объект".

Gevin Magnus в сообщении #1633742 писал(а):

неявная (замаскированная) самореференция

Что это такое?

Gevin Magnus в сообщении #1633742 писал(а):

Это по сути одно и то же

Нет.

(Оффтоп)

Alpha AXP в сообщении #1633743 писал(а):

В общем с такой диалектикой попробуйте к биологам

Можно сразу к физикам и математикам.

Гегель писал(а):

Луна представляет собой безводный кристалл, который как бы стремится восполнить себя нашим морем, утолить жажду своей затверделости, и благодаря этому получаются приливы и отливы.
<...>
Комета есть просвечивающее, прозрачное водное тело, которое, разумеется, не принадлежит нашей атмосфере. Если бы комета обладала ядром, то мы должны были бы иметь возможность распознавать его посредством тени. Но кометы насквозь прозрачны, и можно видеть звезды сквозь хвост и даже сквозь самую комету.
<...>
Ньютоново доказательство кеплеровского закона, гласящего, что тело, подчиненное закону тяжести, обращается вокруг центрального тела по эллипсу, приводит к коническому сечению вообще, между тем как основное положение, которое должно быть доказано, состоит именно в том, что орбитой такого тела является не круг или какое-нибудь другое коническое сечение, а только эллипс

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1633749 писал(а):

Нет такого понятия - "ложный объект".

Согласен. Утверждение: множество всех множеств существует - ложь.

-- 22.03.2024, 20:13 --

mihaild в сообщении #1633749 писал(а):

Можно сразу к физикам и математикам.

(Оффтоп)

Можно и к математикам. Эту диалектику можно формализовать, получится очень примитивная схемка из которой ничего не следует, кроме повторения.
В Ваших аналогиях противоположности ничего не порождают и не следуют друг из друга, поэтому они не подходят под описание)

[EminentVictorians]

Gevin Magnus в сообщении #1633742 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1633727 писал(а):

Вообще, у меня такое ощущение, что Вы смешиваете самореферентность и непредикативность

Это по сути одно и то же

Нет. Самореферентность - это когда объект $x$ определяется через объект $x$. Я ни разу не видел ни одно самореферентное математическое определение.

Непредикативность - это когда объект $x$ определяется через множество $X$ такое, что $x \in X$. Почему её многие боятся - я не понимаю. Вот самореферентности действительно стоит бояться, но её и не бывает.

Стандартный пример непредикативности - это определение супремума для некоторого непустого ограниченного сверху множества $M \subset \mathbb R$. Определение просто верхней грани я понимаю так что никого не смущает. Потом мы замечаем, что множество всех верхних граней данного множества $M$ имеет минимум. Минимум, если существует, то единственный. Его и будем называть супремумом множества $M$. Что здесь страшного-то?

-- 22.03.2024, 20:22 --

EminentVictorians в сообщении #1633758 писал(а):

Я ни разу не видел ни одно самореферентное математическое определение.

Ну, собственно, понятно почему не видел. Давать такие определения просто некорректно.