Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1509955 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1509827 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Используется синтаксис Text

3#: n=1: 4=1
5#: n=7: 2=2, 4=3, 6=2
7#: n=47: 2=14, 4=15, 6=14, 8=2, 10=2
11#: n=479: 2=134, 4=135, 6=142, 8=28, 10=30, 12=8, 14=2
13#: n=5759: 2=1484, 4=1485, 6=1690, 8=394, 10=438, 12=188, 14=58, 16=12, 18=8, 22=2
17#: n=92159: 2=22274, 4=22275, 6=26630, 8=6812, 10=7734, 12=4096, 14=1406, 16=432, 18=376, 20=24, 22=78, 24=20, 26=2
19#: n=1658879: 2=378674, 4=378675, 6=470630, 8=128810, 10=148530, 12=90124, 14=33206, 16=12372, 18=12424, 20=1440, 22=2622, 24=1136, 26=142, 28=72, 30=20, 34=2
23#: n=36495359: 2=7952174, 4=7952175, 6=10169950, 8=2918020, 10=3401790, 12=2255792, 14=871318, 16=362376, 18=396872, 20=61560, 22=88614, 24=48868, 26=7682, 28=5664, 30=2164, 32=72, 34=198, 36=56, 38=2, 40=12

Праймориал, суммарное количество всех разностей, список из разности и сколько раз она встретилась.

Скорее всего количество чисел с разностями 2 и 4 на самом деле равно.
Об этом же написано в A059861

Нет, здесь все подсчитано верно. Количество чисел с разностями 2 и 4 не совпадает в ПСВ. В гипотезе Харди-Литтлвуда говорится об асимптотическом количестве простых кортежей.
Вот ПСВ по модулю 5#: 1,7,11,13,17,19,23,29 посмотрите симметричное расположение разностей и подсчитайте их количество.

[vorvalm]

Dmitriy40
Что вы можете сказать о среде программирования

Borland $C^{++}$ Builder 6

в консольном приложении ?

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1510044 писал(а):

Dmitriy40
Что вы можете сказать о среде программирования
Borland $C^{++}$ Builder 6

Ничего.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Цитата:

Yury_rsn
Скорее всего количество чисел с разностями 2 и 4 на самом деле равно.
Об этом же написано в A059861

Нет, здесь все подсчитано верно. Количество чисел с разностями 2 и 4 не совпадает в ПСВ. В гипотезе Харди-Литтлвуда говорится об асимптотическом количестве простых кортежей.
Вот ПСВ по модулю 5#: 1,7,11,13,17,19,23,29 посмотрите симметричное расположение разностей и подсчитайте их количество.

Ну, например, можно увидеть двойку между 29 и 1 (31).

5# равен 30 - на любом интервале длиной 30, встретится три разности длиной 2

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Это не я писал, внимательнее смотрите на какую кнопку Вставка нажимаете, это важно.

-- 19.03.2021, 18:34 --

Кстати в OEIS есть формулы для вычисления количества разностей 2,4,6,8 в любом праймориале. Но для бОльших разностей не нашёл.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1510061 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Цитата:

Yury_rsn
Скорее всего количество чисел с разностями 2 и 4 на самом деле равно.
Об этом же написано в A059861

Нет, здесь все подсчитано верно. Количество чисел с разностями 2 и 4 не совпадает в ПСВ. В гипотезе Харди-Литтлвуда говорится об асимптотическом количестве простых кортежей.
Вот ПСВ по модулю 5#: 1,7,11,13,17,19,23,29 посмотрите симметричное расположение разностей и подсчитайте их количество.

Ну, например, можно увидеть двойку между 29 и 1 (31).
5# равен 30 - на любом интервале длиной 30, встретится три разности длиной 2

Интервал 29, 31 не входит в ПСВ по модулю 5#=30, так он заканчивается числом 30. Почитайте в теории чисел приведенную систему вычетов по модулю.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509884 писал(а):

Yury_rsn
Нет, мне времени жалко, а писать на нормальном языке нет желания.
Как можете видеть даже 29# не стал считать, хотя это порядка получаса (UPD: таки посчитал 29# и 31#, считалось больше 20ч), а следующие соответственно минимум в $p$ раз дольше.
И для 47# Вы так влёгкую предлагаете перебрать $47\#\approx6\cdot10^{17}$ чисел и для каждого посчитать gcd()?! Даже после хорошей оптимизации, на которую уйдёт не один день, скорость явно не превысит $10^8$ в секунду, а значит $6\cdot10^9$ секунд на всё или более 190 лет. Про 59# с его полумиллионом лет лучше вообще молчать.
А не тупой перебор надо ещё придумать и отладить.
Вы как-то соизмеряйте возможности ... Перебрать все числа в праймориале вовсе не то же самое что перемножить несколько тысяч простых чисел.

Меня дико мучает совесть
Но рискну попросить посчитать еще раз. Если можно.

Тот же вопрос, только НЕ на всём протяжении праймориала, а на отрезках до $p_{r+1}^2$,
пожалуйста.

Например, для 11# - вопрос звучит так:
сколько будет интервалов каждой длины, которая там встретиться, - на отрезке от 1 и до $13^2=169$ ?

