Степень суммы

[mihaild]

Alek в сообщении #1598434 писал(а):

mihaild в сообщении #1598433 писал(а):

Что такое "число квадратов у числа"?

Пример:

А можно не пример, а определение? По которому я смогу посчитать, сколько квадратов у чисел $1, 2, 3, 27, 42$ и $666$.

[Alek]

mihaild в сообщении #1598437 писал(а):

А можно не пример, а определение? По которому я смогу посчитать, сколько квадратов у чисел $1, 2, 3, 27, 42$ и $666$.

Определение?))
Пожалуй можно. Итак:

При разложении натурального числа в натуральной степени на сумму одинаковых квадратов, где основание каждого квадрата равно основанию оперируемого числа – количество таҡих квадратов, тем больше, чем больше основание степени.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598438 писал(а):

основание каждого квадрата равно основанию оперируемого числа

Что такое "основание числа"? Какие основания у чисел $1,2,3,27,42,666$?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598440 писал(а):

Что такое "основание числа"? Какие основания у чисел $1,2,3,27,42,666$?

Основание степени, если желаете точнее. Число, оно и в степени число))

[mihaild]

Alek в сообщении #1598442 писал(а):

Основание степени, если желаете точнее

Желаю.
Т.е. определение такое: "Пусть $n$ - куб целого числа, тогда числом квадратов у $n$ называется $\sqrt[3]{n}$", так что ли?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598444 писал(а):

Желаю.
Т.е. определение такое: "Пусть $n$ - куб целого числа, тогда числом квадратов у $x$ называется $\sqrt[3]{x}$", так что ли?

Не так.
Число квадратов (согласно определению*) для $x^n$ , будет $x^{n-2}$

[mihaild]

Давайте ограничимся случаем $n = 3$. Для него то что Вы написали совпадает с тем что у меня (после исправления опечатки).
Возвращаемся к предыдущему:

Alek в сообщении #1598432 писал(а):

Это значит, что если число квадратов слева, не превышает число квадратов второго слагаемого до суммирования, то равенство выражения невозможно.

Вооружившись новым определением, получаем что как слева, так и справа (в равенстве $x^3 + y^3 = z^3$) ровно $z$ квадратов.
Что понимается под "вторым слагаемым" - не очень понятно, именно поэтому надо писать буквы. Если понимается $y^3$ - то очевидно что число квадратов слева, равное $z$, превышает число квадратов второго слагаемого, равное $y$. Соответственно импликация тривиально истинна (т.к. посылка ложна).
Или "число квадратов до суммирования" это что-то отличное от просто "числа квадратов"?

Alek в сообщении #1598432 писал(а):

то равенство выражения невозможно

Равенство какого выражения чему?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598450 писал(а):

Вооружившись новым определением, получаем что как слева, так и справа (в равенстве $x^3 + y^3 = z^3$) ровно $z$ квадратов.
Что понимается под "вторым слагаемым" - не очень понятно, именно поэтому надо писать буквы. Если понимается $y^3$ - то очевидно что число квадратов слева, равное $z$, превышает число квадратов второго слагаемого, равное $y$. Соответственно импликация тривиально истинна (т.к. посылка ложна).

Небольшой конфликт интерпретаций.
Слева – после первой итерации суммирования квадратов меньшего и большего слагаемых, их количество, никогда не превышает то число квадратов, кое было до суммирования – во втором слагаемом.
Для чёткости, обозначим это число квадратов символом N (несущественно, каким именно).

В русле обсуждения, а так же согласно упомянутому определению* – количество квадратов в правой части, [обозначим символом М, несущественно...], заведомо больше, чем же число N.

Под «вторым слагаемым», следует понимать большее слагаемое так, как это было явно определено в статье.

Цитата:

Или "число квадратов до суммирования" это что-то отличное от просто "числа квадратов"?

Да. Применительно к обсуждаемой теме, «просто число квадратов», это слишком уж обобщённый тезис, нежели чем например "число квадратов до суммирования", и иные, из рассматриваемого материала))

mihaild в сообщении #1598450 писал(а):

то равенство выражения невозможно

mihaild в сообщении #1598450 писал(а):

Равенство какого выражения чему?

Выражение: имеется в виду, выражение из ВТФ.
Равенство в этом выражении невоможно. Левая часть не равна правой.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598453 писал(а):

Слева – после первой итерации суммирования квадратов меньшего и большего слагаемых, их количество, никогда не превышает то число квадратов, кое было до суммирования – во втором слагаемом.

Что за итерации?
Почему вообще среди чисел $ax^2 + by^2$ (просуммировали несколько слагаемых $x^2$ и $y^2$) должен найтись хоть один квадрат, кроме как при $a = x$, $b = y$?

