Степень суммы

[wrest]

Alek в сообщении #1598397 писал(а):

, абсолютно все квадраты из меньшего слагаемого, «исчезают», поскольку сливаются с таким же количеством квадратов из второго слагаемого: $ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...

Что это значит? Вообще непонятно...
Понятно, например что $x^3=x\cdot x^2$ ну и если $x^3+y^3=z^3$ то $x\cdot x^2 + y\cdot y^2= z \cdot z^2$ И что? Что с чем сливается, пропадает, исчезает и остается?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598398 писал(а):

Alek, давайте с самого начала, по шагам и максимально подробно.
Вот у нас есть равенство $\underbrace{x^2 + \ldots + x^2}_{x\text{ раз}} + \underbrace{y^2 + \ldots + y^2}_{y\text{ раз}} = \underbrace{z^2 + \ldots + z^2}_{z\text{ раз}}$ - это так?
Если да, то дальше Вы пытаетесь как-то сгруппировать в нём слагаемые - это так?
Если да, то каким конкретно образом Вы их группируете?
(на группировке, если она правда происходит, предлагаю пока остановиться, если с ней всё будет понятно, то поедем дальше)

Группировка №1, когда все квадраты икс, суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Так как квадратов игрек было больше, то их сколько-то останется. А общее число квадратов слева, станет равно числу квардатов (зет и игрек) – числу квадратов игрек, которые были изначально. До всех суммирований.

Группировка №2, когда все квадраты икс, тоже суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это НЕ идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – НЕ подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, тоже «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Незадействованных квадратов игрек останеся ещё меньше, чем в певой группировке, если вообще хватит. А общее число квадратов слева, так же будет меньше, чем в первой группировке, ведь они дополнительно потрачены на элементы $2 \cdot\ x \cdot\ y$.

Группировки, где квадраты вначале попарно складываются внутри каждого слагаемого:
$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...
То есть, на каждый новый квадрат, затрачено четыре штуки прежних. Итог: число квадратов в обоих слагаемых, уменьшилось минимум в четыре раза.
Далее, можно применять группировку №1 или №2, с теми же результатами в них.

-- 21.06.2023, 19:56 --

wrest в сообщении #1598402 писал(а):

Alek в сообщении #1598397 писал(а):

, абсолютно все квадраты из меньшего слагаемого, «исчезают», поскольку сливаются с таким же количеством квадратов из второго слагаемого: $ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...

Что это значит? Вообще непонятно...
Понятно, например что $x^3=x\cdot x^2$ ну и если $x^3+y^3=z^3$ то $x\cdot x^2 + y\cdot y^2= z \cdot z^2$ И что? Что с чем сливается, пропадает, исчезает и остается?

А вот, выше уже ответил.

[wrest]

Alek
Мысль пока не улавливаю, но оставлю это здесь, вдруг дальше пригодится
$22^3+26^3=168^2$
$3^3+7^3=3^2+19^2=3^4+17^2$
$17^3+20^3=12^2+113^2=48^2+103^2$

[Alek]

wrest в сообщении #1598404 писал(а):

Alek
Мысль пока не улавливаю, но оставлю это здесь, вдруг дальше пригодится
$3^3+7^3=3^2+19^2=3^4+17^2$
$17^3+20^3=12^2+113^2=48^2+103^2$

Отличные примеры. Как и тот, что Вы приводили ранее.

Рассмотрим:
-- как из суммы квадратов тройки и семёрки, получить квадрат?
-- по известной формуле: $x^2 + 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2$

$9^2 + 2 \cdot\ 9 \cdot\ 49 + 49^2 = 58^2$

Относительно самого первого примера, с пятёркой:
Возьмите числа побольше, чтобы счёт потом не был слишком очевидным, и сначала – вычислите результат. Квадрат.
Затем разложите отдельно левую часть на разные квадраты, во всех возможных вариантах, и попытайтесь получить другой квадрат. И – ничего не выдет. Переместительный закон рулит)⁾

[mihaild]

Alek в сообщении #1598403 писал(а):

$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...