-- 19.03.2021, 21:00 --

vicvolf в сообщении #1510067 писал(а):

Интервал 29, 31 не входит в ПСВ по модулю 5#=30, так он заканчивается числом 30. Почитайте в теории чисел приведенную систему вычетов по модулю.

Нас, по идее, интересует не ПСВ, как таковой, а все возможные разности между последовательными, взаимно простыми с 5#, числами. На всем числовом ряду.
Ведь главная задача - понять, есть ли какая-то взаимосвязь в строении между праймориалами от разных чисел.
Они ведь как матрешки, друг в друга входят.

Поэтому, например, при рассмотрении устройства 7# мы берем отрезок с семью подряд расположенными 5#.
И смотрим, - какие из интервалов на этом отрезке удлиняются за счет вычеркивания промежутков между ними числом 7

-- 19.03.2021, 21:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1510062 писал(а):

Yury_rsn
Это не я писал, внимательнее смотрите на какую кнопку Вставка нажимаете, это важно.

Извините, ошибся.

-- 19.03.2021, 18:34 --

Цитата:

Кстати в OEIS есть формулы для вычисления количества разностей 2,4,6,8 в любом праймориале. Но для бОльших разностей не нашёл.

Да, я обратил внимание на эти формулы.
Но они какие-то сложно-закрученно-рекуррентные, кажется.
Или мне показалось?

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1510067 писал(а):

Интервал 29, 31 не входит в ПСВ по модулю 5#=30, так он заканчивается числом 30

Состав вычетов ПСВ может быть любым набором взаимно простых чисел
не сравнимых с модулем. Например, по модулю 30.

17-19-23-29-31-37-41-43

Здесь 3 разности 2.

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1510073 писал(а):

Тот же вопрос, только НЕ на всём протяжении праймориала, а на отрезках до $p_{r+1}^2$, пожалуйста.

Например, для 11# - вопрос звучит так: сколько будет интервалов каждой длины, которая там встретиться, - на отрезке от 1 и до $13^2=169$ ?

Держите (посчиталось менее чем за секунду):

