Множества и объекты

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):

Я предлагаю, чтобы было правило

Такие предложения приведут к переносу темы из ПРР в Дискуссионные темы и, боюсь, далее в Пургаторий.

В математике есть средство, полностью решающее вашу проблему - конечные последовательности. Фактически вы выписываете конечные последовательности, сравниваете их с учетом порядка и количества элементов, но по какой-то неведомой причине оборачиваете их в фигурные скобки и зачем-то называете множествами.

[Vladimir Pliassov]

Никакого троллинга нет.

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?

Начните с одного объекта. $a$ - это одна штука чего?

-- Чт июн 03, 2021 18:53:58 --

Кажется, вы хотели изучать алгебру по Ленгу. Давайте посмотрим на типичное рассуждение из Ленга (глава 1, параграф 1).

Цитата:

Пусть $S$ - множество. Отображение $S\times S\to S$ называется иногда законом композиции (на $S$ в себя). Если $x$ и $y$ - элементы из $S$

Здесь в каждом предложении вводится новая сущность:

1) $S$ - множество;
2) закон композиции - отображение с областью определения $S\times S$ и областью значений $S$;
3) $x$ и $y$ - элементы $S$.

Заметьте, что $x$ и $y$ - не "какие угодно объекты", а элементы некоторого множества, ограничивающего полет нашей фантазии. А вот множество $S$ - в некотором смысле "какое угодно". В современных книгах по математике вы часто будете встречать такое рассуждение, и к нему стоит привыкнуть.

Попробуйте так же обрисовать свою ситуацию, не забегая вперед. Определите хотя бы, что такое $a$.

[Nemiroff]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Решите мне задачу.
$\mathbb{Z}$ -- множество целых чисел. Пусть $a\in\mathbb{Z}$ и $b\in\mathbb{Z}$.
Пусть также $S=\{0,1,\pi,a,b\}$.
Какова мощность множества $S$?

[Vladimir Pliassov]

$a, b\ne 0\wedge a, b\ne 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=5$,

$a=0\wedge b=1\vee a=1\wedge b=0\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=3$,

и еще несколько комбинаций.

-- 03.06.2021, 19:47 --

tolstopuz в сообщении #1521038 писал(а):

1. Берем произвольную семерку $a,b,c,d,e,f,g$.
2. Составляем из них множество $X$.
3. Теперь возвращаемся к исходной семерке и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов.

Если исходить из Вашего плана, то $a$ это что-то произвольное, но я уже боюсь сказать, что именно -- объект?

[tolstopuz]

Перечитайте цитату из Ленга. Поступите по аналогии.

-- Чт июн 03, 2021 20:01:43 --

Вот, кстати, к вам вопрос по поводу этой цитаты: когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта или нет?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?

Семёрка имён, которые могут относиться к семи различным объектам, а могут и нет.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):

В выражении $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ в скобках стоит семь букв, но сколько элементов они означают? Как я теперь понимаю, тоже семь. Правда некоторые из них могут быть равны друг другу.

А раньше (то есть еще сегодня утром) я думал, что при $a=b=c$ в скобках стоит семь букв, но при этом они означают только пять элементов.

Нет, наверное, утром я понимал правильно. Запись $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ не означает, что множество $X$ обязательно состоит из семи элементов, их может быть и меньше.

Меня сбило с толку собственное открытие:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):

Если бы мы могли помещать в фигурных скобках не знаки (например, буквы), которые обозначают объекты, а сами объекты!

К сожалению, это невозможно, но есть объекты, по обозначениям которых мы можем видеть, что это за объекты, то есть какой объект скрывается за данным обозначением.

Если поместить цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ в соответствующих упорядоченных сочетаниях в фигурные скобки вместе с сопутствующими знаками, такими как $+$ и $-$, то, как бы ни было выражено некоторое число: например, как $5$, или как $2+3$, или как $-8+13$, при любом выражении мы видим (или можем вычислить) какое это число.

Таким образом, с точки зрения опознавания, числа представляют собой идеальные объекты, имея их обозначения в фигурных скобках, мы как бы имеем там их самих.

Из этого я сделал ложный вывод, что, когда мы видим в фигурных скобках обозначения чисел, то, сколько этих обозначений, столько и чисел.

Но это не так (как я теперь понимаю). Так же, как и другие объекты, одно и то же число может иметь несколько обозначений.

Сейчас я не имею в виду, что одно и то же число может обозначаться и "$5$", и "$2+3$", и "$-13+8$", я имею в виду случай $\{1,1,1,4,5,6,7\}$, когда одно и то же число имеет только одно имя, но имеет его три раза. Так что за этими тремя единицами скрывается всего одно число.

Пока я это писал, пришло следующее сообщение, которое подтверждает то, что я сейчас говорю:

Mikhail_K в сообщении #1521103 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?

Семёрка имён, которые могут относиться к семи различным объектам, а могут и нет.

То есть отображение из множества имен в множество объектов необязательно инъективно, оно может быть и сюръективно.

