Множества и объекты

[xagiwo]

(Да, это уже чуть-чуть оффтоп)

Sinoid в сообщении #1521349 писал(а):

У ТС нет для этого достаточной базы.

Даже если взять книги попроще? Мне кажется, "Топология без слёз" какие-то знания может дать (если делать упражнения, разумеется)

[tolstopuz]

xagiwo в сообщении #1521353 писал(а):

Мне кажется, "Топология без слёз" какие-то знания может дать (если делать упражнения, разумеется)

Там в самом начале ТАКОЕ...

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e,f\}$

Цитата:

$\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$

То есть с первых же страниц подразумевается, что читатель может понять то, на выяснение чего мы тут тратим девятую страницу. Причем скажу по секрету, понимать придется совсем не так, как мы объясняли :)

[xagiwo]

tolstopuz
О боже! Наверное, топология всё же слишком сложна, раз в ней есть ТАКОЕ

А вообще, там из контекста понятно, что имеются в виду разные $a, b, c, d, e, f$ (из какого конекста? так из вот этого же сообщения!)

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1521351 писал(а):

А так-то конечно, никто никого тут не принуждает.

Это хорошо, иначе у меня мог бы встать вопрос, имею ли я моральное право посылать свои сообщения.

Хотел бы сказать следующее.

а) я очень рад, что у меня есть (была?) возможность общаться с людьми такого высокого интеллекта, как вы, это то, что называется роскошью человеческого общения;

б) я очень благодарен за оказанную мне помощь;

в) тем не менее, я бы хотел, чтобы вы поняли, что я могу идти только своим путём, чужими путями идти у меня не получается, если мне помогут идти по этому -- моему собственному -- пути, буду благодарен.

В частности, я не могу идти дальше, пока не пойму, о чем речь. Зашла речь об именах, я попытался об'яснить, что такое имя:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521306 писал(а):

возник вопрос, может ли быть множество имен, соответственно, можно ли отобразить его в другое множество. Выяснилось, что множества имен быть не может, но может быть множество предметов (например, букв), которые при определенном условии (то есть при договоренности) могут стать именами, и это множество, разумеется, можно отображать в другие множества .

(Или здесь тоже что-то не так?)

Столкнулся с понятием переменного об'екта, попытался об'яснить, что это такое, но, как понимаю, неудачно выразил свою мысль.

Сейчас пытаюсь выразить ее лучше.

[beroal]

Хочу предложить объяснение, после которого я понял, почему $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$. Я буду использовать терминологию из программирования, тем более, что на неё здесь уже начали переходить:

xagiwo в сообщении #1521290 писал(а):

Но по умолчанию маленькие английские буквы это переменные (чтобы не путаться, можно заключать буквы в кавычки, когда имеешь в виду буквы, и не заключать, когда имеешь в виду переменные).

$a$, $b$, $A$, $B$, $\alpha$, $\beta$ — это переменные. Числа — это значения. Переменная может иметь значение. Чтобы сказать, какое значение имеет переменная, используют равенство: $c=3$ значит, что переменная $c$ имеет значение $3$.

А теперь о том, почему $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$. Фигурные скобки надо понимать как нотацию, точнее, как несколько нотаций с разными смыслами. Здесь понадобятся только две нотации.

Нотация «синглет»: $\{x\}$ обозначает множество, состоящее ровно из одного элемента, а именно, из значения переменной $x$.

Нотация «бинарное объединение множеств»: $A\cup B$ обозначает объединение множеств $A$ и $B$ (строго говоря, объединение значений переменных $A$ и $B$). Что такое объединение множеств, расписывать не буду.

Нотация «перечисление элементов множества» («roster»): $\{a, b, c\}$ обозначает $\{a\}\cup \{b\}\cup \{c\}$. Если внутри фигурных скобок другое количество элементов, смысл аналогичный.

Теперь должно быть понятно, что $\{1, 1, 2\} = (\{1\}\cup \{1\})\cup \{2\} = \{1\}\cup \{2\} = \{1, 2\}$.

[Nemiroff]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521168 писал(а):

$a, b= 0\vee a, b=1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

Что вы тогда тут голову всем морочите? 9 страниц бессмыслицы.

[Vladimir Pliassov]

beroal в сообщении #1521502 писал(а):

$\{x\}$ обозначает множество, состоящее ровно из одного элемента, а именно, из значения переменной $x$.

(Выделение жирным шрифтом мое.)

Спасибо, такой взгляд мне многое об'ясняет. Но хотелось бы заметить, что в фигурных скобках могут стоять не только переменные, но и постоянные.

Обозначения об'ектов бывают постоянные и переменные, и в записи множества в фигурных скобках могут стоять как переменные, так и постоянные обозначения об'ектов.