Используется синтаксис Text

3#: 2=4 4=4
5#: 2=5 4=5 6=3
7#: 2=8 4=9 6=7 8=2 10=1
11#: 2=10 4=11 6=10 8=1 10=1 12=1 14=1
13#: 2=16 4=14 6=18 8=1 10=3 12=2 14=1 16=1
17#: 2=18 4=17 6=19 8=1 10=5 12=2 14=3 18=1
19#: 2=21 4=23 6=26 8=7 10=7 12=4 14=3 22=1
23#: 2=30 4=30 6=38 8=12 10=15 12=7 14=4 18=1 28=1
29#: 2=30 4=36 6=40 8=15 10=16 12=7 14=6 18=1 20=1 30=1
31#: 2=42 4=44 6=58 8=18 10=22 12=11 14=7 18=3 20=1 22=1 34=1 36=1
37#: 2=48 4=54 6=68 8=23 10=25 12=16 14=9 18=4 20=2 22=1 34=1 40=1
41#: 2=51 4=56 6=72 8=25 10=28 12=18 14=9 16=1 18=5 20=2 22=1 24=1 34=1 42=1
43#: 2=62 4=62 6=80 8=28 10=34 12=21 14=11 16=3 18=7 20=2 22=2 24=2 34=1 46=1
47#: 2=74 4=78 6=100 8=37 10=39 12=27 14=15 16=6 18=8 20=2 22=4 24=2 26=1 34=1 52=1
53#: 2=87 4=92 6=113 8=45 10=44 12=36 14=18 16=11 18=9 20=4 22=5 24=2 26=2 28=2 34=1 58=1
59#: 2=92 4=96 6=121 8=48 10=49 12=38 14=20 16=12 18=9 20=4 22=6 24=2 26=2 28=2 34=1 60=1
61#: 2=110 4=106 6=142 8=52 10=61 12=44 14=24 16=14 18=15 20=5 22=9 24=3 26=2 28=2 30=1 34=1 66=1
67#: 2=122 4=115 6=158 8=55 10=67 12=50 14=28 16=17 18=18 20=5 22=9 24=5 26=2 28=2 30=2 34=1 70=1
71#: 2=123 4=119 6=167 8=58 10=68 12=54 14=30 16=18 18=20 20=5 22=9 24=6 26=2 28=3 30=2 34=1 72=1
73#: 2=138 4=138 6=192 8=68 10=79 12=61 14=34 16=20 18=22 20=8 22=10 24=7 26=3 28=4 30=4 32=1 34=1 78=1
79#: 2=152 4=143 6=212 8=74 10=91 12=64 14=35 16=23 18=27 20=9 22=11 24=9 26=3 28=4 30=5 32=1 34=1 82=1
83#: 2=167 4=162 6=237 8=83 10=100 12=75 14=42 16=26 18=34 20=10 22=12 24=12 26=3 28=4 30=8 32=1 34=1 88=1
89#: 2=187 4=187 6=276 8=96 10=114 12=93 14=51 16=31 18=38 20=15 22=14 24=15 26=3 28=5 30=11 32=1 34=2 96=1
97#: 2=202 4=197 6=296 8=104 10=121 12=107 14=54 16=33 18=40 20=15 22=18 24=15 26=3 28=6 30=11 32=1 34=3 36=1 100=1
101#: 2=209 4=204 6=300 8=108 10=124 12=112 14=56 16=35 18=41 20=17 22=20 24=15 26=3 28=8 30=11 32=1 34=3 36=1 102=1
103#: 2=219 4=214 6=319 8=115 10=134 12=122 14=60 16=39 18=44 20=21 22=21 24=16 26=4 28=9 30=11 32=2 34=3 36=1 106=1
107#: 2=223 4=221 6=328 8=119 10=135 12=127 14=61 16=41 18=44 20=24 22=22 24=18 26=4 28=10 30=11 32=2 34=4 36=1 108=1
109#: 2=234 4=234 6=357 8=130 10=144 12=135 14=64 16=44 18=47 20=26 22=24 24=20 26=6 28=10 30=11 32=2 34=5 36=1 112=1
113#: 2=277 4=290 6=431 8=161 10=180 12=164 14=91 16=54 18=64 20=32 22=30 24=23 26=8 28=13 30=17 32=2 34=5 36=4 44=1 126=1
127#: 2=289 4=302 6=459 8=165 10=184 12=175 14=95 16=57 18=70 20=33 22=31 24=28 26=10 28=15 30=19 32=2 34=5 36=4 42=1 44=1 130=1
131#: 2=315 4=321 6=487 8=177 10=199 12=201 14=99 16=65 18=80 20=38 22=34 24=32 26=10 28=16 30=21 32=2 34=6 36=4 42=1 44=1 136=1
137#: 2=321 4=326 6=497 8=180 10=202 12=205 14=102 16=68 18=84 20=39 22=35 24=33 26=10 28=17 30=22 32=2 34=7 36=5 42=1 44=1 138=1
139#: 2=365 4=366 6=555 8=203 10=230 12=243 14=119 16=75 18=103 20=43 22=41 24=35 26=11 28=19 30=26 32=2 34=9 36=5 40=2 42=1 44=1 52=1 148=1
149#: 2=374 4=373 6=564 8=207 10=236 12=251 14=120 16=77 18=109 20=44 22=41 24=36 26=11 28=19 30=26 32=2 34=9 36=7 40=3 42=1 44=1 52=1 150=1
151#: 2=394 4=396 6=603 8=223 10=251 12=271 14=130 16=84 18=120 20=48 22=45 24=40 26=12 28=21 30=29 32=2 34=9 36=9 40=3 42=1 44=1 52=1 156=1
157#: 2=411 4=419 6=640 8=241 10=269 12=292 14=143 16=93 18=131 20=54 22=48 24=42 26=14 28=22 30=31 32=2 34=9 36=9 40=4 42=1 44=1 52=2 162=1
163#: 2=432 4=432 6=673 8=245 10=276 12=305 14=147 16=99 18=139 20=57 22=53 24=43 26=14 28=24 30=35 32=4 34=9 36=10 40=4 42=1 44=1 52=2 166=1
167#: 2=456 4=455 6=714 8=263 10=294 12=326 14=156 16=108 18=151 20=62 22=58 24=44 26=16 28=26 30=38 32=4 34=10 36=12 40=4 42=1 44=1 48=1 52=2 172=1
173#: 2=480 4=477 6=753 8=279 10=313 12=346 14=163 16=113 18=164 20=69 22=69 24=46 26=17 28=26 30=43 32=4 34=10 36=12 38=1 40=4 42=1 44=1 48=1 50=1 52=2 72=1 178=1
179#: 2=492 4=488 6=772 8=281 10=319 12=353 14=168 16=115 18=165 20=71 22=71 24=49 26=17 28=26 30=44 32=4 34=11 36=13 38=1 40=4 42=1 44=1 48=1 50=1 52=2 72=1 180=1
181#: 2=542 4=528 6=844 8=308 10=356 12=393 14=181 16=125 18=189 20=77 22=82 24=54 26=22 28=28 30=49 32=5 34=12 36=13 38=1 40=5 42=2 44=2 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 190=1
191#: 2=547 4=537 6=859 8=316 10=366 12=405 14=184 16=128 18=193 20=80 22=83 24=54 26=25 28=28 30=49 32=5 34=12 36=13 38=1 40=5 42=2 44=2 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 192=1
193#: 2=567 4=553 6=886 8=329 10=379 12=415 14=191 16=139 18=202 20=84 22=84 24=55 26=25 28=30 30=53 32=5 34=13 36=13 38=2 40=6 42=3 44=3 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 196=1
197#: 2=574 4=563 6=898 8=335 10=391 12=423 14=194 16=141 18=208 20=88 22=84 24=55 26=26 28=30 30=53 32=6 34=13 36=13 38=3 40=6 42=4 44=3 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 198=1
199#: 2=627 4=621 6=993 8=379 10=434 12=475 14=217 16=158 18=225 20=95 22=93 24=70 26=30 28=35 30=61 32=10 34=14 36=15 38=3 40=6 42=4 44=3 48=1 50=1 52=4 54=3 58=1 60=1 62=1 72=1 210=1

Yury_rsn в сообщении #1510073 писал(а):

Да, я обратил внимание на эти формулы.
Но они какие-то сложно-закрученно-рекуррентные, кажется.
Или мне показалось?

