2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ... 41  След.
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 22:19 


01/07/19
240
Dmitriy40 в сообщении #1513456 писал(а):
vorvalm в сообщении #1509384 писал(а):
Dmitriy40
Просьба.
Среди вычетов ПСВ по модулю $M=23\#$ есть по крайней мере
6 разностей между соседними вычетами, равными $d=40$.
Не могли бы найти первые вычеты этих разностей. Спасибо.

Не знаю почему, но нашлось больше (код на PARI/GP):
Код:
? pr=vecprod(primes([1,23]));pp=1;forstep(p=3,pr-1,2, if(gcd(p,pr)>1,next); if(p-pp==40,print1(pp,"  "));pp=p)
20332471  24686821  36068191  65767861  82370089  97689751  125403079  140722741  157324969  187024639  198406009  202760359
time = 1min, 3,868 ms.
Выведено меньшее из двух чисел.

20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

Интересно, а для бОльших простых чисел - на какие классы по модулю $p_{r-3}\#$ распадаются расположения расстояний d в ПСВ $p_{r}\#$ ?
Особенно интересуют d $\geqslant$ 2$p_{r-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение04.05.2021, 23:07 
Заслуженный участник


20/08/14
9508
Россия, Москва
Yury_rsn
Берите числа отсюда или отсюда и считайте остатки.
Например для длинного списка интервалов 66 для 37# получаются следующие остатки (в порядке увеличения):
Используется синтаксис Text
mod 13#: [3473, 14153, 15811, 26491]
mod 17#: [176641, 224363, 286081, 333803]
mod 19#: [796591, 4260721, 5438903, 8903033]
mod 23#: [8903033, 44237663, 178855141, 214189771]
mod 29#: [401948011, 660375511, 1740505231, 2445118471, 2686017473, 2721352103, 3748341061, 3783675691, 4024574693, 4729187933, 5809317653, 6067745153]
mod 31#: [13341334471, 22095097163, 34088971381, 34793584621, 36096807211, 55541221531, 61975580131, 68721506993, 69426120233, 70506249953, 84507960001, 96385022873,  104175467191, 116052530063, 130054240111, 131134369831, 131838983071, 138584909933, 145019268533, 164463682853, 165766905443, 166471518683, 178465392901, 187219155593]

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 08:36 


31/12/10
1553
Yury_rsn в сообщении #1516818 писал(а):
20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

То же самое происходит в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#).
Это позволяет определить точные места расположения $d = 40$ в этих ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 09:12 


23/02/12
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516773 писал(а):
vicvolf
Мне непонятно какой смысл Вы вложили в слова "с вероятностью равной 1" — "почти всегда, но не обязательно", ведь так, да?
Нет такой сходимости в теории вероятностей.
Цитата:
Потому что многие, и я в том числе, обязательно подумают что "вероятность равна 1" означает 100% обязательность и невозможность никаких контрпримеров (других случаев), т.е. что условие доказано. А это очевидно не так и вероятно пропущено слово "в пределе", лишь предел вероятности равен 1, не сама вероятность. И это уже очень и очень разные вещи!
Есть сходимость "почти наверное" или "почти всюду". Это когда последовательность случайных величин сходится к какой-то случайной величине с вероятностью равной 1 при $n \to \infty$. У меня как раз такая сходимость.Под последовательностью случайных величин рассматривается последовательность расстояний.
vicvolf в сообщении #1516735 писал(а):
С вероятностью равной 1 расстояние ... при $n \to \infty$.
Цитата:
И выходит Вы запутываете людей, не договаривая важных моментов, и ещё хорошо если не намеренно.
Так выходит тогда, когда не знают, что такое сходимость "почти наверное". Читайте теорию вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 09:35 
Заслуженный участник


20/08/14
9508
Россия, Москва
vicvolf
ОК, почитал, про вероятность был не прав, признаю.
А вот про пользу так и не понял. Ну выполняется оно "почти всюду", ну и что ... Числа составные тоже почти всюду, ничем это не помогает простые искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 10:03 


23/02/12
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516871 писал(а):
А вот про пользу так и не понял. Ну выполняется оно "почти всюду", ну и что ...
А Вы почитайте Усиленный закон больших чисел в теории вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 10:25 
Заслуженный участник


20/08/14
9508
Россия, Москва
Помнится с кем-то ;-) тут на форуме математики уже ругались что простые числа не являются случайными величинами и к ним применять терминологию и методы теории вероятности не (всегда) корректно. А в законе больших чисел случайность и независимость важна. Так что для меня польза всё равно под большим сомнением. Но дальше спорить я не буду, просто верить буду только тому что могу подтвердить или опровергнуть (скажем вычислительно) и только в проверенных рамках, а не любым утверждениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 11:02 


23/02/12
2808
Dmitriy40 в сообщении #1516881 писал(а):
Помнится с кем-то ;-) тут на форуме математики уже ругались что простые числа не являются случайными величинами и к ним применять терминологию и методы теории вероятности не (всегда) корректно.
Теорию вероятности можно применять не только к случайным объектам, но и к вполне детерминированным объектам сложной структуры, для которых использование других методов не привело к результатам. Данный раздел в теории чисел называется вероятностной теории чисел, который развивается в серьезных математических статьях и монографиях. С успехом вероятностные методы к простым числам применяли известные математики: Харди, Литтлвуд, Крамер, Туран, Эрдош, Кац, Кубилюс, Постников, Тао и многие другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 14:43 