Легко показать, что так не бывает: если $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$, то $x^2 + y^2 > z^2$, даже натуральность требовать не надо.

Alek в сообщении #1598403 писал(а):

$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$

Ну так тоже не бывает, потому что опять же $z^2 - x^2 - y^2 < 0$.
Что дальше-то?

У меня складывается впечатление, что Вы хотите сказать, что $z^2$ как-то "хорошо" выражается через $x$ и $y$. Если Вы действительно это хотите использовать, то надо сформулировать и доказать.

[wrest]

Alek в сообщении #1598406 писал(а):

Возьмите числа побольше, чтобы счёт потом не был слишком очевидным, и сначала – вычислите результат.

Не-не-не, тут вычисляете вы, а я, если вы внятно всё изложите, могу поискать контрпример.
В формулах $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $a^3=a\cdot a^2$, если что, я не сомневаюсь

[Alek]

mihaild в сообщении #1598407 писал(а):

Alek в сообщении #1598403 писал(а):

$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...$x^2+ y^2 = z^2$...

Легко показать, что так не бывает: если $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$, то $x^2 + y^2 > z^2$, даже натуральность требовать не надо.

Не совсем понял, что значит – так не бывает?
Возьмите первую попавшуюся Пифагорову тройку, 3, 4, 5. Сделайте вариант выражения Ферма, с любой степенью, наример:
$3^3 + 4^3 = ??$.

Разложите на квадраты:
$3^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2 +4^2 + 4^2$

Группируйте, например так:
3^2 + 4^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2$3^2 + 4^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2$.

Получите: 5^2 + 5^2 + 5^2 + 4^2.
Теперь подсчитайте количество элементов – квадратов – их четыре штуки. Столько же было во втором слагаемом. Вывод: результат невозможен, поскольку справа*, должно быть бо'льшее число квадратов.

Цитата:

Alek в сообщении #1598403 писал(а):

$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$

Ну так тоже не бывает, потому что опять же $z^2 - x^2 - y^2 < 0$.
Что дальше-то?

У меня складывается впечатление, что Вы хотите сказать, что $z^2$ как-то "хорошо" выражается через $x$ и $y$. Если Вы действительно это хотите использовать, то надо сформулировать и доказать.

Впечатления неважны)) Важны факты. Итак: почему «так не бывает»?
Рассмотрим:

Возьмите не Пифагоровы числа для слагаемых, например 3, 7. Сделайте вариант выражения Ферма, с любой степенью, наример:
$3^3 + 7^3 = ??$.

Разложите на квадраты:
$3^2 + 3^2 + 3^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2$

Группируйте:
$3^2 + 2 \cdot\ 3 \cdot\ 7 + 7^2 + 3^2 + 2 \cdot\ 3 \cdot\ 7 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 3 + 21 = 10^2 + 10^2 + 7^2 + 7^2 + 7^2 + 23$

Теперь подсчитайте количество элементов – квадратов и остатка – их шесть штук. Во втором слагаемом, быдо семь. Даже если остаток где-нибудь станет квадратом чего-нибудь, то элементов слева всё равно не хватает Вывод: результат невозможен, поскольку справа*, должно быть бо'льшее число квадратов.

-- 21.06.2023, 22:00 --

wrest в сообщении #1598416 писал(а):

Alek в сообщении #1598406 писал(а):

Возьмите числа побольше, чтобы счёт потом не был слишком очевидным, и сначала – вычислите результат.

Не-не-не, тут вычисляете вы, а я, если вы внятно всё изложите, могу поискать контрпример.
В формулах $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $a^3=a\cdot a^2$, если что, я не сомневаюсь

По пунктам, если? Согласен.
В формулах $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $a^3=a\cdot a^2$, если что, я тоже не сомневаюсь

Итак:
--согласны ли, что любое натуральное число, с натуральным покзателем, раскладывается на сумму одинаковых квадратов?
-- что основания слагаемых в левой части*, одно меньше другого?
-- и это значит, что квадратов* там меньше, чем в большем слагаемом, ведь показатель одинаковый?
-- а тогда – при суммировании попарно квадратов из разных слагаемых, (если квадраты – Пифагоровы числа), количество всех квадратов в левой части, – окажется точно равным числу квадратов, кои были во втором слагаемом?

