2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 14  След.
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598434 писал(а):
mihaild в сообщении #1598433 писал(а):
Что такое "число квадратов у числа"?
Пример:
А можно не пример, а определение? По которому я смогу посчитать, сколько квадратов у чисел $1, 2, 3, 27, 42$ и $666$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 16:37 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598437 писал(а):
А можно не пример, а определение? По которому я смогу посчитать, сколько квадратов у чисел $1, 2, 3, 27, 42$ и $666$.


Определение?))
Пожалуй можно. Итак:

При разложении натурального числа в натуральной степени на сумму одинаковых квадратов, где основание каждого квадрата равно основанию оперируемого числа – количество таҡих квадратов, тем больше, чем больше основание степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598438 писал(а):
основание каждого квадрата равно основанию оперируемого числа
Что такое "основание числа"? Какие основания у чисел $1,2,3,27,42,666$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 16:44 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598440 писал(а):
Что такое "основание числа"? Какие основания у чисел $1,2,3,27,42,666$?


Основание степени, если желаете точнее. Число, оно и в степени число))

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598442 писал(а):
Основание степени, если желаете точнее
Желаю.
Т.е. определение такое: "Пусть $n$ - куб целого числа, тогда числом квадратов у $n$ называется $\sqrt[3]{n}$", так что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 17:19 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598444 писал(а):
Желаю.
Т.е. определение такое: "Пусть $n$ - куб целого числа, тогда числом квадратов у $x$ называется $\sqrt[3]{x}$", так что ли?


Не так.
Число квадратов (согласно определению*) для $x^n$ , будет $x^{n-2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Давайте ограничимся случаем $n = 3$. Для него то что Вы написали совпадает с тем что у меня (после исправления опечатки).
Возвращаемся к предыдущему:
Alek в сообщении #1598432 писал(а):
Это значит, что если число квадратов слева, не превышает число квадратов второго слагаемого до суммирования, то равенство выражения невозможно.
Вооружившись новым определением, получаем что как слева, так и справа (в равенстве $x^3 + y^3 = z^3$) ровно $z$ квадратов.
Что понимается под "вторым слагаемым" - не очень понятно, именно поэтому надо писать буквы. Если понимается $y^3$ - то очевидно что число квадратов слева, равное $z$, превышает число квадратов второго слагаемого, равное $y$. Соответственно импликация тривиально истинна (т.к. посылка ложна).
Или "число квадратов до суммирования" это что-то отличное от просто "числа квадратов"?
Alek в сообщении #1598432 писал(а):
то равенство выражения невозможно
Равенство какого выражения чему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 17:44 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598450 писал(а):
Вооружившись новым определением, получаем что как слева, так и справа (в равенстве $x^3 + y^3 = z^3$) ровно $z$ квадратов.
Что понимается под "вторым слагаемым" - не очень понятно, именно поэтому надо писать буквы. Если понимается $y^3$ - то очевидно что число квадратов слева, равное $z$, превышает число квадратов второго слагаемого, равное $y$. Соответственно импликация тривиально истинна (т.к. посылка ложна).

Небольшой конфликт интерпретаций.
Слева – после первой итерации суммирования квадратов меньшего и большего слагаемых, их количество, никогда не превышает то число квадратов, кое было до суммирования – во втором слагаемом.
Для чёткости, обозначим это число квадратов символом N (несущественно, каким именно).

В русле обсуждения, а так же согласно упомянутому определению* – количество квадратов в правой части, [обозначим символом М, несущественно...], заведомо больше, чем же число N.

Под «вторым слагаемым», следует понимать большее слагаемое так, как это было явно определено в статье.

Цитата:
Или "число квадратов до суммирования" это что-то отличное от просто "числа квадратов"?


Да. Применительно к обсуждаемой теме, «просто число квадратов», это слишком уж обобщённый тезис, нежели чем например "число квадратов до суммирования", и иные, из рассматриваемого материала))

mihaild в сообщении #1598450 писал(а):
то равенство выражения невозможно

mihaild в сообщении #1598450 писал(а):
Равенство какого выражения чему?


Выражение: имеется в виду, выражение из ВТФ.
Равенство в этом выражении невоможно. Левая часть не равна правой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598453 писал(а):
Слева – после первой итерации суммирования квадратов меньшего и большего слагаемых, их количество, никогда не превышает то число квадратов, кое было до суммирования – во втором слагаемом.
Что за итерации?
Почему вообще среди чисел $ax^2 + by^2$ (просуммировали несколько слагаемых $x^2$ и $y^2$) должен найтись хоть один квадрат, кроме как при $a = x$, $b = y$?

