Парадокс лжеца

[svv]

Alpha AXP
Позвольте мне вернуться немного назад, я хотел сделать одно замечание. Вы расширили стандартное множество значений истинности высказываний, и помимо "истинно", "ложно" у Вас появились "частично истинно", "частично ложно". Может показаться, что логика стала более точной, гибкой и многомерной. Но смотрите, какое здесь есть неудобство. В обычной логике истинность высказывания $A\wedge B$ (то есть "$A$ И $B$") полностью определяется истинностью $A$ и истинностью $B$. Если известно, что $A$ истинно, а $B$ ложно, то $A\wedge B$ будет ложно, и для такого вывода ничего больше про эти высказывания знать не нужно. Аналогично с другими связками, например, "ИЛИ". Это свойство важно, в частности, для вычислительной техники, ведь табличку истинности операции "И" реализовать много проще, чем искусственный интеллект.

А в Вашей теории этого свойства нет. Например, если $A$ истинно, а $B$ ложно, то $A\wedge B$ у Вас может быть "частично истинно", а может быть "частично ложно". Чтобы избавиться от этой неприятности, будем считать, что это одно и то же. Но легче не стало! Если $C$ частично истинно, и $D$ частично истинно, то $C\wedge D$ может быть частично истинно, но может быть и ложно, в зависимости от того, как $C$ и $D$ "лягут друг на друга". Примеры Вы легко приведёте сами (не выходя за пределы тепло-холодно, солнечно-пасмурно).

[Alpha AXP]

Alpha AXP в сообщении #1634357 писал(а):

И вот не пойму, если полное включает каждое из неполных, то оно является их .....? Чем? Вроде не объединением, и не пересечением, но тогда чем? Или все-таки объединением?

Все фрукты- круг на плоскости. Внутри этого круга точки: фрукт банан, фрукт апельсин, фрукт яблоко, фрукт груша, фрукт слива,..... в общем перечислены все фрукты. "У меня есть банан" указывает на конкретную точку внутри круга "все фрукты". "У меня есть фрукт" указывает на неопределенную область внутри круга "все фрукты". "У меня есть любой фрукт" указывает на сам круг "все фрукты". Если всех фруктов n, то фрукт -это какое-то подмножество из булеана $2^n$

-- 27.03.2024, 07:01 --

svv в сообщении #1634359 писал(а):

А в Вашей теории этого свойства нет.

Никакой моей теории нет. Пока есть рассуждения вслух, на которых я пытаюсь понять как устррена классическая теория и почему именно так, а не иначе. Может быть в результате появится и "моя теория", которая будет по большому счету не моей, а результатом обсуждения и объяснения мне почему так, а не иначе и что будет, если сделать иначе.

[Евгений Машеров]

У нас "евангельская логика", в смысле "да - да, нет - нет, а всё прочее от Лукавого". Есть "нечёткая логика", в которой возникают промежуточные значения истинности. Что вроде бы увеличивает возможности - но для действий нужно однозначно решить, а не рассуждать о процентах достоверности. Как выражался один американский президент, "нужны однорукие экономисты", и пояснял - такие, чтобы сообщив своё мнение, не прибавляли "on the other hand...".

[Alpha AXP]

Евгений Машеров в сообщении #1634364 писал(а):

У нас "евангельская логика", в смысле "да - да, нет - нет, а всё прочее от Лукавого".

Вот пока преимущественно ее и пытаюсь разобрать в том числе и установить что из чего выводится, но параллельно рассматривая вопросы, а почему так, а не иначе и что будет, если не так. С рассмотрением примеров.

И я бы не назвал эту логику евангельской, поскольку ложь в ней= ложь+истина. Двигаясь от частного к общему к истине не придем, поскольку к ней всегда будет подмешиваться ложь, соответственно самое общее- ложно. Отсюда понимаем, что никакая эта логика не евангельская.

[Евгений Машеров]

Это цитата.
Евангелие от Матфея 5 стих 37.

[Alpha AXP]

Евгений Машеров в сообщении #1634373 писал(а):

стих 37

Я понял.

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634360 писал(а):

Пока есть рассуждения вслух, на которых я пытаюсь понять как устррена классическая теория и почему именно так, а не иначе

Чтобы это понять, нужно рассуждать в терминах этой классической теории, а не придумывать свои.

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634387 писал(а):

Чтобы это понять, нужно рассуждать в терминах этой классической теории, а не придумывать свои.

Хорошо, буду стараться использовать общепринятую нотацию и терминологию, но Вы поправляйте меня пожалуйста.

Рассмотрим ряд утверждений:

A:"У меня есть любой фрукт"
В:"У меня есть фрукт"
C:"У меня есть апельсин"

Справедливы утверждения: $B \in A \land C \in A$, т.е. если $A=True$, то $B=True \land C=True$, но обратное неверно.

Вопрос: Значит ли это, что $A\rightarrow B \land A\rightarrow C $?

Теперь надо установить отношения между $B,C$
Если $B=Thue$, то $C=True \lor False$, но если $C=Thue$, то $B=Thue$

Вопросы:
1. Можно ли утверждать на этом основании, что: $C\rightarrow B$?
2. В каких отношениях находятся $B,C$ c точки зрения включения-исключения?

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

У меня есть любой фрукт

Так не говорят. Ближайшее похожее - это

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

У меня есть фрукт

что обычно означает "существует $x$ такой что $x$ это фрукт и $x$ у меня есть".