Наверное показалось, там лишь сумма/разность произведений (простое-const) в разных комбинациях, ровно как $\varphi(p\#)$, только не 1 вычитается, а 2 или 3 или 4 (ну и начинают с 5), не сложнее чем праймориал.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1510078 писал(а):

Состав вычетов ПСВ может быть любым набором взаимно простых чисел не сравнимых с модулем. Например, по модулю 30.
17-19-23-29-31-37-41-43

Этого недостаточно. Всего в ПСВ по модулю $M$ входит $\varphi(M)$ взаимно простых чисел. Обычно в качестве ПСВ берется приведенная система наименьших положительных вычетов. Можно конечно трактовать по-другому, но обычно для определенности так. Например, когда в качестве модуля берем праймориал $M=7#=210$, то в ПСВ входят вычеты:$1,11,...,199,209$, которые не превосходят 210. Все остальные отступления от этого надо пояснять.

[vorvalm]

Посмотрите у А.А.Бухштаба.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1510093 писал(а):

vorvalm в сообщении #1510078 писал(а):

Состав вычетов ПСВ может быть любым набором взаимно простых чисел не сравнимых с модулем. Например, по модулю 30.
17-19-23-29-31-37-41-43

Этого недостаточно. Всего в ПСВ по модулю $M$ входит $\varphi(M)$ взаимно простых чисел. Обычно в качестве ПСВ берется приведенная система наименьших положительных вычетов. Можно конечно трактовать по-другому, но обычно для определенности так. Например, когда в качестве модуля берем праймориал $M=7#=210$, то в ПСВ входят вычеты:$1,11,...,199,209$, которые не превосходят 210. Все остальные отступления от этого надо пояснять.

Ок, согласен - чтобы не было путаницы, надо пояснить.
Но, я только что пояснил.

Вот явный пример того, что по модулю 30 есть три двойки:
Все близнецы имеют по модулю 30 три непересекающихся варианта - $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$

-- 19.03.2021, 23:10 --

Dmitriy40 в сообщении #1510088 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1510073 писал(а):

Тот же вопрос, только НЕ на всём протяжении праймориала, а на отрезках до $p_{r+1}^2$, пожалуйста.

Например, для 11# - вопрос звучит так: сколько будет интервалов каждой длины, которая там встретиться, - на отрезке от 1 и до $13^2=169$ ?

Держите (посчиталось менее чем за секунду):

