Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Семен]

TOTAL писал(а):

1) Что понимаете под "возможным рациональным корнем"?
2) Для чего именно при рассмотрении n=3 Вам понадобилось рассматривать n=2?
(Для случая n=2 уже всё известно, зачем его рассматривать?)

Всё это нужно для док-ва. Что понимается под возможным рациональным корнем? Эти вопросы сами собой отпадут при продолжении док-ва. Через три поста, если каждый пост будет по 20 строк. Всё. Опаздываю на работу.

[Алексей К.]

Семен писал(а):

Дано: $Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
при натуральном $ n=3 $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y \}$ (2) . Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ), в котором уравнение
$Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ имеет решение для одновременно
натуральных чисел $ X, Y, Z_2 $.
В. Бессистемное Множество (БСМ), в котором уравнение
$Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $
не имеет решения для одновременно натуральных чисел
$ X, Y, Z_2 $. Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем последовательность:
1. $ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2a)
Вводим числовую последовательность $ X, Y, m_2=(Z_2-X) $.
Отсюда: $ Z_2=(m_2+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m_2+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m_2^2+2*X*m_2-Y^2=0 $ (5a)
Для определения рационального корня этого уравнения составляем таблицу
возможных рациональных корней:
$Y^2/Y^2=1, Y^2 /1=Y^2, Y^2/Y=Y, $
$Y^2/Y*k_2=Y/k_2, Y^2/ (Y^2*k_2)=1/k_2 $.
Из этой таблицы выбираем в общем виде рациональный корень
уравнения (5a). Это: $ m_2=Y/k_2 $.

А должен был написать:

Теорема: Уравнение

$$Z_3=\sqrt[3]{X^3+Y^3}\qquad \eqno{(1)}$$

не имеет решений в натуральных числах $ X, Y, Z_3 $,

§1. Рассмотрим множество
$ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y \}$ (2) .
Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ), в котором $Z_2 =\sqrt[]{X^2+Y^2}$ натуральное число.
В. Бессистемное Множество (БСМ), в котором $Z_2$ иррационально.

Для каждого элемента $ (X, Y) \in\ M $ определяем ЧИСЛО (а не последовательность) $ m_2=Z_2-X $. Оно удовлетворяет уравнению

$$ m_2^2+2 X m_2-Y^2=0 \qquad\eqno{(5)}$$

Для определения рационального корня \Large${m_2}$ этого уравнения (или какая-то другая переменная является неизвестной в этом уравнении???) составляем таблицу возможных рациональных корней:

И это уж никому не понятно!
Почему мы не используем известную формулу для квадратного уравнения?
Таблица корней имела бы вид:

$$m_2=\mbox{вариант 1}$$

$$m_2=\mbox{вариант 2}$$

$$m_2=\mbox{вариант }\ldots$$

А 6 странных равенств типа $Y^2/Y^2=1$ никак не являются таблицей корней.
Непонятно, зачем они здесь. Вводить молча некое $k_2$, не объяснив, что это такое, недопустимо!

Отвечать на эти вопросы нет нужды. Надо переписать ЭТОТ МАЛЕНЬКИЙ КУСОК так, чтоб вопросы не возникали. И не забегать вперёд.

Добавлено спустя 16 минут 34 секунды:

Семен в сообщении #159827 писал(а):

Эти вопросы сами собой отпадут при продолжении док-ва.

Подобный способ написания доказательств неприемлем не только в математике. Либы Вы избавитесь от этого, либо никто не будет это читать.

(типа встрял на секундочку облегчить тяжкий труд shwedki & K. Надеюсь, вполне в жилу. Полноценно за дело не берусь)

[TOTAL]

Семен писал(а):

TOTAL писал(а):

1) Что понимаете под "возможным рациональным корнем"?
2) Для чего именно при рассмотрении n=3 Вам понадобилось рассматривать n=2?
(Для случая n=2 уже всё известно, зачем его рассматривать?)

Всё это нужно для док-ва. Что понимается под возможным рациональным корнем? Эти вопросы сами собой отпадут при продолжении док-ва. Через три поста, если каждый пост будет по 20 строк. Всё. Опаздываю на работу.

Нет, на потом откладывать не будем. Объясните сразу.
Случай n=2 не имеет никакого отношения к другим случаям.

