Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1510098 писал(а):

Я имел в виду, что все близнецы представимы в виде $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$
$11, 13 + 30t$ - это (11, 13), (41, 43), (71, 73), ...
$17, 19 + 30t$ - это (17, 19), (107, 109), ...
$-1, 1 + 30t$ - это (29, 31), (59, 61), ...

Арифметические прогрессии не состоят только из простых

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Все простые близнецы представимы и в форме $3\#\pm1=6\pm1$ — и что с этого?

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1510101 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1510098 писал(а):

Я имел в виду, что все близнецы представимы в виде $11, 13 + 30t$, $17, 19 + 30t$, $-1, 1 + 30t$
$11, 13 + 30t$ - это (11, 13), (41, 43), (71, 73), ...
$17, 19 + 30t$ - это (17, 19), (107, 109), ...
$-1, 1 + 30t$ - это (29, 31), (59, 61), ...

Арифметические прогрессии не состоят только из простых

Интересный эффект. Чем подробнее пытаешься объяснить свою мысль, тем больше всё запутывается

Давайте вернемся к началу. Забудем про близнецы.

Есть бесконечный ряд чисел, взаимно простых с 30.
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 , 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, ... (1)
Возьмем любые два натуральных числа, разница между которыми равна 30.
Например, 8 и 38.

И рассмотрим все числа, взаимно простые с 30, которые попадают в интервал между 8 и 38.
Мы можем утверждать, что среди этих чисел обязательно встретятся три пары, разница между которыми равна 2. В данном случае, это 11 и 13, 17 и 19, а также 29 и 31.

Другой пример. Отрезок между 25 и 55.
И на этом интервале обязательно встретится три пары взаимно простых с 30 чисел, разница между которыми равна 2.
Это будет 29 и 31, 41 и 43, 47 и 49.
Всё.
---------------
Тоже самое написал vorvalm:

Состав вычетов может быть любым набором взаимно простых чисел
не сравнимых с модулем. Например, по модулю 30.

17-19-23-29-31-37-41-43

Здесь 3 разности 2.

[vorvalm]

Yury_rsn
Не подскажите номер OEIS, где даны формулы разностей ?

[Dmitriy40]

vorvalm
Я их выложил на предыдущей странице, а взял из раздела PROG следующих последовательностей: A059861, A271564, A271565.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1510120 писал(а):

Давайте вернемся к началу. Забудем про близнецы.

Есть бесконечный ряд чисел, взаимно простых с 30.
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 , 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, ... (1)
Возьмем любые два натуральных числа, разница между которыми равна 30.
Например, 8 и 38.

И рассмотрим все числа, взаимно простые с 30, которые попадают в интервал между 8 и 38.
Мы можем утверждать, что среди этих чисел обязательно встретятся три пары, разница между которыми равна 2. В данном случае, это 11 и 13, 17 и 19, а также 29 и 31.

Другой пример. Отрезок между 25 и 55.
И на этом интервале обязательно встретится три пары взаимно простых с 30 чисел, разница между которыми равна 2.
Это будет 29 и 31, 41 и 43, 47 и 49.
Всё.
---------------
Тоже самое написал vorvalm:

Состав вычетов может быть любым набором взаимно простых чисел
не сравнимых с модулем. Например, по модулю 30.

17-19-23-29-31-37-41-43

Здесь 3 разности 2.

Я это понимаю и согласен. Однако надо учесть, что получаются не простые, а взаимно простые близнецы.

В отношении ПСВ разговор идет только об обозначениях. Мы с vorvalm давно обсуждали этот вопрос в теме о гипотезе Гильбрайта. Я предложил тогда ПСВm для обозначения всех минимальных положительных вычетов ПСВ по модулю m, а nПСВm - последовательность вычетов, состоящую из n последовательных ПСВm. Мне это нужно было для описания различных свойств ПСВ. Поэтому мне это привычнее.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1510137 писал(а):

vorvalm
Я их выложил на предыдущей странице, а взял из раздела PROG следующих последовательностей: A059861, A271564, A271565.

Есть еще для 10 - A285298

-- 20.03.2021, 13:09 --

Dmitriy40 в сообщении #1510099 писал(а):

Насчёт формул для разностей.
Для разностей 2 и 4: $n_4(p\#)=\prod(x-2),\;\;\;n_2(p\#)=n_4(p\#)-1$
Для разности 6: $n_6(p\#)=2\prod(x-2)-2\prod(x-3)$
Для разности 8: $n_8(p\#)=\prod(x-2)-2\prod(x-3)+\prod(x-4)$
Все произведения берутся по всем простым $x$ в пределах $5 \le x \le p$. Странно что не с $2$, а с $5$.