Используется синтаксис Text

3#: 2=4 4=4
5#: 2=5 4=5 6=3
7#: 2=8 4=9 6=7 8=2 10=1
11#: 2=10 4=11 6=10 8=1 10=1 12=1 14=1
13#: 2=16 4=14 6=18 8=1 10=3 12=2 14=1 16=1
17#: 2=18 4=17 6=19 8=1 10=5 12=2 14=3 18=1
19#: 2=21 4=23 6=26 8=7 10=7 12=4 14=3 22=1
23#: 2=30 4=30 6=38 8=12 10=15 12=7 14=4 18=1 28=1
29#: 2=30 4=36 6=40 8=15 10=16 12=7 14=6 18=1 20=1 30=1
31#: 2=42 4=44 6=58 8=18 10=22 12=11 14=7 18=3 20=1 22=1 34=1 36=1
37#: 2=48 4=54 6=68 8=23 10=25 12=16 14=9 18=4 20=2 22=1 34=1 40=1
41#: 2=51 4=56 6=72 8=25 10=28 12=18 14=9 16=1 18=5 20=2 22=1 24=1 34=1 42=1
43#: 2=62 4=62 6=80 8=28 10=34 12=21 14=11 16=3 18=7 20=2 22=2 24=2 34=1 46=1
47#: 2=74 4=78 6=100 8=37 10=39 12=27 14=15 16=6 18=8 20=2 22=4 24=2 26=1 34=1 52=1
53#: 2=87 4=92 6=113 8=45 10=44 12=36 14=18 16=11 18=9 20=4 22=5 24=2 26=2 28=2 34=1 58=1
59#: 2=92 4=96 6=121 8=48 10=49 12=38 14=20 16=12 18=9 20=4 22=6 24=2 26=2 28=2 34=1 60=1
61#: 2=110 4=106 6=142 8=52 10=61 12=44 14=24 16=14 18=15 20=5 22=9 24=3 26=2 28=2 30=1 34=1 66=1
67#: 2=122 4=115 6=158 8=55 10=67 12=50 14=28 16=17 18=18 20=5 22=9 24=5 26=2 28=2 30=2 34=1 70=1
71#: 2=123 4=119 6=167 8=58 10=68 12=54 14=30 16=18 18=20 20=5 22=9 24=6 26=2 28=3 30=2 34=1 72=1
73#: 2=138 4=138 6=192 8=68 10=79 12=61 14=34 16=20 18=22 20=8 22=10 24=7 26=3 28=4 30=4 32=1 34=1 78=1
79#: 2=152 4=143 6=212 8=74 10=91 12=64 14=35 16=23 18=27 20=9 22=11 24=9 26=3 28=4 30=5 32=1 34=1 82=1
83#: 2=167 4=162 6=237 8=83 10=100 12=75 14=42 16=26 18=34 20=10 22=12 24=12 26=3 28=4 30=8 32=1 34=1 88=1
89#: 2=187 4=187 6=276 8=96 10=114 12=93 14=51 16=31 18=38 20=15 22=14 24=15 26=3 28=5 30=11 32=1 34=2 96=1
97#: 2=202 4=197 6=296 8=104 10=121 12=107 14=54 16=33 18=40 20=15 22=18 24=15 26=3 28=6 30=11 32=1 34=3 36=1 100=1
101#: 2=209 4=204 6=300 8=108 10=124 12=112 14=56 16=35 18=41 20=17 22=20 24=15 26=3 28=8 30=11 32=1 34=3 36=1 102=1
103#: 2=219 4=214 6=319 8=115 10=134 12=122 14=60 16=39 18=44 20=21 22=21 24=16 26=4 28=9 30=11 32=2 34=3 36=1 106=1
107#: 2=223 4=221 6=328 8=119 10=135 12=127 14=61 16=41 18=44 20=24 22=22 24=18 26=4 28=10 30=11 32=2 34=4 36=1 108=1
109#: 2=234 4=234 6=357 8=130 10=144 12=135 14=64 16=44 18=47 20=26 22=24 24=20 26=6 28=10 30=11 32=2 34=5 36=1 112=1
113#: 2=277 4=290 6=431 8=161 10=180 12=164 14=91 16=54 18=64 20=32 22=30 24=23 26=8 28=13 30=17 32=2 34=5 36=4 44=1 126=1
127#: 2=289 4=302 6=459 8=165 10=184 12=175 14=95 16=57 18=70 20=33 22=31 24=28 26=10 28=15 30=19 32=2 34=5 36=4 42=1 44=1 130=1
131#: 2=315 4=321 6=487 8=177 10=199 12=201 14=99 16=65 18=80 20=38 22=34 24=32 26=10 28=16 30=21 32=2 34=6 36=4 42=1 44=1 136=1
137#: 2=321 4=326 6=497 8=180 10=202 12=205 14=102 16=68 18=84 20=39 22=35 24=33 26=10 28=17 30=22 32=2 34=7 36=5 42=1 44=1 138=1
139#: 2=365 4=366 6=555 8=203 10=230 12=243 14=119 16=75 18=103 20=43 22=41 24=35 26=11 28=19 30=26 32=2 34=9 36=5 40=2 42=1 44=1 52=1 148=1
149#: 2=374 4=373 6=564 8=207 10=236 12=251 14=120 16=77 18=109 20=44 22=41 24=36 26=11 28=19 30=26 32=2 34=9 36=7 40=3 42=1 44=1 52=1 150=1
151#: 2=394 4=396 6=603 8=223 10=251 12=271 14=130 16=84 18=120 20=48 22=45 24=40 26=12 28=21 30=29 32=2 34=9 36=9 40=3 42=1 44=1 52=1 156=1
157#: 2=411 4=419 6=640 8=241 10=269 12=292 14=143 16=93 18=131 20=54 22=48 24=42 26=14 28=22 30=31 32=2 34=9 36=9 40=4 42=1 44=1 52=2 162=1
163#: 2=432 4=432 6=673 8=245 10=276 12=305 14=147 16=99 18=139 20=57 22=53 24=43 26=14 28=24 30=35 32=4 34=9 36=10 40=4 42=1 44=1 52=2 166=1
167#: 2=456 4=455 6=714 8=263 10=294 12=326 14=156 16=108 18=151 20=62 22=58 24=44 26=16 28=26 30=38 32=4 34=10 36=12 40=4 42=1 44=1 48=1 52=2 172=1
173#: 2=480 4=477 6=753 8=279 10=313 12=346 14=163 16=113 18=164 20=69 22=69 24=46 26=17 28=26 30=43 32=4 34=10 36=12 38=1 40=4 42=1 44=1 48=1 50=1 52=2 72=1 178=1
179#: 2=492 4=488 6=772 8=281 10=319 12=353 14=168 16=115 18=165 20=71 22=71 24=49 26=17 28=26 30=44 32=4 34=11 36=13 38=1 40=4 42=1 44=1 48=1 50=1 52=2 72=1 180=1
181#: 2=542 4=528 6=844 8=308 10=356 12=393 14=181 16=125 18=189 20=77 22=82 24=54 26=22 28=28 30=49 32=5 34=12 36=13 38=1 40=5 42=2 44=2 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 190=1
191#: 2=547 4=537 6=859 8=316 10=366 12=405 14=184 16=128 18=193 20=80 22=83 24=54 26=25 28=28 30=49 32=5 34=12 36=13 38=1 40=5 42=2 44=2 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 192=1
193#: 2=567 4=553 6=886 8=329 10=379 12=415 14=191 16=139 18=202 20=84 22=84 24=55 26=25 28=30 30=53 32=5 34=13 36=13 38=2 40=6 42=3 44=3 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 196=1
197#: 2=574 4=563 6=898 8=335 10=391 12=423 14=194 16=141 18=208 20=88 22=84 24=55 26=26 28=30 30=53 32=6 34=13 36=13 38=3 40=6 42=4 44=3 48=1 50=1 52=3 54=1 62=1 72=1 198=1
199#: 2=627 4=621 6=993 8=379 10=434 12=475 14=217 16=158 18=225 20=95 22=93 24=70 26=30 28=35 30=61 32=10 34=14 36=15 38=3 40=6 42=4 44=3 48=1 50=1 52=4 54=3 58=1 60=1 62=1 72=1 210=1

Круто!
Смотрю, что максимальные интервалы не сильно превышают число p.
И во многих случаях равны $p+1$

Интересно, а где они расположены на отрезках до $p_{r+1}^2$
(наглость зашкаливает, я понимаю )

Цитата:

Yury_rsn в сообщении #1510073 писал(а):

Да, я обратил внимание на эти формулы.
Но они какие-то сложно-закрученно-рекуррентные, кажется.
Или мне показалось?