[shwedka]

TOTAL в сообщении #159837 писал(а):

Случай n=2 не имеет никакого отношения к другим случаям.

Семен
использует некоторые формулы для уравнения Пифагора. Не следует ему мешать повторять верные формулы.

[yk2ru]

Семёну:
Может определение СM нужно записать так?
$\{(X, Y) | X, Y, \sqrt{X^2+Y^2} \in\ N, X>Y \}$
без дополнительных слов "уравнение имеет решение в натуральных числах"

[Семен]

TOTAL писал(а):

Нет, на потом откладывать не будем. Объясните сразу.

Пока отвечу так: Я составил в общем виде табл. возможных рац. корней для n=2 и для n=3 по обычному правилу подбора рац. корней для ур-ний. Из всех этих корней рациональными могут быть $ m_2=Y/k_2 $ и $ m_3=Y/k_3 $, которые и будем проверять на рациональность. Остальные из возможных корней не могут быть корнями ур-ний (5a) и (5b), т.к. и $ m_2 $, и $ m_3 $ меньше $ Y $. $ 1/k_2 $ и $ 1/k_3 $ никакого отношения к ур-ниям (5a) и (5b) не имеют.

TOTAL писал(а):

Случай n=2 не имеет никакого отношения к другим случаям.

К каким другим случаям? Элементы $ Z_2 $ как и $ Z_3 $ принадлежат к одному множеству.

yk2ru писал(а):

Семёну:
Может определение СM нужно записать так?
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ \in\ N, X>Y\} $
без дополнительных слов "уравнение имеет решение в натуральных числах"

Согласен.

[TOTAL]

Итак, Вы утверждаете, что уравнение $m^3+3Xm^2+3X^2m-Y^3=0$ не имеет решений в натуральных числах.
Почему? (Или Вы этого не утверждаете?)

[yk2ru]

TOTAL писал(а):

Итак, Вы утверждаете, что уравнение $m^3+3Xm^2+3X^2m-Y^3=0$ не имеет решений в натуральных числах.
Почему? (Или Вы этого не утверждаете?)

Следует наверное подождать, пока Семён с учётом замечаний представит заново вводную часть доказательства. Не будем торопить события.

[TOTAL]

yk2ru писал(а):

TOTAL писал(а):

Итак, Вы утверждаете, что уравнение $m^3+3Xm^2+3X^2m-Y^3=0$ не имеет решений в натуральных числах.
Почему? (Или Вы этого не утверждаете?)

Следует наверное подождать, пока Семён с учётом замечаний представит заново вводную часть доказательства. Не будем торопить события.

Я утверждаю, что никаких событий не было.
Автор перешёл к эквивалентному утверждению насчет уравнения $m^3+3Xm^2+3X^2m-Y^3=0$. И всё.

[Семен]

TOTAL писал(а):

Итак, Вы утверждаете, что уравнение
$ m^3+3*X*m^2$+3*X^2*m-Y^3=0$ не имеет решений в натуральных числах.
Почему? (Или Вы этого не утверждаете?)
Я утверждаю, что никаких событий не было.
Автор перешёл к эквивалентному утверждению насчет уравнения
$ m^3+3*X*m^2$+3*X^2*m-Y^3=0$. И всё.

Утверждаю! Мы договорились док-во вести постепенно. Настанет очередь и «Почему?» Индексы прошу не убирать.

yk2ru писал(а):

Следует наверное подождать, пока Семён с учётом замечаний представит заново вводную часть доказательства. Не будем торопить события.

Представлять заново вводную часть доказательства – нет смысла. Ваше замечание я включил.

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #159821 писал(а):
Из этой таблицы выбираем в общем виде рациональный корень
уравнения (5). Это: $ m_3=Y/k_3 $.