Постоянные обозначения об'ектов являются их индивидуальными обозначениями. Цифра $1$ обозначает наименьшее по величине натуральное число, и только его (во всяком случае в пределах настоящего сообщения), цифра $2$ обозначает следующее по величине натуральное число, и только его, и т. д..

В отношении идентификации это очень хорошие обозначения: когда мы видим запись $\{1\}$, нам ясно, что об'ектом, из которого состоит множество $\{1\}$, является число $1$. И также

beroal в сообщении #1521502 писал(а):

понятно, что $\{1, 1, 2\} = (\{1\}\cup \{1\})\cup \{2\} = \{1\}\cup \{2\} = \{1, 2\}$.

Но в отношении переменных дело обстоит несколько сложнее.

Переменное обозначение об'ектов является их общим (а не индивидуальным) обозначением.

(Пусть $x\in \mathbb N$. Здесь $x$ это обозначение каждого из натуральных чисел, это как бы фамилия всех братьев (или сестер), имена которых $1, 2, 3 \ldots\;.$. То есть каждое натуральное число имеет два обозначения -- постоянное и переменное.)

Поэтому, когда мы видим запись $\{x\}$, мы не можем сказать, из какого об'екта состоит множество $\{x\}$, ясно только, что это всего один об'ект.

А когда мы видим запись $X=\{a, b, c, d, e\}$, мы видим, что мощность множества $X$ может быть от $1$ до $5$, из каких же именно об'ектов оно может состоять прямо зависит от того, какие значения могут принимать переменные $a, b, c, d, e$.

Nemiroff в сообщении #1521559 писал(а):

Что вы тогда тут голову всем морочите? 9 страниц бессмыслицы.

Это для Вас это девять страниц бессмыслицы, потому что Вы все это знаете, но не для меня.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521587 писал(а):

Поэтому, когда мы видим запись $\{x\}$, мы не можем сказать, из какого об'екта состоит множество $\{x\}$, ясно только, что это всего один об'ект.

We need to go deeper.

Когда мы видим запись $x$, мы не можем сказать, каким объектом является $x$, ясно только, что это всего один объект.

Давайте сначала разберемся с этим вопросом, а потом вернемся ко множествам.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521590 писал(а):

Когда мы видим запись $x$, мы не можем сказать, каким объектом является $x$, ясно только, что это всего один объект.

Вообще это так, но, поскольку $\{x\}$ это одноэлементное множество, $x$ может принимать только одно значение. Так что относительно вариантности этого значения можно говорить лишь о его природе, но природа об'екта, если не ошибаюсь, в теории множеств не играет роли.

Поэтому об $x$ я могу сказать только, что это единственный элемент множества $\{x\}$.

[Sinoid]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521608 писал(а):

Вообще это так, но, поскольку $\{x\}$ это одноэлементное множество, $x$ может принимать только одно значение.

$x\in\mathbb{N}$. $x$ принимает одно значение?

[Vladimir Pliassov]

Нет, при $x\in\mathbb{N}$. $x$ принимает бесконечное число значений, но при $x\in \{x\}$ только одно.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521621 писал(а):

Нет, при $x\in\mathbb{N}$. $x$ принимает бесконечное число значений, но при $x\in \{x\}$ только одно.

Какое именно "одно"?

[Vladimir Pliassov]

Если единственный элемент множества $ \{x\}$ это об'ект $a$ и если в качестве элемента множества $ \{x\}$ он сохраняет это обозначение

(то есть если $a$ это постоянное обозначение этого элемента, в отличие от $x$, которое является его переменным обозначением

(несмотря на то, что этот элемент единственный, $x$ можно называть его переменным обозначением по аналогии с теми случаями, когда множество состоит более, чем из одного элемента)),

то $x$ может принимать только значение $a$.

[tolstopuz]

Вы опять занимаетесь бесплодными умствованиями и поэтому ходите по кругу. Лучше возьмите какой-нибудь отрывок математического текста и проанализируйте его, например, выясните, о каких объектах идет речь.

Могу для затравки дать парочку. Начну с простых вопросов, далее можно продолжить.

Цитата:

Пусть $f$ - функция из множества целых чисел $\mathbf{Z}$ в себя, заданная формулой $f(z)=|z|$ для любого $z\in\mathbf{Z}$.

Какова область определения функции $f$? Сколько в ней элементов? Приведите пример элемента этого множества.

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$

Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.

[Vladimir Pliassov]

У меня получается какая-то глупость:

если $a=b=c=d=e$, то об'единение любого семейства подмножеств $X$ равно $a$, и $\mathcal{T}_2$ является топологией на $X$.

А разве можно узнать, имеет место это равенство или нет?

Есть ли указание, что $\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это разные множества?

Или в записи $\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?