Степень суммы

[Alek]

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

Предлагаю пока зафиксировать $n = 3$, чтобы освободить букву и сделать всё чуть более явным, согласны?

Согласен.

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

Это один из стандартных демонстрации некорректности доказательств: берем исходное утверждение, немного меняем его так, чтобы получилось заведомо неверное, и смотрим, где доказательство разваливается. Если нельзя явно указать переход, который становится неверным - то исходное доказательство некорректно. Этот метод неконструктивен (не позволяет явно указать на ошибку), но позволяет показать, что ошибка есть.

Применение данного алгоритма от одного выражения, заведомо не имеющего равенства никогда, к другому выражению, заведомо имеющее равенств множество, да ещё и с добавленной степенью и др., – с целью демонстрации оппоненту сходного с первым результата (неравенства) – вы считаете математически корректным?
Я – категорически нет, это откровенная профанация))

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

И не последует. Потому что это с Вашей стороны была относительно несущественная оплошность. Если отвлекаться на всё такие моменты, то мы никогда никуда не уедем. А у меня всё еще есть слабая надежда продемонстрировать Вам, что Ваши рассуждения невозможно нормально сформулировать.

Хороша оплошность)) Я ввёл в выражение тройку и четвёрку в кубах, не равняя сумму с пятью в кубе, для описания действия алгоритма в случае с Пифагоровыми числами, Вы не разобрались и «рявкнули», а оплошность значит моя? Мило))

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

Для каких объектов Вы определяется понятие "количество квадратов"?
Потому что пока у Вас ничего хотя бы самосогласованного не прослеживается. То Вы говорите о "числе квадратов в $x^n$" (рассматривая это как число или как многочлен, или как что?), то - в уравнении $x^n + y^n = z^n$, то там еще какие-то варианты подсчёта возникают, и в них тоже считается "количество квадратов".

Вы же читали статью, ведь так? И тем не менее, Вам неясно, где там количество квадратов))
Давайте по пунктам, если будут ещё вопросы, то хоть разобьём их потом помельче:

1. каждое слагаемое, в выражении из ВТФ, разлагается на сумму квадратов.
2. Количество этих квадратов, на которые разложены слагаемые, у этих слагаемых разное.
3. Количество квадратов того слагаемого, где было меньше основание степени – меньше, чем количество квадратов того слагаемого, где основание степени было больше.

Пока хватит.

-- 22.06.2023, 23:00 --

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

Представьте, что wrest доказывает не ВТФ, а "великую теорему wrest": "уравнение wrest - $x^3 + y^3 + z^3 = p^3$ - не имеет решений в натуральных числах". Доказательство следующее: берет Ваше рассуждение, и заменяет там везде "Ферма" на "wrest", "два слагаемых в левой части" на "три слагаемых в левой части" и аналогично. Где в получившемся доказательстве ошибка?

Вот в этом:

Цитата:

...берет Ваше рассуждение...

Как сами думаете, станет ли другим резүльтат, если мы добавим к выражению ещё один куб?)) И применим к выражению алгоритм «с квадратами» от прежнего выражения, где добавки не было?))

Вот возьмёт wrest например – Пифагорову тройку с её алгоритмом, и ка-ак станет добавлять к ней разные квадраты, применяя алгоритм исключтельно и только дя троек!..
Даже если ему попадётся удачный квадратик, подходящий для Пифагоровой четвёрки, то используя лишь "троешный" алгоритм, получить в сумме квадрат, ему никогда не удастся))
Полагаю, аналогия ясна?

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598557 писал(а):

Вы где, и с чего взяли, что якобы «величина квадратов слева, может быть больше величины квадатов... справа?)))»

Посчитал.
Взял, для примера:
$9^3+12^3=13^3$
$9\cdot9^2+12\cdot12^2=13\cdot13^2$
$9(9^2+12^2)+3\cdot12^2=13\cdot13^2$
$9\cdot15^2+3\cdot12^2=13\cdot13^2$
И, хотя слева 12 квадратов, а справа 13 квадратов,
квадраты слева имеют сторону равную 15, а справа,
только 13.
Большинство левых квадратов по размеру больше, чем квадраты в правой части, а с ними и вся левая часть в данном конкретном примере оказалась больше правой.

[wrest]

Alek в сообщении #1598591 писал(а):

Применение данного алгоритма от одного выражения, заведомо не имеющего равенства никогда

Погодите, но разве вы не хотели это доказывать? Вы же писали:

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

Для доказательства ВТФ, предлагаю пользоваться правилами суммы квадратов, и квадрата суммы.

Соответственно, вывод о "никогда" должен появиться только как результат ваших рассуждений, а не априорно, верно?

[Alek]

wrest в сообщении #1598588 писал(а):

Так, а в чем ошибка-то? Конкретно? На квадраты всё "раскладывается" как и раньше, все рассуждения сохраняются... Или не все? Если не все, то там и ошибка, наверное?

