Множества и объекты

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521245 писал(а):

это семёрка имён, которые, конечно, тоже могут являться об'ектами

Имена не являются объектами. Они являются строками.
Конечно, мы можем рассмотреть другую теорию, объектами которой эти строки являются (это метатеория), но в метатеории нет множества $H=\{a,b,c,d,e,f,g\}$. Вам придётся дать этим строкам имена, и в определении множества $H$ указывать не сами строки, а их имена. И да, поскольку строки $a,b,c,d,e,f,g$ попарно различные, то в этом множестве будет $7$ элементов. Но метатеория ничего не знает об объектах с именами $a,b,c,d,e,f,g$, поскольку это не её объекты, так что никакого инъективного отображения $H$ в $V$ у Вас не получится: в метатеории нет множества $V$.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov
Давайте так. Любое утверждение из теории множеств является утверждением об объектах, не об именах объектов. Внутри теории множеств имена объектов не имеют никакого значения. Вам, грубо говоря, пытаются сказать, что, хотя "1+1" и "2" это разные наборы символов, 1+1 и 2 это одно и то же. Утверждение $X = \{a, b\}$ есть утверждение об объектах $X$, $a$, $b$: оно значит, что $a \in X$, $b \in X$, а всё, что не $a$ и не $b$, $\notin X$. Но здесь мы не можем сказать, разные $a$ и $b$ объекты или один и тот же. Из того, что "$a$" и "$b$" — разные буквы, не следует, что $a$ и $b$ — разные объекты.

Ваши подсчёты типа "Вот здесь одно имя объекта. О, а здесь их пять!" очень странны. Во первых, чему угодно можно приписать сколько угодно имён. Во вторых, и это самое важное, от таких подсчётов в теории множеств не зависит ровным счётом ничего. Вам сказали разделять объекты и их имена, чтобы вы отдалились от имён и сконцентрировались на объектах, а вы сделали наоборот.

Отвечая на ваш старый вопрос,

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Значит ли это, что речь здесь идет о двух одинаковых объектах $c, d$?

Если $c = d$, то для теории множеств нет никакой разницы между $c$ и $d$. Это для вас "$c$" и "$d$" — разные буквы. В рамках теории множеств $c$ и $d$ — просто одно и то же, точно так же, как Vladimir Pliassov и Vladimir Pliassov — одно и то же.


По поводу мультимножеств: нет никаких мультимножеств. В книгах, которые Вам предлагали, ни разу не звучит слово "мультимножество", а когда говорят а мультимножествах всегда указывают, что речь идёт именно о мультимножествах. Для любого множества $Y$ и объекта $y$ выполняется либо $y \in Y$, либо $y \notin Y$. В теории множеств это всё, что имеет значение. Если мы пишем $X = \{2, 2\}$, это по определению значит, что $2 \in X$, $2 \in X$, и для любого $x$ такого, что $x \neq 2$ и $x \neq 2$ выполняется $x \notin X$. Отсюда сразу видно, что $\{2, 2\}$ содержит ровно те же элементы, что $\{2\}$ (то есть двойку и больше ничего)

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1521251 писал(а):

Отсюда сразу видно, что $\{2, 2\}$ содержит ровно те же элементы, что $\{2\}$ (то есть двойку и больше ничего)

Азы теории множеств: ${\left\{ 1,\,1,\,2\right\} =\left\{ 1,\,2\right\}. Это знаю даже я.

[xagiwo]

Sinoid
Это я и пытаюсь объяснить ТСу. У вас ко мне какие-то претензии?

[Vladimir Pliassov]

Спасибо, xagiwo!

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Отсюда следует $X\cap Y$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Значит ли это, что речь здесь идет о двух одинаковых объектах $c, d$?