Наверное показалось, там лишь сумма/разность произведений (простое-const) в разных комбинациях, ровно как $\varphi(p\#)$, только не 1 вычитается, а 2 или 3 или 4 (ну и начинают с 5), не сложнее чем праймориал.

Я тогда позже с ними внимательней разберусь. Спасибо.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1510095 писал(а):

Вот явный пример того, что по модулю 30 есть три двойки:
Все близнецы имеют по модулю 30 три непересекающихся варианта - $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$

Вы хотите сказать, что все числа в прогрессиях $11+30t,13+30t,17+30t,19+30t,30t-1, 30t+1$ являются простыми?

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1510097 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1510095 писал(а):

Вот явный пример того, что по модулю 30 есть три двойки:
Все близнецы имеют по модулю 30 три непересекающихся варианта - $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$

Возьмем $t=1$ и получим: $11,43,17,49,-1,31$. Где 3 двойки?

Я имел в виду, что все близнецы представимы в виде $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$

$11, 13 + 30t$ - это (11, 13), (41, 43), (71, 73), ...
$17, 19 + 30t$ - это (17, 19), (107, 109), ...
$-1, 1 + 30t$ - это (29, 31), (59, 61), ...

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1510095 писал(а):

Интересно, а где они расположены на отрезках до $p_{r+1}^2$

Если максимальные, то начиная с $1$ (за одним исключением для $11\#$). Если другие, то там красивее (после двоеточия где разность встретилась впервые):