(а еще что значат звездочки над случайными словами?)

[Alek]

mihaild в сообщении #1598456 писал(а):

Что за итерации?
Почему вообще среди чисел $ax^2 + by^2$ (просуммировали несколько слагаемых $x^2$ и $y^2$) должен найтись хоть один квадрат, кроме как при $a = x$, $b = y$?
(а еще что значат звездочки над случайными словами?)

[звёздочки, для акцентирования вимания оппонента. Вижу, что сработало))]

Давайте уточним:

-- сначала, оба слагаемых, были разложены на квадраты.
-- затем, получившиеся квадраты, были суммированы так, как это определено в статье, и комментариях ниже.
-- при этом было показано, что в самом идеальном варианте, ҡоличество квадратов в левой части выражения, не может быть больше количества квадратов в правой части выражения.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598459 писал(а):

затем, получившиеся квадраты, были суммированы так, как это определено в статье

Не видел определения. Напишите точно, как именно группируете. А не "ну так не получилось, значит никак не получилось".

[Alek]

mihaild в сообщении #1598460 писал(а):

Не видел определения. Напишите точно, как именно группируете. А не "ну так не получилось, значит никак не получилось".

О каком определении речь? Уточните.

Как именно я группирую, Вы уже интересовались: mihaild в сообщении #1598398 писал(а):....
А я Вам, незамедлительно оветил,
В свою очередь, Вы по пунктам этот овет у меня затем уточняли.
Теперь Вы требуете ещё раз группировку... Ладно))

Группировка №1, когда все квадраты икс, суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Так как квадратов игрек было больше, то их сколько-то останется. А общее число квадратов слева, станет равно числу квардатов (зет и игрек) – числу квадратов игрек, которые были изначально. До всех суммирований.

Группировка №2, когда все квадраты икс, тоже суммируются с квадратами игрек Попарно.
[Это НЕ идеальный случай, когда квадраты икс и игрек – НЕ подходящие друг другу Пифагоровы числа тройки]
$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...

При этом, все квадраты икс, тоже «исчезают» из левой части, будучи слитыми с таким же числом квадратов игрек. Незадействованных квадратов игрек останеся ещё меньше, чем в певой группировке, если вообще хватит. А общее число квадратов слева, так же будет не больше, чем в первой группировке, ведь они дополнительно потрачены на элементы $2 \cdot\ x \cdot\ y$.

Группировки, где квадраты вначале попарно складываются внутри каждого слагаемого:
$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...
То есть, на каждый новый квадрат, затрачено четыре штуки прежних. Итог: число квадратов в обоих слагаемых, уменьшилось минимум в четыре раза.
Далее, можно применять группировку №1 или №2, с теми же результатами в них.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598463 писал(а):

О каком определении речь? Уточните

О том, о котором Вы говорите в

Alek в сообщении #1598459 писал(а):

были суммированы так, как это определено в статье

(жирный шрифт мой - mihaild)

Alek в сообщении #1598463 писал(а):

Теперь Вы требуете ещё раз группировку

Тут я поторопился. Напишите, пожалуйста, что Вы понимаете под "группировкой".

[Alek]

mihaild в сообщении #1598464 писал(а):

О том, о котором Вы говорите в >>> были суммированы так, как это определено в статье

И впрямь: действительно в статье это определено, в смысле этого слова.
Значит ли это, что я указал какое-то особое, отдельное определение? Нет))
Там, в статье, определено в тестовой форме, как имено суммируются квадраты.
И, как уже упоминал – дополнительно и подробно это разъяснено в комментариях ниже.
Замечу: эти разъяснения, были ответами на ваши уточняющие вопросы))

mihaild в сообщении #1598464 писал(а):

Тут я поторопился. Напишите, пожалуйста, что Вы понимаете под "группировкой".

Тезисы «группировка», «как вы группируете..» – не мои, Ваши. Взгляните сами, там же: mihaild в сообщении #1598398 писал(а):....
Я лишь поддержал Ваши тезисы, и стал отвечать с их использованием.

[mihaild]

Я под "группировкой" понимал следующее: группировкой набора чисел (например слагаемых в левой части) $a_1, \ldots, a_k$ называется разбиение множества $1, \ldots, k$ на непересекающиеся подмножества, записываемое с помощью группировки этих слагаемых в скобки.
Но вот $2xy$ под это определение не подходит. Поэтому Вы, видимо, под группировкой понимаете что-то другое.

Но не хотите говорить о группировке - не надо. Тогда дайте определение термину

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

варианты подсчёта