-- но исходя из условий теоремы и выражения в ней – число квадратов справа*, обязано быть заведомо большим, нежели число квадратов в наибольшем слагаемом? (если вдруг предполагать наличие равенства)?
-- и раз в число квадратов слева – не превышает количество квадатов в наибольшем слагаемом (уже сразу после первой итерации!), то тем самым – равенство невозможно, по этой причине?

[mihaild]

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Не совсем понял, что значит – так не бывает?

Это значит ровно то, что написано.

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Возьмите первую попавшуюся Пифагорову тройку, 3, 4, 5. Сделайте вариант выражения Ферма, с любой степенью, наример:
$3^3 + 4^3 = ??$.

$3^3 + 4^3 \neq 5^3$.
Вы фразы вида "если что-то, то что-то" читать умеете?

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Итак: почему «так не бывает»?

Да без всяких "пифагоровых чисел" (что это вообще такое?). Если $0 < x < y < z$ и $x^3 + y^3 = z^3$, то $x^p + y^p > z^p$ при $p < 3$ и $x^p + y^p < z^p$ при $p > 3$. Это элементарно следует из того, что $\alpha^p$ при $\alpha < 1$ монотонно убывает по $p$.

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Даже если остаток где-нибудь станет квадратом чего-нибудь, то элементов слева всё равно не хватает

Ну и что? Вполне может быть, что одно и то же число представимо суммой двух разных количеств слагаемых.

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Итак:

Ну вот опять пошли слова. Если писать буквы, то понимать фразы вида

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

одно меньше другого

станет гораздо проще.

[wrest]

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

--согласны ли, что любое натуральное число, с натуральным покзателем, раскладывается на сумму одинаковых квадратов?

Да, поскольку $x^3=x \cdot x^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- что основания слагаемых в левой части*, одно меньше другого?

При условии что в уравнении $x^3+y^3=z^3$ мы имеем $x \ne y$ и "раскладываем" как написано выше, по формуле $x^3=\sum \limits _{i=1}^{x}x^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- и это значит, что квадратов* там меньше, чем в большем слагаемом, ведь показатель одинаковый?

Да, при условии, что $x \ne y$ и "раскладываем" как написано выше, по формуле $x^3=\sum \limits _{i=1}^{x}x^2$ и соответственно $y^3=\sum \limits _{i=1}^{y}y^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- а тогда – при суммировании попарно квадратов из разных слагаемых, (если квадраты – Пифагоровы числа), количество всех квадратов в левой части, – окажется точно равным числу квадратов, кои были во втором слагаемом?

Этого я не понимаю. Но допусим, например, что нам попалась пифагорова тройка $20, 21, 29$ и $20^3+21^3=20\cdot 29^2 + 21^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- но исходя из условий теоремы и выражения в ней – число квадратов справа*, обязано быть заведомо большим, нежели число квадратов в наибольшем слагаемом? (если вдруг предполагать наличие равенства)?

А... ну вот тут видимо и проблема у вас. Смотрите: $25^3<20^3+21^3<26^3$. Понятно, что если $x^3+y^3=z^3$, то $x<z$ и $y<z$, но и только. В примере выше "слившиеся" квадраты, это двадцать штук $29^2$, а справа число между$ 25$ и $26$ - что заметно меньше чем $29$.

[Alek]

Цитата:

mihaild в сообщении #1598427 писал(а):

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Не совсем понял, что значит – так не бывает?

Это значит ровно то, что написано.

Я привёл этому* аргументы. Вы – нет))

Цитата:

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Возьмите первую попавшуюся Пифагорову тройку, 3, 4, 5. Сделайте вариант выражения Ферма, с любой степенью, наример:
$3^3 + 4^3 = ??$.