Используется синтаксис Text

3#: 2=4:5 4=4:1
5#: 2=5:11 4=5:7 6=3:1
7#: 2=8:11 4=9:13 6=7:23 8=2:89 10=1:1
11#: 2=10:17 4=11:13 6=10:23 8=1:89 10=1:139 12=1:1 14=1:113
13#: 2=16:17 4=14:19 6=18:23 8=1:89 10=3:139 12=2:199 14=1:113 16=1:1
17#: 2=18:29 4=17:19 6=19:23 8=1:89 10=5:139 12=2:199 14=3:113 18=1:1
19#: 2=21:29 4=23:37 6=26:23 8=7:89 10=7:139 12=4:199 14=3:113 22=1:1
23#: 2=30:29 4=30:37 6=38:31 8=12:89 10=15:139 12=7:199 14=4:113 18=1:523 28=1:1
29#: 2=30:41 4=36:37 6=40:31 8=15:89 10=16:139 12=7:199 14=6:113 18=1:523 20=1:887 30=1:1
31#: 2=42:41 4=44:37 6=58:47 8=18:89 10=22:139 12=11:199 14=7:113 18=3:523 20=1:887 22=1:1129 34=1:1327 36=1:1
37#: 2=48:41 4=54:43 6=68:47 8=23:89 10=25:139 12=16:199 14=9:113 18=4:523 20=2:887 22=1:1129 34=1:1327 40=1:1
41#: 2=51:59 4=56:43 6=72:47 8=25:89 10=28:139 12=18:199 14=9:113 16=1:1831 18=5:523 20=2:887 22=1:1129 24=1:1669 34=1:1327 42=1:1
43#: 2=62:59 4=62:67 6=80:47 8=28:89 10=34:139 12=21:199 14=11:113 16=3:1831 18=7:523 20=2:887 22=2:1129 24=2:1669 34=1:1327 46=1:1
47#: 2=74:59 4=78:67 6=100:53 8=37:89 10=39:139 12=27:199 14=15:113 16=6:1831 18=8:523 20=2:887 22=4:1129 24=2:1669 26=1:2477 34=1:1327 52=1:1
53#: 2=87:59 4=92:67 6=113:61 8=45:89 10=44:139 12=36:199 14=18:113 16=11:1831 18=9:523 20=4:887 22=5:1129 24=2:1669 26=2:2477 28=2:2971 34=1:1327 58=1:1
59#: 2=92:71 4=96:67 6=121:61 8=48:89 10=49:139 12=38:199 14=20:113 16=12:1831 18=9:523 20=4:887 22=6:1129 24=2:1669 26=2:2477 28=2:2971 34=1:1327 60=1:1
61#: 2=110:71 4=106:67 6=142:73 8=52:89 10=61:139 12=44:199 14=24:113 16=14:1831 18=15:523 20=5:887 22=9:1129 24=3:1669 26=2:2477 28=2:2971 30=1:4297 34=1:1327 66=1:1
67#: 2=122:71 4=115:79 6=158:73 8=55:89 10=67:139 12=50:199 14=28:113 16=17:1831 18=18:523 20=5:887 22=9:1129 24=5:1669 26=2:2477 28=2:2971 30=2:4297 34=1:1327 70=1:1
71#: 2=123:101 4=119:79 6=167:73 8=58:89 10=68:139 12=54:199 14=30:113 16=18:1831 18=20:523 20=5:887 22=9:1129 24=6:1669 26=2:2477 28=3:2971 30=2:4297 34=1:1327 72=1:1
73#: 2=138:101 4=138:79 6=192:83 8=68:89 10=79:139 12=61:199 14=34:113 16=20:1831 18=22:523 20=8:887 22=10:1129 24=7:1669 26=3:2477 28=4:2971 30=4:4297 32=1:5591 34=1:1327 78=1:1
79#: 2=152:101 4=143:97 6=212:83 8=74:89 10=91:139 12=64:199 14=35:113 16=23:1831 18=27:523 20=9:887 22=11:1129 24=9:1669 26=3:2477 28=4:2971 30=5:4297 32=1:5591 34=1:1327 82=1:1
83#: 2=167:101 4=162:97 6=237:131 8=83:89 10=100:139 12=75:199 14=42:113 16=26:1831 18=34:523 20=10:887 22=12:1129 24=12:1669 26=3:2477 28=4:2971 30=8:4297 32=1:5591 34=1:1327 88=1:1
89#: 2=187:101 4=187:97 6=276:131 8=96:359 10=114:139 12=93:199 14=51:113 16=31:1831 18=38:523 20=15:887 22=14:1129 24=15:1669 26=3:2477 28=5:2971 30=11:4297 32=1:5591 34=2:1327 96=1:1
97#: 2=202:101 4=197:103 6=296:131 8=104:359 10=121:139 12=107:199 14=54:113 16=33:1831 18=40:523 20=15:887 22=18:1129 24=15:1669 26=3:2477 28=6:2971 30=11:4297 32=1:5591 34=3:1327 36=1:9551 100=1:1
101#: 2=209:107 4=204:103 6=300:131 8=108:359 10=124:139 12=112:199 14=56:113 16=35:1831 18=41:523 20=17:887 22=20:1129 24=15:1669 26=3:2477 28=8:2971 30=11:4297 32=1:5591 34=3:1327 36=1:9551 102=1:1
103#: 2=219:107 4=214:109 6=319:131 8=115:359 10=134:139 12=122:199 14=60:113 16=39:1831 18=44:523 20=21:887 22=21:1129 24=16:1669 26=4:2477 28=9:2971 30=11:4297 32=2:5591 34=3:1327 36=1:9551 106=1:1
107#: 2=223:137 4=221:109 6=328:131 8=119:359 10=135:139 12=127:199 14=61:113 16=41:1831 18=44:523 20=24:887 22=22:1129 24=18:1669 26=4:2477 28=10:2971 30=11:4297 32=2:5591 34=4:1327 36=1:9551 108=1:1
109#: 2=234:137 4=234:127 6=357:131 8=130:359 10=144:139 12=135:199 14=64:113 16=44:1831 18=47:523 20=26:887 22=24:1129 24=20:1669 26=6:2477 28=10:2971 30=11:4297 32=2:5591 34=5:1327 36=1:9551 112=1:1
113#: 2=277:137 4=290:127 6=431:131 8=161:359 10=180:139 12=164:199 14=91:293 16=54:1831 18=64:523 20=32:887 22=30:1129 24=23:1669 26=8:2477 28=13:2971 30=17:4297 32=2:5591 34=5:1327 36=4:9551 44=1:15683 126=1:1
127#: 2=289:137 4=302:163 6=459:131 8=165:359 10=184:139 12=175:199 14=95:293 16=57:1831 18=70:523 20=33:887 22=31:1129 24=28:1669 26=10:2477 28=15:2971 30=19:4297 32=2:5591 34=5:1327 36=4:9551 42=1:16141 44=1:15683 130=1:1
131#: 2=315:137 4=321:163 6=487:151 8=177:359 10=199:139 12=201:199 14=99:293 16=65:1831 18=80:523 20=38:887 22=34:1129 24=32:1669 26=10:2477 28=16:2971 30=21:4297 32=2:5591 34=6:1327 36=4:9551 42=1:16141 44=1:15683 136=1:1