Ошибку я указал))
Фактически, вы заставляете работать алгоритм, предназначенный для двух слагаемых, в выражении с тремя.
Вы полагаете, что результат от этого станет похожим?))

[wrest]

Alek в сообщении #1598594 писал(а):

Вы полагаете, что результат от этого станет похожим?))

Не просто похожим, а неотличимым.

Alek в сообщении #1598594 писал(а):

Ошибку я указал)

Нет, не указали. А хорошо бы, чтобы указали.

-- 22.06.2023, 16:06 --

Alek в сообщении #1598594 писал(а):

Фактически, вы заставляете работать алгоритм, предназначенный для двух слагаемых, в выражении с тремя.

Так я ж его адаптировал. Вот и найдите там ошибку.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598592 писал(а):

Посчитал.
Взял, для примера:
$9^3+12^3=13^3$
$9\cdot9^2+12\cdot12^2=13\cdot13^2$
$9(9^2+12^2)+3\cdot12^2=13\cdot13^2$
$9\cdot15^2+3\cdot12^2=13\cdot13^2$
И, хотя слева 12 квадратов, а справа 13 квадратов,
квадраты слева имеют сторону равную 15, а справа,
только 13.
Большинство левых квадратов по размеру больше, чем квадраты в правой части, а с ними и вся левая часть в данном конкретном примере оказалась больше правой.

Посчитали. У Вас в последней итерации сколько вышло? 2457 = 2197?

[tolstopuz]

Лукомор в сообщении #1598592 писал(а):

И, хотя слева 12 квадратов, а справа 13 квадратов,
квадраты слева имеют сторону равную 15, а справа,
только 13.

(Оффтоп)

Я вчера видел раков по пять рублей. Но больших, Но по пять рублей...
Правда, большие...
но по пять рублей...
но очень большие...
хотя и по пять...
но очень большие...
правда, и по пять рублей...
но зато большие...
хотя по пять, но большие...
а сегодня были по три,
но маленькие, но по три...
но маленькие...
зато по три...
хотя совсем маленькие...
поэтому по три...
хотя маленькие...
зато по три...
то есть по пять, но большие...
но по пять...
но очень большие.
А эти по три,
но маленькие,
но сегодня...
А те вчера по пять...
но большие... но вчера...
но очень большие,
но вчера,
и по пять,
а эти сегодня,
но по три,
но маленькие,
но по три. И сегодня.
А те были по пять,
но вчера,
но очень большие,
то есть, те были вчера по пять и очень большие,
а эти и маленькие, и сегодня, и по три.
Вот и выбирай,
по пять, очень большие, но вчера,
либо по три, маленькие, но сегодня, понял?
Не все, но понял, но не все? Но все-таки понял...
Хотя не все, но сообразил почти, да?
Хотя не все сообразил, но сообразил.
Хотя не все.
Ну пошли. Не знаю куда, но пошли. Хотя не знаю куда.
Но надо идти. Хотя некуда.
Уже три - надо бежать...
Но некуда... В том-то и все дело...

[Alek]

wrest в сообщении #1598593 писал(а):

Соответственно, вывод о "никогда" должен появиться только как результат ваших рассуждений, а не априорно, верно?

Вы пробовали применять алгоритмы, кои как правило включают в себя множество других правил – к выражениям, дя этого алгоритма не подходящими? В этом соль.
Попробуйте. Начите с азов. Примените алгоритм деления, с участием ноля, в качестве делителя.
Аналогия понятна?))

-- 22.06.2023, 23:23 --

wrest в сообщении #1598595 писал(а):

ак я ж его адаптировал. Вот и найдите там ошибку.

Адаптировал?)) Проверил? Работает? Нет.
Плохо адаптировал, ведь у задачи четырёх кубов – куча четвёрок))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598597 писал(а):

У Вас в последней итерации сколько вышло? 2457 = 2197?

Я не считал, мне это не нужно.
Уже после первой итерации стало ясно, что количество квадратов в левой части меньше количества квадратов в правой части, но квадраты в левой части крупнее, чем в правой, за исключением нескольких мелких. Разумеется приведенное мной исключительно для примера равенство - это НЕ
равенство, но оно наглядно демонстрирует, что сумма в левой части может быть как меньше, так и больше, чем сумма в правой части.
И не доказано пока Вами, что она может быть меньше, может быть больше, но не может быть в точности равна. Докажите это!

[mihaild]

Alek в сообщении #1598591 писал(а):

1. каждое слагаемое, в выражении из ВТФ, разлагается на сумму квадратов.

Вот это надо как-то более формально изложить, потому что дальше с этими количествами начинается путаница.
Я предложил вариант через мультимножества. Можно, если хотите, расписать через строчки (это я могу сделать сам, надо?). Можете предложить свой вариант.
Обычно в математических рассуждениях такие штуки подробно расписывать не нужно, но поскольку Вы далее с этими разложениями делаете что-то странное - в данном случае придется.

(Случай трех кубов слева)

Я считаю попытку объяснить этим методом еще более безнадежной, но на всякий случай...

