Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Но ничто не мешает и так ведь записать:
$ m_2=Y*k_2 $, a $ m_3=Y*k_2 $.

В сообщении так и было написано. Но только знак «/», а не «*»

yk2ru писал(а):

На $ k_n $ разве налагались какие условия?

.
Всообщении – нет. НО, на самом деле они есть, поэтому в первоначальное сообщение я внёс правку: «Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_3 $ должeн быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$ $».

yk2ru писал(а):

Уже заявлено, что корни уравнения рациональны. Полагаю, что нужно представить заново вводную часть, в которой будут определены $ k_n $ и она не будет содержать недоказанных утверждений. Или поправьте то сообщение, которое потом будет продублировано в сообщении, продолжающем доказательство.

Я уже добавил перед словом « рациональный», слово «возможный».

AV_77 писал(а):

Семен писал(а):


Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $.

нужно бы пояснить. Из уравнения
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$
следует, что $ m_3/Y^3 $, но это не означает, что $ m_3/Y $. Например, для $ m_3=4, Y=6 $

Извините, не понял, что Вы имеете в виду. Поясните.

AV_77 писал(а):

Или у Вас $ m_3 $ не обязательно рациональное?

Оно – иррациональное. Но это я обязан доказать.

TOTAL писал(а):

Мне не с чем соглашаться или не соглашаться, т.к. кроме перехода к $ m^3+3*X*m^2$+3*X^2*m-Y^3=0$ ничего не было. Скажите, как Вы дальше намерены исследовать это уравнение на наличие натуральных решений.

Не смею с Вами спорить. Я намерен доказать, что это ур-ние не имеет
Натурального корня $ m_3 $ Я не понимаю, почему Вы меня торопите?
Мы же договорились док-во представлять постепенно, после всех замечаний.

[AV_77]

Семен писал(а):

AV_77 писал(а):

Семен писал(а):


Т. е., каждое из них равно части числа $ Y $.

нужно бы пояснить. Из уравнения
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$
следует, что $ m_3/Y^3 $, но это не означает, что $ m_3/Y $. Например, для $ m_3=4, Y=6 $

Извините, не понял, что Вы имеете в виду. Поясните.

Рациональный корень уравнения $m_3^3 + 3m_3^2X + 3m_3X^2 - Y^3 = 0$ имеет вид $m_3 = \frac{Y^3}{k}$, а это не означает, что $m_3 = \frac{Y}{k}$. Например, для $Y = 6$ одним из возможных корней является $m_3 = 4$. Почему Вы сразу полагаете, что $m_3$ является "частью" $Y$, а не $Y^3$?

[Семен]

AV_77 писал(а):

Рациональный корень уравнения
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$
следует, что $ m_3/Y^3 $, но это не означает, что $ m_3/Y $. Например, для $ m_3=4, Y=6 $

По условию $Z_3= (m_3+X)=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
При n=1: $ (m_1+X)=$\sqrt[1]{X^1+Y^1}$ $.
В этом случае, $ m_1=Y $. А $ m_3 $< $ m_2 $< $ (m_1=Y $, а k<y.

[AV_77]

Семен писал(а):

AV_77 писал(а):

Рациональный корень уравнения
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$
следует, что $ m_3/Y^3 $, но это не означает, что $ m_3/Y $. Например, для $ m_3=4, Y=6 $

По условию $Z_3= (m_3+X)=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
При n=1: $ (m_1+X)=$\sqrt[1]{X^1+Y^1}$ $.
В этом случае, $ m_1=Y $. А $ m_3 $< $ m_2 $< $ (m_1=Y $, а k<y.

Ну и что? Беру $X = 1000$, $Y = 2431 = 11 \cdot 13 \cdot 17$. Получаю:
$m_1 = 2431$, $m_2 = \sqrt{X^2 + Y^2} - X \approx 1628$.
Что мешает взять $m_3 = 121 = 11^2$? или $m_3 = 1573 = 11^2 \cdot 13$? В обоих случаях $m_3 < m_2 < m_1$. И в обоих случаях $m_3$ не является делителем $Y$.