137#: 2=321:149 4=326:163 6=497:151 8=180:359 10=202:139 12=205:199 14=102:293 16=68:1831 18=84:523 20=39:887 22=35:1129 24=33:1669 26=10:2477 28=17:2971 30=22:4297 32=2:5591 34=7:1327 36=5:9551 42=1:16141 44=1:15683 138=1:1
139#: 2=365:149 4=366:163 6=555:151 8=203:359 10=230:181 12=243:199 14=119:293 16=75:1831 18=103:523 20=43:887 22=41:1129 24=35:1669 26=11:2477 28=19:2971 30=26:4297 32=2:5591 34=9:1327 36=5:9551 40=2:19333 42=1:16141 44=1:15683 52=1:19609 148=1:1
149#: 2=374:179 4=373:163 6=564:151 8=207:359 10=236:181 12=251:199 14=120:293 16=77:1831 18=109:523 20=44:887 22=41:1129 24=36:1669 26=11:2477 28=19:2971 30=26:4297 32=2:5591 34=9:1327 36=7:9551 40=3:19333 42=1:16141 44=1:15683 52=1:19609 150=1:1
151#: 2=394:179 4=396:163 6=603:157 8=223:359 10=251:181 12=271:199 14=130:293 16=84:1831 18=120:523 20=48:887 22=45:1129 24=40:1669 26=12:2477 28=21:2971 30=29:4297 32=2:5591 34=9:1327 36=9:9551 40=3:19333 42=1:16141 44=1:15683 52=1:19609 156=1:1
157#: 2=411:179 4=419:163 6=640:167 8=241:359 10=269:181 12=292:199 14=143:293 16=93:1831 18=131:523 20=54:887 22=48:1129 24=42:1669 26=14:2477 28=22:2971 30=31:4297 32=2:5591 34=9:1327 36=9:9551 40=4:19333 42=1:16141 44=1:15683 52=2:19609 162=1:1
163#: 2=432:179 4=432:193 6=673:167 8=245:359 10=276:181 12=305:199 14=147:293 16=99:1831 18=139:523 20=57:887 22=53:1129 24=43:1669 26=14:2477 28=24:2971 30=35:4297 32=4:5591 34=9:1327 36=10:9551 40=4:19333 42=1:16141 44=1:15683 52=2:19609 166=1:1
167#: 2=456:179 4=455:193 6=714:173 8=263:359 10=294:181 12=326:199 14=156:293 16=108:1831 18=151:523 20=62:887 22=58:1129 24=44:1669 26=16:2477 28=26:2971 30=38:4297 32=4:5591 34=10:1327 36=12:9551 40=4:19333 42=1:16141 44=1:15683 48=1:28229 52=2:19609 172=1:1
173#: 2=480:179 4=477:193 6=753:233 8=279:359 10=313:181 12=346:199 14=163:293 16=113:1831 18=164:523 20=69:887 22=69:1129 24=46:1669 26=17:2477 28=26:2971 30=43:4297 32=4:5591 34=10:1327 36=12:9551 38=1:30593 40=4:19333 42=1:16141 44=1:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=2:19609 72=1:31397 178=1:1
179#: 2=492:191 4=488:193 6=772:233 8=281:359 10=319:181 12=353:199 14=168:293 16=115:1831 18=165:523 20=71:887 22=71:1129 24=49:1669 26=17:2477 28=26:2971 30=44:4297 32=4:5591 34=11:1327 36=13:9551 38=1:30593 40=4:19333 42=1:16141 44=1:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=2:19609 72=1:31397 180=1:1
181#: 2=542:191 4=528:193 6=844:233 8=308:359 10=356:241 12=393:199 14=181:293 16=125:1831 18=189:523 20=77:887 22=82:1129 24=54:1669 26=22:2477 28=28:2971 30=49:4297 32=5:5591 34=12:1327 36=13:9551 38=1:30593 40=5:19333 42=2:16141 44=2:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=3:19609 54=1:35617 62=1:34061 72=1:31397 190=1:1
191#: 2=547:197 4=537:193 6=859:233 8=316:359 10=366:241 12=405:199 14=184:293 16=128:1831 18=193:523 20=80:887 22=83:1129 24=54:1669 26=25:2477 28=28:2971 30=49:4297 32=5:5591 34=12:1327 36=13:9551 38=1:30593 40=5:19333 42=2:16141 44=2:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=3:19609 54=1:35617 62=1:34061 72=1:31397 192=1:1
193#: 2=567:197 4=553:223 6=886:233 8=329:359 10=379:241 12=415:199 14=191:293 16=139:1831 18=202:523 20=84:887 22=84:1129 24=55:1669 26=25:2477 28=30:2971 30=53:4297 32=5:5591 34=13:1327 36=13:9551 38=2:30593 40=6:19333 42=3:16141 44=3:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=3:19609 54=1:35617 62=1:34061 72=1:31397 196=1:1
197#: 2=574:227 4=563:223 6=898:233 8=335:359 10=391:241 12=423:199 14=194:293 16=141:1831 18=208:523 20=88:887 22=84:1129 24=55:1669 26=26:2477 28=30:2971 30=53:4297 32=6:5591 34=13:1327 36=13:9551 38=3:30593 40=6:19333 42=4:16141 44=3:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=3:19609 54=1:35617 62=1:34061 72=1:31397 198=1:1
199#: 2=627:227 4=621:223 6=993:233 8=379:359 10=434:241 12=475:211 14=217:293 16=158:1831 18=225:523 20=95:887 22=93:1129 24=70:1669 26=30:2477 28=35:2971 30=61:4297 32=10:5591 34=14:1327 36=15:9551 38=3:30593 40=6:19333 42=4:16141 44=3:15683 48=1:28229 50=1:31907 52=4:19609 54=3:35617 58=1:44293 60=1:43331 62=1:34061 72=1:31397 210=1:1

Насчёт формул для разностей.
Для разностей 2 и 4: $n_4(p\#)=\prod(x-2),\;\;\;n_2(p\#)=n_4(p\#)-1$
Для разности 6: $n_6(p\#)=2\prod(x-2)-2\prod(x-3)$
Для разности 8: $n_8(p\#)=\prod(x-2)-2\prod(x-3)+\prod(x-4)$
Все произведения берутся по всем простым $x$ в пределах $5 \le x \le p$. Странно что не с $2$, а с $5$.