01/07/19
240
Dmitriy40 в сообщении #1516830 писал(а):
Yury_rsn
Берите числа отсюда или отсюда и считайте остатки.
Например для длинного списка интервалов 66 для 37# получаются следующие остатки (в порядке увеличения):
Используется синтаксис Text
mod 13#: [3473, 14153, 15811, 26491]
mod 17#: [176641, 224363, 286081, 333803]
mod 19#: [796591, 4260721, 5438903, 8903033]
mod 23#: [8903033, 44237663, 178855141, 214189771]
mod 29#: [401948011, 660375511, 1740505231, 2445118471, 2686017473, 2721352103, 3748341061, 3783675691, 4024574693, 4729187933, 5809317653, 6067745153]
mod 31#: [13341334471, 22095097163, 34088971381, 34793584621, 36096807211, 55541221531, 61975580131, 68721506993, 69426120233, 70506249953, 84507960001, 96385022873,  104175467191, 116052530063, 130054240111, 131134369831, 131838983071, 138584909933, 145019268533, 164463682853, 165766905443, 166471518683, 178465392901, 187219155593]


Расположения интервалов d=66 распадаются на четыре класса по шесть штук.
С учетом зеркальности расположения интервалов получаем, что имеется только два разных варианта "построения" этих интервалов. А все остальные модификации получаются за счет зеркальных отражений, и перестановок чисел 17, 19, 23 в вычеркиваниях.
Можно ли посчитать для бОльших праймориалов расположения интервалов d? - чтобы посмотреть, как там это выглядит.
Спасибо.

-- 05.05.2021, 15:49 --

vorvalm в сообщении #1516862 писал(а):
Yury_rsn в сообщении #1516818 писал(а):
20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

То же самое происходит в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#).
Это позволяет определить точные места расположения $d = 40$ в этих ПСВ.

В ПСВ(19#) и в ПСВ(17#) - это достаточно тривиально, если я правильно вас понял.
Ведь там максимальные интервалы Якобсталя не превышают максимумов по стыкам праймориалов. Для праймориалов, которые больше 29# - это более интересно
Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 16:59 


01/07/19
240
Цитата:
А все остальные модификации получаются за счет зеркальных отражений, и перестановок чисел 17, 19, 23 в вычеркиваниях.


Слегка перепутал. Тут ведь речь идет о 37#.
Поэтому участвуют в перестановках последние три числа этого праймориала - 29, 31, 37, а не 17, 19, 23.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 18:19 


31/12/10
1553
Yury_rsn в сообщении #1516960 писал(а):
Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

Разности $d=40$ из ПСВ(23#) существуют в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#), но
в качестве кортежей из 3-х и 4-х вычетов соответственно.
Начальные вычеты эти кортежей также сравнимы по модулю 13#.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 19:00 


23/02/12
2808
vorvalm в сообщении #1517028 писал(а):
Yury_rsn в сообщении #1516960 писал(а):
Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

Разности $d=40$ из ПСВ(23#) существуют в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#), но
в качестве кортежей из 3-х и 4-х вычетов соответственно.
Начальные вычеты эти кортежей также сравнимы по модулю 13#.
Данные начальные вычеты являются простыми числами, которые присутствуют во всех ПСВ, начиная с $17/#$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.05.2021, 21:44 


31/12/10
1553
vicvolf в сообщении #1517041 писал(а):
Данные начальные вычеты являются простыми числами, которые присутствуют во всех ПСВ, начиная с $17/#$.

И вы это можете доказать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.05.2021, 10:33 


23/02/12
2808
vorvalm в сообщении #1517072 писал(а):
И вы это можете доказать ?
Нет,наверное это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.05.2021, 16:29 


23/02/12
2808
Yury_rsn в сообщении #1513328 писал(а):
1 299 747 963 653 - взаимно простое с 37#, следующее взаимно простое с 37# - 1 299 747 963 719
Разность между этими двумя числами равна 66
Между ними составной вычет $1299747963691$ кратный $37$. Поэтому максимальное расстояние $66$ получается объединением двух интервалов из ПСВ$31\#$ - $38$ и $28$. В этом нет ничего особенного, так как максимальное расстояние в ПСВ$31\#$ - $58$ и объединяемые интервалы далеки от максимального расстояния.

В небольших ПСВ$p_r\#$ максимальное расстояние между вычетами $d(p_r\#)=2p_{r-1}$, образуется на стыках меньших ПСВ.

При увеличении $p_r$ увеличиваются расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$. Поэтому возрастает вероятность, что между достаточно большими расстояниями находится составной вычет кратный $p_r$ и при удалении данного составного вычета получается максимальное расстояние между вычетами $d(p_r\#)>2p_{r-1}$, как в примере выше.

Как было показано в родственной теме, это максимальное расстояние уже растет нелинейно и соотношение $d(p_r\#)/p_r$ является медленно растущей функцией $\varphi(p_r)< {p_r}^{\epsilon}$, где $\epsilon >0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 615 ]  На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group