Нет, $c$ и $d$ это один и тот же объект.

xagiwo в сообщении #1521251 писал(а):

Утверждение $X = \{a, b\}$ есть утверждение об объектах $X$, $a$, $b$

Когда $a$ и $b$ это один и тот же объект, о нем, тем не менее, могут говорить во множественном числе: "утверждение об объектах ... $a$, $b$". Наверное, это происходит оттого, что не всегда сразу видно, об одном и том же элементе идет речь или о разных. Но даже если он обозначен одним и тем же символом и внешне не отличается от самого себя, так что сразу видно, что это один и тот же объект, о нем также могут говорить во множественном числе:

xagiwo в сообщении #1521251 писал(а):

Отсюда сразу видно, что $\{2, 2\}$ содержит ровно те же элементы, что $\{2\}$

(Выделение жирным шрифтом мое.)

[Sinoid]

xagiwo
Ой, а я мне показалось, это писал ТС. Извините, пожалуйста.

-- 05.06.2021, 12:41 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521276 писал(а):

Отсюда следует $X\cap Y$.

Что-то я не пойму, а что именно $X\cap Y$?

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521276 писал(а):

Отсюда следует $X\cap Y$.

Так не пишут. $X \cap Y$ это множество, которое состоит из общих элементов $X$ и $Y$. Можно сказать "$X$ пересекается с $Y$" или "$X \cap Y$ не пусто". Но да.

-- 05.06.2021, 12:17 --

(Sinoid)

Вам не за что извиняться, просто фейспалм вызвал у меня подозрение, что я написал что-то не то.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1521246 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521245 писал(а):

это семёрка имён, которые, конечно, тоже могут являться об'ектами

Имена не являются объектами. Они являются строками.
Конечно, мы можем рассмотреть другую теорию, объектами которой эти строки являются (это метатеория), но в метатеории нет множества $H=\{a,b,c,d,e,f,g\}$. Вам придётся дать этим строкам имена, и в определении множества $H$ указывать не сами строки, а их имена. И да, поскольку строки $a,b,c,d,e,f,g$ попарно различные, то в этом множестве будет $7$ элементов. Но метатеория ничего не знает об объектах с именами $a,b,c,d,e,f,g$, поскольку это не её объекты, так что никакого инъективного отображения $H$ в $V$ у Вас не получится: в метатеории нет множества $V$.

Я понимаю, что, если объекты рассматриваются в теории множеств как элементы множеств, то их имена могут быть объектами в метатеории и не могут быть объектами в теории множеств.

Но, когда я говорил: "имена", я, как теперь вижу, имел в виду что-то другое.

Имя это знак, знак это любой предмет, то есть любой объект, о котором договорено, что он ассоциируется с некоторым другим объектом. Однако, если договор еще не заключен или если он расторгнут, то предмет есть, а ассоциации нет, и тогда предмет не является знаком.

Когда я писал, что имена "конечно, тоже могут являться объектами", я подразумевал не имена, а предметы, которые при наличии указанной ассоциации являются именами, но имел в виду, что ассоциация отсутствует, то есть, например, на буквы смотрел просто как на буквы, которые еще не связаны ассоциацией с какими-то другими объектами.

Буквы просто как буквы, а не как имена объектов, рассматриваемых в теории множеств, могут ведь быть элементами множества в теории множеств?

-- 05.06.2021, 13:21 --

xagiwo в сообщении #1521281 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521276 писал(а):

Отсюда следует $X\cap Y$.

Так не пишут. $X \cap Y$ это множество, которое состоит из общих элементов $X$ и $Y$. Можно сказать "$X$ пересекается с $Y$" или "$X \cap Y$ не пусто".

Спасибо, понял.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

У меня есть предложение вынести часть обсуждения, начиная с post1520409.html#p1520409, в отдельную тему, так как эта часть не имеет отношения к топологии.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521288 писал(а):

и тогда предмет не является знаком

Предмет никогда не является знаком, которым он обозначен. Пушкин не смотрит на нас из учебника литературы :(

Vladimir Pliassov в сообщении #1521288 писал(а):

Буквы просто как буквы, а не как имена объектов, могут ведь быть элементами множества в теории множеств?