[yk2ru]

Семен писал(а):

yk2ru писал(а):

На $ k_n $ разве налагались какие условия?

.
Всообщении – нет. НО, на самом деле они есть, поэтому в первоначальное сообщение я внёс правку: «Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_3 $ должeн быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$ $».

yk2ru писал(а):

Уже заявлено, что корни уравнения рациональны. Полагаю, что нужно представить заново вводную часть, в которой будут определены $ k_n $ и она не будет содержать недоказанных утверждений. Или поправьте то сообщение, которое потом будет продублировано в сообщении, продолжающем доказательство.

Я уже добавил перед словом « рациональный», слово «возможный».

Не увидел изменений. По прежнему вижу: "Для определения рационального корня этого уравнения составляем таблицу ..."

[shwedka]

Семен
Может бытть так?
...............................................................

Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m_2^2+2*X*m_2-Y^2=0 $ (5a)

Если пара $(X,Y)$ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $m_2$, которое должно быть делителем числа $Y^2$. Запишем его в виде $m_2=\frac{Y}{k_2}$, где $k_2$- рациональное число..

Если пара $(X,Y)$ принадлежит бессистемному множеству,
то корень $m_2$ уравнения (5a) иррационален, и мы все равно запишем его в виде $m_2=\frac{Y}{k_2}$, но число $k_2$ уже иррационально.

Далее, мы рассмотрим уравнение

$Z_3 =\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ . Положим $m_3=Z_3-X$. после возведения в куб, получаем

$ m_3^3+3*X*m_3^2+3*X^2*m_3-Y^3=0$ (6)

Мы ищем рациональные корни уравнения (6)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)

Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $m_3$ должно быть делителем числа $Y^3$ . Если, действительно, такой целый корень $m_3$ существует, то обозначим $m_3=\frac{Y}{k_3}$, где $k_3$ некоторое рациональное число.
...........................................................................

Вот такая форма Вас устроит? Если, в принципе, да, то , пожалуйста, пришлите на форум новый, отредактированный текст, с САМОГО НАЧАЛА. Если нет то, все равно, учтите те замечания, с которыми согласны.

В дальнейшем, пожалуйста, избегайте использования новых понятий, которые не определяются немедленно. Например, перед тем, как впервые использовать слова "возможный рациональный корень", напишите

Определение. Для уравнения с целыми коэффициентами (5а) мы будем называть "возможным рациональным корнем" число ......
Если уравнение (5а) не является уравнением с целыми коэффициентами, то будем называть его "возможным рациональным корнем" число .....
Тогда всем будет понятно, что Вы имеете в виду и никто не станет придираться.

[Семен]

AV_77 писал(а):

AV_77 писал(а):

Ну и что? Беру X=1000,Y=2431 . Получаю:

Читайте внимательно. X должен быть больше Y.

[AV_77]

Семен писал(а):

AV_77 писал(а):

AV_77 писал(а):

Ну и что? Беру X=1000,Y=2431 . Получаю:

Читайте внимательно. X должен быть больше Y.

Ну возьмите $X = 3000$. Все равно $m_3 = 121 < m_2 \approx 861 < Y$. Разве только $k_3$ у Вас рациональный, как предположила shwedka.

[Семен]

shwedka писал(а):

Если пара (X, Y) принадлежит бессистемному множеству,
то корень $ m_2 $ уравнения (5a) иррационален, и мы все равно запишем его в виде $ m_2=Y/k_2 $, но число $ k_2 $ уже иррационально.

Если пара (X, Y) принадлежит бессистемному множеству, то корень $ m_2=Y/k_2=2 $, т.к. эта пара (X, Y) принадлежит и базовому ряду.
Не путать с парой $ (X_p_r, Y_p_r) $. Объяснение в следующем сообщении.

shwedka писал(а):

Если, действительно, такой целый корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=Y/k_3 $, где $ k_3 $ некоторое рациональное число.

Перед словом «некоторое» предлагаю добавить: предположительно, т.к. , на самом деле,
$ k_3 $ - иррациональное число, что я должен доказать.
Ожидаю ответ(особенно по слову «предположительно»), т. к. это связано с оформлением док-ва.
По форме изложения, предложенной Вами у меня нет и не может быть возражений.
СПАСИБО!

