2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 19  След.
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 18:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1190
Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
Я предлагаю, чтобы было правило
Такие предложения приведут к переносу темы из ПРР в Дискуссионные темы и, боюсь, далее в Пургаторий.

В математике есть средство, полностью решающее вашу проблему - конечные последовательности. Фактически вы выписываете конечные последовательности, сравниваете их с учетом порядка и количества элементов, но по какой-то неведомой причине оборачиваете их в фигурные скобки и зачем-то называете множествами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 18:38 


21/04/19
619
Никакого троллинга нет.

Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 18:42 
Заслуженный участник


31/12/05
1190
Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):
Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?
Начните с одного объекта. $a$ - это одна штука чего?

-- Чт июн 03, 2021 18:53:58 --

Кажется, вы хотели изучать алгебру по Ленгу. Давайте посмотрим на типичное рассуждение из Ленга (глава 1, параграф 1).

Цитата:
Пусть $S$ - множество. Отображение $S\times S\to S$ называется иногда законом композиции (на $S$ в себя). Если $x$ и $y$ - элементы из $S$

Здесь в каждом предложении вводится новая сущность:

1) $S$ - множество;
2) закон композиции - отображение с областью определения $S\times S$ и областью значений $S$;
3) $x$ и $y$ - элементы $S$.

Заметьте, что $x$ и $y$ - не "какие угодно объекты", а элементы некоторого множества, ограничивающего полет нашей фантазии. А вот множество $S$ - в некотором смысле "какое угодно". В современных книгах по математике вы часто будете встречать такое рассуждение, и к нему стоит привыкнуть.

Попробуйте так же обрисовать свою ситуацию, не забегая вперед. Определите хотя бы, что такое $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3980
МФТИ ФУПМ
Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):
Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Решите мне задачу.
$\mathbb{Z}$ -- множество целых чисел. Пусть $a\in\mathbb{Z}$ и $b\in\mathbb{Z}$.
Пусть также $S=\{0,1,\pi,a,b\}$.
Какова мощность множества $S$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 19:37 


21/04/19
619
$a, b\ne 0\wedge a, b\ne 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=5$,

$a=0\wedge b=1\vee a=1\wedge b=0\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=3$,

и еще несколько комбинаций.

-- 03.06.2021, 19:47 --

tolstopuz в сообщении #1521038 писал(а):

1. Берем произвольную семерку $a,b,c,d,e,f,g$.
2. Составляем из них множество $X$.
3. Теперь возвращаемся к исходной семерке и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов.

Если исходить из Вашего плана, то $a$ это что-то произвольное, но я уже боюсь сказать, что именно -- объект?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 19:59 
Заслуженный участник


31/12/05
1190
Перечитайте цитату из Ленга. Поступите по аналогии.

-- Чт июн 03, 2021 20:01:43 --

Вот, кстати, к вам вопрос по поводу этой цитаты: когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3920
Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):
Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?
Семёрка имён, которые могут относиться к семи различным объектам, а могут и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 21:03 


21/04/19
619
Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
В выражении $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ в скобках стоит семь букв, но сколько элементов они означают? Как я теперь понимаю, тоже семь. Правда некоторые из них могут быть равны друг другу.

А раньше (то есть еще сегодня утром) я думал, что при $a=b=c$ в скобках стоит семь букв, но при этом они означают только пять элементов.

Нет, наверное, утром я понимал правильно. Запись $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ не означает, что множество $X$ обязательно состоит из семи элементов, их может быть и меньше.

Меня сбило с толку собственное открытие:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
Если бы мы могли помещать в фигурных скобках не знаки (например, буквы), которые обозначают объекты, а сами объекты!

К сожалению, это невозможно, но есть объекты, по обозначениям которых мы можем видеть, что это за объекты, то есть какой объект скрывается за данным обозначением.

Если поместить цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ в соответствующих упорядоченных сочетаниях в фигурные скобки вместе с сопутствующими знаками, такими как $+$ и $-$, то, как бы ни было выражено некоторое число: например, как $5$, или как $2+3$, или как $-8+13$, при любом выражении мы видим (или можем вычислить) какое это число.

Таким образом, с точки зрения опознавания, числа представляют собой идеальные объекты, имея их обозначения в фигурных скобках, мы как бы имеем там их самих.

Из этого я сделал ложный вывод, что, когда мы видим в фигурных скобках обозначения чисел, то, сколько этих обозначений, столько и чисел.

Но это не так (как я теперь понимаю). Так же, как и другие объекты, одно и то же число может иметь несколько обозначений.

Сейчас я не имею в виду, что одно и то же число может обозначаться и "$5$", и "$2+3$", и "$-13+8$", я имею в виду случай $\{1,1,1,4,5,6,7\}$, когда одно и то же число имеет только одно имя, но имеет его три раза. Так что за этими тремя единицами скрывается всего одно число.

Пока я это писал, пришло следующее сообщение, которое подтверждает то, что я сейчас говорю:

Mikhail_K в сообщении #1521103 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1521093 писал(а):
Если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то имеем мы семь объектов или нет?

Если нет, то семерка чего?
Семёрка имён, которые могут относиться к семи различным объектам, а могут и нет.

То есть отображение из множества имен в множество объектов необязательно инъективно, оно может быть и сюръективно.

Так что я отрекаюсь от того, что написал несколько часов назад:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.