Да. Тогда это обычно ясно из контекста. Но по умолчанию маленькие английские буквы это переменные (чтобы не путаться, можно заключать буквы в кавычки, когда имеешь в виду буквы, и не заключать, когда имеешь в виду переменные). Сейчас это не важно, в топологии не нужны буквы просто как буквы.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521289 писал(а):

(Оффтоп)

У меня есть предложение вынести часть обсуждения, начиная с post1520409.html#p1520409, в отдельную тему, так как эта часть не имеет отношения к топологии.

Я за, но не знаю, как это делается.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521292 писал(а):

Я за, но не знаю, как это делается.

Возвращаетесь назад во времени и создаёте новую тему, когда у вас появляется вопрос не по топологии (это намёк)

[Pphantom]

Темы разделены.

Ответ на вопрос xagiwo: да, правильно, надо было сразу "пожаловаться", написав предложение в теле жалобы.

[Vladimir Pliassov]

xagiwo в сообщении #1521290 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521288 писал(а):

и тогда предмет не является знаком

Предмет никогда не является знаком, которым он обозначен.

Здесь имеется в виду не это:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521288 писал(а):

знак это любой предмет, то есть любой объект, о котором договорено, что он ассоциируется с некоторым другим объектом

а не с самим собой.

xagiwo в сообщении #1521290 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521288 писал(а):

Буквы просто как буквы, а не как имена объектов, могут ведь быть элементами множества в теории множеств?

Да. Тогда это обычно ясно из контекста. Но по умолчанию маленькие английские буквы это переменные (чтобы не путаться, можно заключать буквы в кавычки, когда имеешь в виду буквы, и не заключать, когда имеешь в виду переменные). Сейчас это не важно, в топологии не нужны буквы просто как буквы.

сообщение #1521288" я написал по поводу сообщения #1521245" , там написано

Vladimir Pliassov в сообщении #1521245 писал(а):

Возьмём совокупность некоторых объектов, назовем ее $V$, пусть в ней будет не меньше семи разных элементов. Отобразим инъективно $H$ в $V$. Пусть полученные образы будут объектами, имеющими имена $a, b, c, d, e, f, g$. Эти объекты пусть составляют множество $X$. $\vert X\vert=7$.

Под множеством $H$ я как раз понимал множество букв, безотносительно к тому, что они могут являться именами. Но после того, как $H$ было отображено в $V$, образы получили имена, равные элементам $H$.

xagiwo в сообщении #1521293 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521292 писал(а):

Я за, но не знаю, как это делается.

Возвращаетесь назад во времени и создаёте новую тему, когда у вас появляется вопрос не по топологии (это намёк)

Так и буду делать. Только сначала надо подготовить теоретическую базу для перемещения назад во времени.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521297 писал(а):

Под множеством $H$ я как раз понимал множество букв

Ну так бы и сказали. В чём проблема?

-- 05.06.2021, 14:32 --

Только тогда пишите буквы хотя бы в кавычках, а то у вас одни и те же буквы обозначают разные вещи.

-- 05.06.2021, 14:35 --

$H = \{\text{, $X = \{a, b, ...\}$
Правда всё равно возникает путаница, хотя меньшая. Лучше вообще так не писать. $H = \{1, 2, ..., 7\}$ ничем не хуже.

-- 05.06.2021, 14:42 --

А Вашу инъективную функцию можно просто задать: пусть $f: H \to V$ — инъективная функция.
А $X = \{f(1), f(2), ..., f(7)\}$. И всем всё понятно.

-- 05.06.2021, 14:44 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521297 писал(а):

Но после того, как $H$ было отображено в $V$, образы получили имена, равные элементам $H$

Вы так или иначе можете обозначить их как хотите, главное, чтобы всем было понятно, что есть что. А у вас это сложно понять.