[shwedka]

Семен

Цитата:

Если пара (X, Y) принадлежит бессистемному множеству, то корень $ m_2=Y/k_2=2 $, т.к. эта пара (X, Y) принадлежит и базовому ряду.

плохо так. И непонятно. Понятие базового ряда не определено.

Цитата:

«некоторое» предлагаю добавить: предположительно,

мне представляется это слово излишним. Уже ведь стоит слово 'если', которое на предположительность указывает.

[Семен]

shwedka писал(а):

плохо так. И непонятно. Понятие базового ряда не определено. мне представляется это слово излишним. Уже ведь стоит слово 'если', которое на предположительность указывает.

Принимается.

yk2ru писал(а):

Не увидел изменений. По прежнему вижу: "Для определения рационального корня этого уравнения составляем таблицу ..."

Изменения будут продублированы в сообщении, продолжающем доказательство.

AV_77 писал(а):

Ну возьмите X=3000.. Все равно $ m_3=121<m_2=861<Y $. Разве только $ k_3 $у Вас рациональный…

Не проверял Ваши цифры. Так и должно быть: $ m_3<m_2<Y $.
$ m_3 $ и $ k_3 $ –иррациональны.

[TOTAL]

Семен писал(а):

Не проверял Ваши цифры. Так и должно быть: $ m_3<m_2<Y $.

При различных $n$ будут различными $Y$. Так что, Семен, начните "доказательство" сначала.

[shwedka]

TOTAL в сообщении #161141 писал(а):

При различных $n$ будут различными $Y$. Так что, Семен, начните "доказательство" сначала

Ошибаетесь!!! Пока что для 2 и для 3 они одни и те же. Когда станут различаться, тогда будем возражать.

[Семен]

TOTAL писал(а):

При различных n будут различными Y. Так что, Семен, начните "доказательство" сначала.

Y не зависит от n.

[Семен]

shwedka писал(а):

2. Пишите новый фрагмент только после того, как предыдущий согласован.

yk2ru писал(а):

Или поправьте то сообщение, которое потом будет продублировано в сообщении, продолжающем доказательство.

Направляю откорректированную 1-ую часть сообщения, для согласования. Вроде бы все замечания учёл. А может что-нибудь понял не так?

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
при натуральном $ n=3 $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ M=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, X>Y \}$ (2) . Разделим его на:
А. Системное Множество (СМ), в котором уравнение
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ \in\ N, X>Y\} $

В. Бессистемное Множество (БСМ), в котором уравнение
$Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $
не имеет решения для одновременно натуральных чисел
$ X, Y, Z_2 $. Для каждого элемента
$ (X, Y) \in\ M $ определяем последовательность:
1. $ Z (X, Y) =\{Z_2 (X,Y)\} $ , где
$Z_2(X,Y) = $\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2a)
Вводим числовую последовательность $ X, Y, m_2=(Z_2-X) $.
Отсюда: $ Z_2=(m_2+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m_2+X)=$\sqrt[2]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m_2^2+2*X*m_2-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $ m_2 $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ m_2=Y/k_2 $, где $ k_2 $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ m_2 $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ m_2=Y/k_2 $, но число $ k_2 $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(Z_3-X) $.. После возведения в куб, получаем:
$ m_3^3+3*X*m_3^2$+3*X^2*m_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой целый корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Если уравнение (5а) не является уравнением с целыми коэффициентами, то число $ m_2 $ будем называть «возможным рациональным корнем» этого уравнения.
Если уравнение (5b) не является уравнением с целыми коэффициентами, то число $ m_3 $ будем называть “возможным рациональным корнем” этого уравнения.
Примечания:
1. В СМ и в БСМ:
1.1 $ 0<m_2< Y $, $ 0<m_3< Y $.
1.2. Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_2 $ должeн быть:
$ k_2>1/($\sqrt[]{2}$ - 1)$.
1.3. Для выполнения условия $ X>Y $, $ k_3 $ должeн быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$.