Хотя нет гарантии, что через несколько часов не отрекусь от того, что написал сейчас: я не считаю, что при поиске истины нельзя изменять своему слову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение04.06.2021, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3980
МФТИ ФУПМ
Vladimir Pliassov в сообщении #1521099 писал(а):
и еще несколько комбинаций.
Другие варианты, кроме $3$ и $5$, бывают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение04.06.2021, 14:20 


21/04/19
619
$a, b= 0\vee a, b=1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

$a=0\wedge b\ne 0, 1\vee a=1\wedge b\ne 0, 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

$b=0\wedge a\ne 0, 1\vee b=1\wedge a\ne 0, 1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение04.06.2021, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17743
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1521107 писал(а):
Так что я отрекаюсь от того, что написал несколько часов назад:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.

Хотя нет гарантии, что через несколько часов не отрекусь от того, что написал сейчас: я не считаю, что при поиске истины нельзя изменять своему слову.
Многообещающее заявление. Подозреваю, что нас ожидают ещё неоднократные возвраты к этой идее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение04.06.2021, 21:50 


21/04/19
619
Думаю, нет, но в связи с тем, что число элементов множества не всегда совпадает с числом имён элементов, возникают новые вопросы, например, как быть с записью декартова произведения, если у перемножаемых множеств нет биекции между элементами и их именами?

Наверное, надо сначала привести множества в такой вид, когда эта биекция есть?

-- 04.06.2021, 22:47 --

kotenok gav в сообщении #1521090 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1521032 писал(а):
Только надо добавить: $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$.

Да, надо, иначе получится утверждение $|X|\geq7$.

Верно, потому что бывает, что число имён элементов больше числа элементов, но не бывает, чтобы число элементов было больше, чем число их имен: несколько разных элементов не могут иметь одно и то же обозначение. Когда мы видим запись $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, мы видим, что число элементов в $X$ не больше семи, потому что в фигурных скобках семь букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение05.06.2021, 00:17 


21/04/19
619
tolstopuz в сообщении #1521100 писал(а):
Перечитайте цитату из Ленга. Поступите по аналогии.

-- Чт июн 03, 2021 20:01:43 --

Вот, кстати, к вам вопрос по поводу этой цитаты: когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта или нет?

Перечитал цитату. Когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта, так как множество состоит из объектов.

tolstopuz в сообщении #1521038 писал(а):
1. Берем произвольную семерку $a,b,c,d,e,f,g$.
2. Составляем из них множество $X$.
3. Теперь возвращаемся к исходной семерке и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов.

Если из семёрки $a,b,c,d,e,f,g$ составляется множество $X$, то $a,b,c,d,e,f,g$ это его элементы, и так как это элементы множества, среди них нет повторяющихся. Зачем же возвращаться к исходной семерке и накладывать на нее условия на неповторяемость элементов?

Может быть, Вы имели в виду, что мы из этой семёрки составляем совокупность, которая может быть как множеством, так и мультимножеством, затем возвращаемся к ней и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов? Тогда эта совокупность определяется как множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение05.06.2021, 00:19 
Заслуженный участник


31/12/05
1190

(Оффтоп)

Однажды на банкете, в офицерском собрании, когда речь зашла о Шиллере, полковник Краус фон Циллергут ни с того ни с сего провозгласил:
- А я, господа, видел вчера паровой плуг, который приводился в движение локомотивом. Представьте, господа, локомотивом, да не одним, а двумя! Вижу дым, подхожу ближе -оказывается, локомотив, и с другой стороны - тоже локомотив. Скажите, господа, разве это не смешно? Два локомотива, как будто не хватало одного!
И, выдержав паузу, добавил:
- Когда кончился бензин, автомобиль вынужден был остановиться. Это я тоже сам вчера видел. А после этого еще болтают об инерции, господа! Не едет, стоит, с места не трогается! Нет бензина. Ну, не смешно ли?


-- Сб июн 05, 2021 00:20:39 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521242 писал(а):
Перечитал цитату. Когда мы берём $x$ и $y$ из $S$, мы имеем два объекта, так как множество состоит из объектов.
А если $x=y=2?$
Vladimir Pliassov в сообщении #1521242 писал(а):
Если из семёрки $a,b,c,d,e,f,g$ составляется множество $X$, то $a,b,c,d,e,f,g$ это его элементы, и так как это элементы множества, среди них нет повторяющихся.
А если $a=b=c=d=e=f=g=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение05.06.2021, 01:43 


21/04/19
619
В этих случаях у одного об'екта несколько имён: у двойки $x, y$, у единицы -- $a, b, c, d, e, f, g$.

Но тогда $a, b, c, d, e, f, g$ это семёрка имён, которые, конечно, тоже могут являться об'ектами, и они при этом не повторяются, так что составленная из них совокупность есть множество (об'ектов)-- назовем его $H$, то есть $H=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, где $a, b, c, d, e, f, g$ это возможные имена каких-то других об'ектов, и $\vert H\vert=7$.

Возьмём совокупность некоторых об'ектов, назовем ее $V$, пусть в ней будет не меньше семи разных элементов. Отобразим ин'ективно $H$ в $V$. Пусть полученные образы будут об'ектами, имеющими имена $a, b, c, d, e, f, g$. Эти об'екты пусть составляют множество $X$. $\vert X\vert=7$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 273 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group