(а еще что значат звездочки над случайными словами?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:15 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598456 писал(а):
Что за итерации?
Почему вообще среди чисел $ax^2 + by^2$ (просуммировали несколько слагаемых $x^2$ и $y^2$) должен найтись хоть один квадрат, кроме как при $a = x$, $b = y$?
(а еще что значат звездочки над случайными словами?)

[звёздочки, для акцентирования вимания оппонента. Вижу, что сработало))]

Давайте уточним:

-- сначала, оба слагаемых, были разложены на квадраты.
-- затем, получившиеся квадраты, были суммированы так, как это определено в статье, и комментариях ниже.
-- при этом было показано, что в самом идеальном варианте, ҡоличество квадратов в левой части выражения, не может быть больше количества квадратов в правой части выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598459 писал(а):
затем, получившиеся квадраты, были суммированы так, как это определено в статье
Не видел определения. Напишите точно, как именно группируете. А не "ну так не получилось, значит никак не получилось".

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:34 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598460 писал(а):
Не видел определения. Напишите точно, как именно группируете. А не "ну так не получилось, значит никак не получилось".


О каком определении речь? Уточните.

Как именно я группирую, Вы уже интересовались: mihaild в сообщении #1598398 писал(а):....
А я Вам, незамедлительно оветил,
В свою очередь, Вы по пунктам этот овет у меня затем уточняли.
Теперь Вы требуете ещё раз группировку... Ладно))

Группировка №1, когда все квадраты икс, суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Так как квадратов игрек было больше, то их сколько-то останется. А общее число квадратов слева, станет равно числу квардатов (зет и игрек) – числу квадратов игрек, которые были изначально. До всех суммирований.

Группировка №2, когда все квадраты икс, тоже суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это НЕ идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – НЕ подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, тоже «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Незадействованных квадратов игрек останеся ещё меньше, чем в певой группировке, если вообще хватит. А общее число квадратов слева, так же будет не больше, чем в первой группировке, ведь они дополнительно потрачены на элементы $2 \cdot\ x \cdot\ y$.

Группировки, где квадраты вначале попарно складываются внутри каждого слагаемого:
$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...
То есть, на каждый новый квадрат, затрачено четыре штуки прежних. Итог: число квадратов в обоих слагаемых, уменьшилось минимум в четыре раза.
Далее, можно применять группировку №1 или №2, с теми же результатами в них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Alek в сообщении #1598463 писал(а):
О каком определении речь? Уточните
О том, о котором Вы говорите в
Alek в сообщении #1598459 писал(а):
были суммированы так, как это определено в статье
(жирный шрифт мой - mihaild)
Alek в сообщении #1598463 писал(а):
Теперь Вы требуете ещё раз группировку
Тут я поторопился. Напишите, пожалуйста, что Вы понимаете под "группировкой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:50 


26/06/21

111
mihaild в сообщении #1598464 писал(а):
О том, о котором Вы говорите в >>> были суммированы так, как это определено в статье


И впрямь: действительно в статье это определено, в смысле этого слова.
Значит ли это, что я указал какое-то особое, отдельное определение? Нет))
Там, в статье, определено в тестовой форме, как имено суммируются квадраты.
И, как уже упоминал – дополнительно и подробно это разъяснено в комментариях ниже.
Замечу: эти разъяснения, были ответами на ваши уточняющие вопросы))

mihaild в сообщении #1598464 писал(а):
Тут я поторопился. Напишите, пожалуйста, что Вы понимаете под "группировкой".


Тезисы «группировка», «как вы группируете..» – не мои, Ваши. Взгляните сами, там же: mihaild в сообщении #1598398 писал(а):....
Я лишь поддержал Ваши тезисы, и стал отвечать с их использованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень суммы
Сообщение21.06.2023, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
Я под "группировкой" понимал следующее: группировкой набора чисел (например слагаемых в левой части) $a_1, \ldots, a_k$ называется разбиение множества $1, \ldots, k$ на непересекающиеся подмножества, записываемое с помощью группировки этих слагаемых в скобки.
Но вот $2xy$ под это определение не подходит. Поэтому Вы, видимо, под группировкой понимаете что-то другое.

Но не хотите говорить о группировке - не надо. Тогда дайте определение термину
Alek в сообщении #1598365 писал(а):
варианты подсчёта

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 201 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group