$3^3 + 4^3 \neq 5^3$.
Вы фразы вида "если что-то, то что-то" читать умеете?

Умею)) Теперь покажите явно, где я приравнял кубы тройки и четырёх – к кубу пяти?)) Перебор))

Цитата:

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Итак: почему «так не бывает»?

Да без всяких "пифагоровых чисел" (что это вообще такое?). Если $0 < x < y < z$ и $x^3 + y^3 = z^3$, то $x^p + y^p > z^p$ при $p < 3$ и $x^p + y^p < z^p$ при $p > 3$. Это элементарно следует из того, что $\alpha^p$ при $\alpha < 1$ монотонно убывает по $p$.

Тезис никак не отосится к алгоритму сумм квадратов в статье.

Цитата:

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Даже если остаток где-нибудь станет квадратом чего-нибудь, то элементов слева всё равно не хватает

Ну и что? Вполне может быть, что одно и то же число представимо суммой двух разных количеств слагаемых.

Вполне может. Что никак не отменяет факт заведомо большего числа квадратов справа (при допущении равенства), нежели чем число квадратов, в наибольшем слагаемом. Но этого не происходит))

Цитата:

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Итак:

Ну вот опять пошли слова. Если писать буквы, то понимать фразы вида

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

одно меньше другого

станет гораздо проще.

Уверен, что в тезисе «основание одного слагаемого меньше другого», можно и проще. Но незачем, ведь и так элементарно))

-- 21.06.2023, 22:49 --

Цитата:

wrest в сообщении #1598428 писал(а):

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

--согласны ли, что любое натуральное число, с натуральным покзателем, раскладывается на сумму одинаковых квадратов?

Да, поскольку $x^3=x \cdot x^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- что основания слагаемых в левой части*, одно меньше другого?

При условии что в уравнении $x^3+y^3=z^3$ мы имеем $x \ne y$ и "раскладываем" как написано выше, по формуле $x^3=\sum \limits _{i=1}^{x}x^2$

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- и это значит, что квадратов* там меньше, чем в большем слагаемом, ведь показатель одинаковый?

Да, при условии, что $x \ne y$ и "раскладываем" как написано выше, по формуле $x^3=\sum \limits _{i=1}^{x}x^2$ и соответственно $y^3=\sum \limits _{i=1}^{y}y^2$

Мы рассматриваем ВТФ. Зачем упор на «условия»? Из теоремы совершенно однозначно следует: основания р а з н ы е.
Априори – одно меньше другого, и строго меньше квадратов поэтому.

Цитата:

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- а тогда – при суммировании попарно квадратов из разных слагаемых, (если квадраты – Пифагоровы числа), количество всех квадратов в левой части, – окажется точно равным числу квадратов, кои были во втором слагаемом?

Этого я не понимаю. Но допусим, например, что нам попалась пифагорова тройка $20, 21, 29$ и $20^3+21^3=20\cdot 29^2 + 21^2$

Нарисуйте три квадрата по три клеточки. Ниже – четыре по четыре. Суммируйте три верхних, с тремя (!) нижними.
Рисуйте ответ: ТРИ квадрата со стороной пять, и один – со стороной четыре. Всего квадратов в ответе – четыре.
Сверьте: во втором слагаемом, было тоже Четыре квадрата. Большее число квадратов, чем во втором слагаемом –––
н е в о з м о ж н о.

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

-- но исходя из условий теоремы и выражения в ней – число квадратов справа*, обязано быть заведомо большим, нежели число квадратов в наибольшем слагаемом? (если вдруг предполагать наличие равенства)?

А... ну вот тут видимо и проблема у вас. Смотрите: $25^3<20^3+21^3<26^3$. Понятно, что если $x^3+y^3=z^3$, то $x<z$ и $y<z$, но и только. В примере выше "слившиеся" квадраты, это двадцать штук $29^2$, а справа число между$ 25$ и $26$ - что заметно меньше чем $29$.[/quote][/quote]

Стало быть вы не согласны с тем, что если показатели одинаковы, а основания разные – то квадратов больше там, где больше основание? Или как?