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

Справедливы утверждения: $B \in A \land C \in A$

Это вообще не утверждение. По сторонам $\in$ утверждения стоять не могут, этот знак (предикатный символ) применяется только к множествам.

Правильно (например) так: $C \rightarrow B$: "если у меня есть апельсин, то у меня есть фрукт".

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

Если $B=Thue$, то $C=True \lor False$,

Так писать нельзя, потому что $(\text{True} \vee \text{False}) \leftrightarrow \text{False}$. Общепринятого обозначения для "неизвестно, истинно ли $C$", нет, всегда можно написать словами (это всё равно не особо формальное понятие). Из формального есть $B \nvdash C$ - "из $B$ не выводится $C$". Это связано с довольно сложным понятием выводимости. Но благодаря теоремам о полноте и корректности, можно сказать, что из $B$ не выводится $C$ тогда и только тогда, когда существуют "ситуации" (интерпретации), в которых $B$ истинно, а $C$ ложно.

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

если $C=Thue$, то $B=Thue$

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

Можно ли утверждать на этом основании, что: $C\rightarrow B$?

Да, это именно определение импликации.

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

В каких отношениях находятся $B,C$ c точки зрения включения-исключения?

Ни в каких, к утверждениям такие теоретико-множественные понятия неприменимы.

[Alpha AXP]

Спасибо за Ваш ответ:

mihaild в сообщении #1634400 писал(а):

Это вообще не утверждение. По сторонам $\in$ утверждения стоять не могут, этот знак (предикатный символ) применяется только к множествам.

mihaild в сообщении #1634400 писал(а):

Ни в каких, к утверждениям такие теоретико-множественные понятия неприменимы.

Просто я параллельно рассматриваю A,B как множества и пытаюсь соотнести объекты над которыми делаются утверждения со множествами, чтобы лучше понимать, что происходит, что такое выводимость и что мы делаем.

Alpha AXP в сообщении #1634360 писал(а):

Все фрукты- круг на плоскости. Внутри этого круга точки: фрукт банан, фрукт апельсин, фрукт яблоко, фрукт груша, фрукт слива,..... в общем перечислены все фрукты. "У меня есть банан" указывает на конкретную точку внутри круга "все фрукты". "У меня есть фрукт" указывает на неопределенную область внутри круга "все фрукты". "У меня есть любой фрукт" указывает на сам круг "все фрукты". Если всех фруктов n, то фрукт -это какое-то подмножество из булеана $2^n$

[Gevin Magnus]

mihaild
А можно на мой вопрос ответить, все таки моя тема

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634400 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

У меня есть любой фрукт

Так не говорят. Ближайшее похожее - это

Alpha AXP в сообщении #1634398 писал(а):

У меня есть фрукт

что обычно означает "существует $x$ такой что $x$ это фрукт и $x$ у меня есть".

Т.е. Вы хотите сказять, что в логике нет выражения для определения множества однотипных объектов, как то например "все фрукты" т.е. если мы захотим его определить, то придется делать это перечислением и объединением всех возможных фруктов, чтобы сделать утверждение относительно такого множества?

[mihaild]

Gevin Magnus в сообщении #1634406 писал(а):

А можно на мой вопрос ответить

Этот?

Gevin Magnus в сообщении #1634356 писал(а):

Кстати, а можно ли скажем в случае пустой коробки конфет доказать утверждение "каждая конфета в коробке шоколадная" не как "это так, т.к. мы не можем указать нешоколадную конфету", а как "каждая конфета в коробке шоколадная, если у нас коробке N шоколадных конфет, где N-число конфет, тогда у нас все сходится"

Не очень понятен второй вариант. Плюс часто считается что "3 шоколадных, 5 карамельных" удовлетворяет описанию "в коробке 3 шоколадных конфеты".
(тут сложные языковые конструкции, "в здании 5 человек" обычно означает, что именно людей в здании ровно 5, но дополнительно может быть произвольное количество котов; а вот "в коробке 5 белых котов" может означать как "в коробке ровно 5 белых котов, и больше никаких котов в коробке нет", так и "в коробке 5 белых котов, а все другие коты в коробке не-белые", а иногда даже "в коробке минимум 5 белых котов, но может и больше, а может и еще что-то")

[Alpha AXP]

Множество всех видов фруктов конечно. У меня вполне может быть коллекция из всех видов фруктов. Значит у меня есть фрукт любого вида.

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634404 писал(а):

Просто я параллельно рассматриваю A,B как множества

Не надо. Запутаетесь (уже путаетесь).
Соотношение между множествами и утверждениями (формулами) идет чуть дальше.

Alpha AXP в сообщении #1634410 писал(а):

Т.е. Вы хотите сказять, что в логике нет выражения для определения множества однотипных объектов, как то например "все фрукты"

Я совершенно не это сказал, и не понимаю, откуда Вы взяли процитированное.
В логике мы занимаемся какими-то произвольными "свойствами". Мы говорим, что у нас есть свойства "быть фруктом", "быть апельсином" и т.д., вводим некоторые аксиомы про эти свойства ("для любого $x$, если $x$ апельсин то $x$ фрукт"), и дальше смотрим, что из этого можно получить.

Alpha AXP в сообщении #1634413 писал(а):

Значит у меня есть фрукт любого вида

Так стараются не говорить, как раз из-за неоднозначности формализации. Это может означать как то, что для любого вида, у Вас есть фрукт этого вида, так и что у Вас есть магический фрукт, такой что для любого вида, этот фрукт относится к этому виду. Поэтому такие языковые конструкции просто не используются.