A285298
Для разности 10: $n(p\#)= 4\prod(p-2) - 6\prod(p-3) + 2\prod(p-4)$

PS
Кстати, весь вчерашний спор про "ПСВ и двойках" был об этой формуле
$n_2(p\#)=n_4(p\#)-1$

Я всё пытался доказать, что на самом деле
$n_2(p\#)=n_4(p\#)$

"Двоек" на самом деле на одну больше.

[vorvalm]

Dmitriy40
Yury_rsn
Спасибо. Но эти формуле мне давно известны.
Более того, могу привести аналогичные формулы вплоть до разностей
$d = 34\;\;\; (\varphi(19\#)) $

[Yury_rsn]

vorvalm в сообщении #1510154 писал(а):

Dmitriy40
Yury_rsn
Спасибо. Но эти формуле мне давно известны.
Более того, могу привести аналогичные формулы вплоть до разностей
$d = 34\;\;\; (\varphi(19\#)) $

Ок.
Вы раньше говорили, что для разности 40 при 23# знаете, что должно быть 6 (12).
Для 40 тоже есть формулы?

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1510151 писал(а):

A285298
Для разности 10: $n(p\#)= 4\prod(p-2) - 6\prod(p-3) + 2\prod(p-4)$

Ага, вижу, действительно.
Только здесь произведение берётся не от $5$, а от $7$.
Или для совместимости с предыдущими надо поделить коэффициенты: $n_{10}(p\#)= 4/3\prod(p-2) - 3\prod(p-3) + 2\prod(p-4)$, тогда тоже от $5$.

[vicvolf]

Итак доказательство бесконечности простых близнецов следующее:

1. Возьмем любые два натуральных числа, расстояние между которыми равно 30. Мы можем утверждать, что между ними находятся три пары взаимно простых близнецов по модулю 30.

2.Возьмем интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$, длиною больше 30. Это $p_r=7,p_{r+1}=11$, так как $11^2-7^2=72>30$. Следовательно, на данном интервале и при $p_r >7$ не менее трех пар взаимно простых близнецов по модулю 30.

3. Учитывая, что на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся только простые числа, то при $p_r \geq 7$ на любом интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся, как минимум, три пары простых близнецов.

4.Учитывая, что количество простых чисел бесконечно, то меняя значение $r$ от 7 и далее приходим к данному утверждению.

Очень просто, красиво и пока не вижу противоречий!

[vorvalm]

vicvolf
Ну, очень похоже на Батороева.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1510162 писал(а):

3. Учитывая, что на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся только простые числа, то при $p_r \geq 7$ на любом интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся, как минимум, три пары простых близнецов.

Контрпримеры: $p_r=\{11,17,29\}$.
Так что не на любом, а возможно лишь при $p_r>29$ (или, что вероятно, больше того самого праймориала), что ломает всю логику "доказательства".

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1510157 писал(а):

Для 40 тоже есть формулы?

Извините, нет. Этими разностями я занимался еще в Советском Союзе.
Тогда компьютеры были недоступны, но были калькуляторы.
Во-первых, я упростил запись этих формул, заметив, что функция Эйлера
по модулю $M=p\#$ равна $\varphi(M)=\prod (p-1) $ по всем $p$ модуля $M$
По аналогии $\varphi_2(M)=\prod(p-2),\;\;\varphi_3(M)=\prod(p-3)$ и т.д. причем
модуль $M$можно опустить. Тогда получим такую запись этих формул.

$N(6)=2(\varphi_2-\varphi_3)$
...............................................................
$N(12)=2\varphi_2-7\varphi_3+10\vaphi_4-2\varphi_5$
$N(16)=\varphi_2-5\varphi_3+12\varphi_4-6\varphi_5+\varphi_6$

В остальных формулах коэффициенты в основном дробные и число слагаемых
увеличивается с ростом разности. Вся сложность в определении коэффициентов к функциям $\varphi_n$
А разности $d=40$ я обнаружил, когда работал над формулой разности $d=38$
Обычно, найдя новую формулу, я проверял ее суммой произведений разностей на число этих разностей,
которая должна быть равна модулю. Но по формуле $d=38$ сумма не сходилась на 480.
И мне пришлось искать эту разность в ПСВ($23\#$) другим методом.

[Батороев]

(Оффтоп)

vorvalm в сообщении #1510190 писал(а):

Тогда компьютеры были недоступны, но были калькуляторы.
Во-первых, я упростил запись этих формул, заметив, что функция Эйлера
по модулю $M=p\#$ равна $\varphi(M)=\prod (p-1) $ по всем $p$ модуля $M$
По аналогии $\varphi_2(M)=\prod(p-2),\;\;\varphi_3(M)=\prod(p-3)$ и т.д. причем
модуль $M$можно опустить. Тогда получим такую запись этих формул.

Если я промолчу, то чувствую, что вы скоро начнете утверждать, что научили всем этим премудростям Батороева.