Alek в сообщении #1598591 писал(а):

Как сами думаете, станет ли другим резүльтат, если мы добавим к выражению ещё один куб?

Я ничего не думаю, я спрашиваю, где именно алгоритм развалится.

Alek в сообщении #1598594 писал(а):

Фактически, вы заставляете работать алгоритм, предназначенный для двух слагаемых, в выражении с тремя.

А где используется то, что он "для двух слагаемых"? Можете указать ошибку в алгоритме mihaild-wrest (давайте я себя уж в соавторы допишу), который отличается от Вашего тем, что на входе не проверяет, два слагаемых или три?

Alek в сообщении #1598599 писал(а):

Примените алгоритм деления, с участием ноля, в качестве делителя

Алгоритмов деления много:) Если брать деление в столбик (в том виде, в котором я его помню, что может отличаться от принятого в школе), то там берется число $a$, являющееся кратчайшим префиксом делимого, не меньшего делителя (это сделать для нуля можно). Если $d \neq 0$, то можно показать, что существует единственное натуральное $k$ от $1$ до $9$ такое что $k\cdot d \leq a$ но $(k + 1) \cdot d > a$, и это $k$ будет очередной цифрой частного. Если же $d = 0$, то такого $k$ не существует - именно в этом месте алгоритм разваливается.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598603 писал(а):

Я не считал, мне это не нужно.
Уже после первой итерации стало ясно, что количество квадратов в левой части меньше количества квадратов в правой части, но квадраты в левой части крупнее, чем в правой, за исключением нескольких мелких. Разумеется приведенное мной исключительно для примера равенство - это НЕ
равенство, но оно наглядно демонстрирует, что сумма в левой части может быть как меньше, так и больше, чем сумма в правой части.
И не доказано пока Вами, что она может быть меньше, может быть больше, но не может быть в точности равна. Докажите это!

Ну и зря не считали, результат слева, не бьётся с результатом справа.
В первичном выражении, $9^3 + 12^3 = 13^3$, то же самое.
Вы зря сразу всё приравняли, ВТФ не так работает.
$9^3 + 12^3 = ??$
$9 \cdot\ 9^2 + 12 \cdot\ 12^2$

Теперь, согласно алгоритму в статье, суммируйте квадраты слагаемых. В конкретном случае, учитывая наличие Пифагоровых чисел, удобней и быстрее воспользоваться первым способом, сложением квадратов из разных слагаемых попарно. Получим:
-- девять квадратов со стороной 13, и остаток – три квадрата со стороной 12.

Следующий шаг: считаем количество квадратов слева: их стало ровно двенадцать штук.
Вывод:
Поскольку число квадратов справа в выражении ВТФ, в случае предполагаемого равенства сторон – неизбежно должно быть больше, чем в наибольшем слагаемом до суммирования, это значит – равенсто невозможно.

Что касается величины квадратов: в соответствии с предложенным на старте алгоритмом, величины квадратов слева, априори не могут превышать велчин квадратов справа (случай равенства).

Причина: поскольку $z>y>x$, то основание зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, так и бо'льшие величины квадратов.

-- 23.06.2023, 00:06 --

mihaild в сообщении #1598607 писал(а):

Вот это надо как-то более формально изложить, потому что дальше с этими количествами начинается путаница.
Я предложил вариант через мультимножества. Можно, если хотите, расписать через строчки (это я могу сделать сам, надо?). Можете предложить свой вариант.
Обычно в математических рассуждениях такие штуки подробно расписывать не нужно, но поскольку Вы далее с этими разложениями делаете что-то странное - в данном случае придется.

Пробуем:

$$x^n = x^2 + x^2 + ... + x^2$$

$x^{n-2}$ штук суммируемых квадратов. Сиречь – количество квадратов первого слагаемого.

$$y^n = y^2 + y^2 + y^2 + y^2 ... + y^2$$

$y^{n-2}$ штук суммируемых квадратов. Количество квадратов второго слагаемого.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

-- девять квадратов со стороной 13

Со стороной 15, если более точно.
$9^2+12^2=15^2$

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598619 писал(а):

Со стороной 15, если более точно.
$9^2+12^2=15^2$

Вы правы, зарапортовался))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

Что касается величины квадратов: в соответствии с предложенным на старте алгоритмом, величины квадратов слева, априори не могут превышать велчин квадратов справа (случай равенства).

Мне очень жаль...
но в моем примере, после первой итерации слева появляется девять квадратов со стороной 15, а в правой части все еще 13 квадратов со стороной 13.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598610 писал(а):

Пробуем:

Это не более формально. Вам нужно сказать, что такое это "разложение".
ВТФ говорит о натуральных числах. Чтобы перейти от них к "разложениям", нужно сказать, что это такое. Как правило это формализуется как раз через (иногда упорядоченные) (мульти)множества: разложением числа на слагаемые называется мультимножество, сумма элементов которого равна этому числу.
(точнее как правило это вообще в явном виде не формализуется, потому что итак всё понятно, но в данном случае непонятно; а если непонятно, то надо формализовать)