[mihaild]

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Я привёл этому* аргументы. Вы – нет

mihaild в сообщении #1598427 писал(а):

Это элементарно следует из того, что $\alpha^p$ при $\alpha < 1$ монотонно убывает по $p$.

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Теперь покажите явно, где я приравнял кубы тройки и четырёх – к кубу пяти?

mihaild в сообщении #1598407 писал(а):

Легко показать, что так не бывает: если $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$, то $x^2 + y^2 > z^2$,

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Не совсем понял, что значит – так не бывает?
Возьмите первую попавшуюся Пифагорову тройку, 3, 4, 5

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Что никак не отменяет факт заведомо большего числа квадратов справа (при допущении равенства), нежели чем число квадратов, в наибольшем слагаемом.

Что это значит?

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Уверен, что в тезисе «основание одного слагаемого меньше другого», можно и проще. Но незачем, ведь и так элементарно

Нет, не элементарно и совершенно непонятно, кто на ком стоял.

[Ende]

Alek
Пожалуйста, цитируете только ту часть сообщения, на которую отвечаете. Чтобы процитировать часть сообщения, выделите ее мышкой и нажмите на кнопку "Вставка" под этим сообщением (именно под этим, не под другим).

[Alek]

[/quote]

mihaild в сообщении #1598430 писал(а):

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Я привёл этому* аргументы. Вы – нет

mihaild в сообщении #1598427 писал(а):

Это элементарно следует из того, что $\alpha^p$ при $\alpha < 1$ монотонно убывает по $p$.

Аргумент не применим к алгоритму сумм квадратов и квадратам суммы в статье. Элементарно: чем больше основание, при однаковых покзателях, тем больше квадратов. При сложении квадратов двүх слагаемых, максимальное число квадратов, не превышает число квадратов наибольшего слагаемого до всех суммирований.

Цитата:

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Теперь покажите явно, где я приравнял кубы тройки и четырёх – к кубу пяти?

mihaild в сообщении #1598407 писал(а):

Легко показать, что так не бывает: если $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$, то $x^2 + y^2 > z^2$,

Alek в сообщении #1598426 писал(а):

Не совсем понял, что значит – так не бывает?
Возьмите первую попавшуюся Пифагорову тройку, 3, 4, 5

И? Где я приравнял сумму кубов три и четыре, к кубу пяти? Покажите явно. Там знак вопроса псле равно... Два знака))
А тройки* указаны к тому, что это идеальный вариант, когда квадаты (!!!) слагаемых суммируются)) Вы ниже не читали, что ли?

Цитата:

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Что никак не отменяет факт заведомо большего числа квадратов справа (при допущении равенства), нежели чем число квадратов, в наибольшем слагаемом.

Что это значит?

Это значит, что если число квадратов слева, не превышает число квадратов второго слагаемого до суммирования, то равенство выражения невозможно.

Цитата:

Alek в сообщении #1598429 писал(а):

Уверен, что в тезисе «основание одного слагаемого меньше другого», можно и проще. Но незачем, ведь и так элементарно

Нет, не элементарно и совершенно непонятно, кто на ком стоял.

Хорошо, ещё проще: если у вас два числа в одной и той же степени, то квадратов будет больше у того числа, которое больше))

[mihaild]

Alek в сообщении #1598432 писал(а):

квадратов будет больше у того числа

Что такое "число квадратов у числа"?

[Alek]

Цитата:

Что такое "число квадратов у числа"?

Пример:

$3^3 = 3^2 \cdot\ 3 = 3^2 + 3^2 + 3^2$$ три квадрата со стороной три каждый;
$4^3 = 4^2 \cdot\ 4 = 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 $$ четыре квадрата со стороной четыре;
$5^3 = 5^2 \cdot\ 5 = 5^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 $ пять квадратов со стороной пять.

Как видно из примера, число квадратов при разложении, всегда больше у той степени, где больше основание.
Разумеется, правило применимо тогда, когда одинаковые показатели. Например, как ВТФ.