Так что я отрекаюсь от того, что написал несколько часов назад:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):

И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.

Хотя нет гарантии, что через несколько часов не отрекусь от того, что написал сейчас: я не считаю, что при поиске истины нельзя изменять своему слову.

[Nemiroff]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521099 писал(а):

и еще несколько комбинаций.

Другие варианты, кроме $3$ и $5$, бывают?

[Vladimir Pliassov]

$a, b= 0\vee a, b=1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

$a=0\wedge b\ne 0, 1\vee a=1\wedge b\ne 0, 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

$b=0\wedge a\ne 0, 1\vee b=1\wedge a\ne 0, 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521107 писал(а):

Так что я отрекаюсь от того, что написал несколько часов назад:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):

И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.

Хотя нет гарантии, что через несколько часов не отрекусь от того, что написал сейчас: я не считаю, что при поиске истины нельзя изменять своему слову.

Многообещающее заявление. Подозреваю, что нас ожидают ещё неоднократные возвраты к этой идее.

[Vladimir Pliassov]

Думаю, нет, но в связи с тем, что число элементов множества не всегда совпадает с числом имён элементов, возникают новые вопросы, например, как быть с записью декартова произведения, если у перемножаемых множеств нет биекции между элементами и их именами?

Наверное, надо сначала привести множества в такой вид, когда эта биекция есть?

-- 04.06.2021, 22:47 --

kotenok gav в сообщении #1521090 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521032 писал(а):

Только надо добавить: $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$.

Да, надо, иначе получится утверждение $|X|\geq7$.

Верно, потому что бывает, что число имён элементов больше числа элементов, но не бывает, чтобы число элементов было больше, чем число их имен: несколько разных элементов не могут иметь одно и то же обозначение. Когда мы видим запись $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, мы видим, что число элементов в $X$ не больше семи, потому что в фигурных скобках семь букв.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521100 писал(а):

Перечитайте цитату из Ленга. Поступите по аналогии.

-- Чт июн 03, 2021 20:01:43 --

Вот, кстати, к вам вопрос по поводу этой цитаты: когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта или нет?

Перечитал цитату. Когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта, так как множество состоит из объектов.

tolstopuz в сообщении #1521038 писал(а):

1. Берем произвольную семерку $a,b,c,d,e,f,g$.
2. Составляем из них множество $X$.
3. Теперь возвращаемся к исходной семерке и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов.

Если из семёрки $a,b,c,d,e,f,g$ составляется множество $X$, то $a,b,c,d,e,f,g$ это его элементы, и так как это элементы множества, среди них нет повторяющихся. Зачем же возвращаться к исходной семерке и накладывать на нее условия на неповторяемость элементов?

Может быть, Вы имели в виду, что мы из этой семёрки составляем совокупность, которая может быть как множеством, так и мультимножеством, затем возвращаемся к ней и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов? Тогда эта совокупность определяется как множество.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

Однажды на банкете, в офицерском собрании, когда речь зашла о Шиллере, полковник Краус фон Циллергут ни с того ни с сего провозгласил:
- А я, господа, видел вчера паровой плуг, который приводился в движение локомотивом. Представьте, господа, локомотивом, да не одним, а двумя! Вижу дым, подхожу ближе -оказывается, локомотив, и с другой стороны - тоже локомотив. Скажите, господа, разве это не смешно? Два локомотива, как будто не хватало одного!
И, выдержав паузу, добавил:
- Когда кончился бензин, автомобиль вынужден был остановиться. Это я тоже сам вчера видел. А после этого еще болтают об инерции, господа! Не едет, стоит, с места не трогается! Нет бензина. Ну, не смешно ли?

-- Сб июн 05, 2021 00:20:39 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521242 писал(а):

Перечитал цитату. Когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта, так как множество состоит из объектов.

А если $x=y=2?$

Vladimir Pliassov в сообщении #1521242 писал(а):

Если из семёрки $a,b,c,d,e,f,g$ составляется множество $X$, то $a,b,c,d,e,f,g$ это его элементы, и так как это элементы множества, среди них нет повторяющихся.

А если $a=b=c=d=e=f=g=1$?

[Vladimir Pliassov]

В этих случаях у одного об'екта несколько имён: у двойки $x, y$, у единицы -- $a, b, c, d, e, f, g$.

Но тогда $a, b, c, d, e, f, g$ это семёрка имён, которые, конечно, тоже могут являться об'ектами, и они при этом не повторяются, так что составленная из них совокупность есть множество (об'ектов)-- назовем его $H$, то есть $H=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, где $a, b, c, d, e, f, g$ это возможные имена каких-то других об'ектов, и $\vert H\vert=7$.

Возьмём совокупность некоторых об'ектов, назовем ее $V$, пусть в ней будет не меньше семи разных элементов. Отобразим ин'ективно $H$ в $V$. Пусть полученные образы будут об'ектами, имеющими имена $a, b, c, d, e, f, g$. Эти об'екты пусть составляют множество $X$. $\vert X\vert=7$.