1. $ k_3 $ не определено.
2. корни $ m_3, m_2 $ можно называть рациональными только после того, как это доказано.
TOTAL
Пусть разбирает 2, это ему помогает

По п.1: Полагаю у Вас нет сомнений, что $0< m_2<Y $ и $ 0<m_3<Y $.
Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $. Соответственно:
$ m_2=Y/k_2 $, a $ m_3=Y/k_3 $.
По п.2: Естесственно. В этом и состоит задача. Кстати, относительно $ m_3 $,
предстоит доказать, что этот корень - иррациональный.
yk2ru, TOTALy, shwedk e:
В дополнение:
Полагаю у Вас нет сомнений, что $0< m_2<Y $ и $ 0<m_3<Y $.
Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $. Соответственно:
$ m_2=Y/k_2 $, a $ m_3=Y/k_3 $. Полагаю у Вас нет сомнений, что $ m_2 $ > $ m_3 $, a $ m_2*k_2 $= $ m_3*k_3 $= $ Y $. Являются ли $ m_2=Y/k_2 $ и $ m_3=Y/k_3 $ рациональными числами, предстоит определить.
Если Вам понятна раннее представленная часть док-ва и Вы согласны с ней, то я готов продолжить док-во.

[TOTAL]

Семен писал(а):

Если Вам понятна раннее представленная часть док-ва и Вы согласны с ней, то я готов продолжить док-во.

Ранее ничего не было доказано.
Вы перешли к эквивалентному уравнению $ m^3+3*X*m^2+3*X^2*m-Y^3=0$
Пока есть только одна эта строчка, что дальше?

[Семен]

TOTAL писал(а):

Семен писал(а):
Если Вам понятна раннее представленная часть док-ва и Вы согласны с ней, то я готов продолжить док-во.

TOTAL писал(а):

Ранее ничего не было доказано.
Вы перешли к эквивалентному уравнению $ m^3+3*X*m^2$+3*X^2*m-Y^3=0$. Пока есть только одна эта строчка, что дальше?

Это вступительная часть док-ва. Есть у Вас неясности по этой части, с чем Вы не согласны? Пока будут претензии и пока я не развею их, не продолжу док-ва. Для сведения: "Чтобы закончить пояснительную часть док-ва потребуется ещё несколько постов". Только после, когда не будет вопросов, представлю на суд доказательную часть. Надеюсь, что Вас не обидел мой ответ.

[TOTAL]

Семен писал(а):

TOTAL писал(а):

Семен писал(а):
Если Вам понятна раннее представленная часть док-ва и Вы согласны с ней, то я готов продолжить док-во.

TOTAL писал(а):

Ранее ничего не было доказано.
Вы перешли к эквивалентному уравнению $ m^3+3*X*m^2$+3*X^2*m-Y^3=0$. Пока есть только одна эта строчка, что дальше?

Это вступительная часть док-ва. Есть у Вас неясности по этой части, с чем Вы не согласны?

Мне не с чем соглашаться или не соглашаться, т.к. кроме перехода к $ m^3+3*X*m^2+3*X^2*m-Y^3=0$ ничего не было. Скажите, как Вы дальше намерены исследовать это уравнение на наличие натуральных решений.

[yk2ru]

Семен писал(а):

Полагаю у Вас нет сомнений, что $0< m_2<Y $ и $ 0<m_3<Y $.
Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $. Соответственно:
$ m_2=Y/k_2 $, a $ m_3=Y/k_3 $.

Но ничто не мешает и так ведь записать:
$ m_2=Y*k_2 $, a $ m_3=Y*k_3 $.
На $ k_n $ разве налагались какие условия?

Добавлено спустя 25 минут 35 секунд:

Семен писал(а):

Являются ли $ m_2=Y/k_2 $ и $ m_3=Y/k_3 $ рациональными числами, предстоит определить.

Уже заявлено, что корни уравнения рациональны. Полагаю, что нужно представить заново вводную часть, в которой будут определены $k_n$ и она не будет содержать недоказанных утверждений. Или поправьте то сообщение, которое потом будет продублировано в сообщении, продолжающем доказательство.

[AV_77]

Семен писал(а):

Полагаю у Вас нет сомнений, что $0< m_2<Y $ и $ 0<m_3<Y $.

В этом сомнений нет, а насчет

Семен писал(а):

Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $.

нужно бы пояснить. Из уравнения
$m_3^3 + 3m_3^2 X + 3 m_3 X^2 - Y^3 = 0$
следует, что $m_3 | Y^3$, но это не означает, что $m_3 | Y$. Например, для $m_3 = 4$, $Y = 6$.
Или у Вас $m_3$ не обязательно рациональное?