Асимптотика сумматорных функций простого аргумента

[vicvolf]

Рассмотрим еще один пример.

Найти асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел.

Обозначим $A=\prod_{p \leq n} {p}$. Тогда $\log A=\sum_{p \leq n} {\log(p)}$ (1).

Ранее мы определяли асимптотику такой суммы:

vicvolf в сообщении #1469273 писал(а):

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$ (2).

Если справедлива гипотеза Римана, то асимптотика данной суммы имеет вид:


$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n^{1/2+\epsilon}})$ (3).

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n/\log(n))}=O(e^{n+n/\log(n)})$ (4).

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n^{1/2+\epsilon})}=O(e^{n+n^{1/2+\epsilon}})$ (5).

[Null]

$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

[vicvolf]

Null в сообщении #1470491 писал(а):

$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

Да, ошибся. Исправлю.

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_1n/\log(n)}$ (4), где постоянная $c_1>0$.

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_2n^{1/2+\epsilon}}$ (5), где постоянная $c_2>0$.

[vicvolf]

Эквивалентные формулировки гипотезы Римана для суммы функций простых чисел


Утверждение

В случае, если функция $f$ монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то при справедливости гипотезы Римана (ГР), выполняется наилучшая оценка остаточного члена асимптотики:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).(1)$$

Доказательство


Пусть $a_k=1$, если k-простое и $a_k=0$ в противном случае. Тогда обозначим: $A(n)=\pi(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}$.

Если справедлива ГР:

$$A(n)=\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n\log^{1/2}(n)).(2)$$

Далее, если функция $f$ - монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}= \sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_2^n {A(t)f'(t)dt}.(3)$$

Подставим (2) в (3) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=f(n) \int_2^n {\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt).(4)$$

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}=f(n)\int_2^n{\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}.(5)$$

Подставим (5) в (4) и получим:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}),(6)$$

что соответствует утверждению.

Данная оценка остаточного члена является наилучшей.

В этом можно убедиться, сопоставив остаточный член в данном утверждении с соответствующими оценками в данной теме.

Формула (6) является эквивалентной формулировкой ГР для сумм функций простых чисел и из нее получаются частные случаи:


1. $\pi(n)=\sum_{p \leq n}{1}=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log(n))$. (7)

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log^2(n))+O(\int_2^n{{t^{-1/2}\log(t)dt)=n+O(n^{1/2}\log^2(n))$.(8)

3.$\sum_{p \leq n}{\frac {\log(p)}{p}}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\log^2(n)n^{1/2}}{n})$$+O(\int_2^n{\frac {t^{1/2}\log(t)dt}{t})=\log(n)+O(n^{-1/2}\log^2(n))$.(9)

4.$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))+O(\int_2^n{t^{\alpha-1/2}\log(t)dt})=$$\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))$,(10)

где $\alpha >-1$.

Формулы (7) и (8) являются известными эквивалентными формулировками ГР для сумм функций простых чисел, а формулы (9) и (10) являются новыми эквивалентными формулировками ГР.

[vicvolf]

В формулах (1) и (6) исправлю описку:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).$$

В формалах (7)-(10) все правильно.

[vicvolf]

Null Используя полученные в теме результаты рассмотрим различные случаи суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$, где $|f(p}| \leq 1$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$.(1)

Сначала рассмотрим сходимость некоторых рядов от простого аргумента:

$\sum_{p=2}^\infty \frac {1}{p^2} \leq \sum_{n=2}^\infty \frac {1}{n^2}$ - сходится,

$\sum_{p=2}^\infty \frac {1}{p\ln^2(p)} \leq \sum_{n=2}^\infty \frac {1}{n\ln^2(n)}$ - сходится.

Теперь рассмотрим сумму вида (1), где $f(p)=1/\ln(p)$.

При $p =3 > e, \ln(p)>1, 1/\ln(p)<1$, т.е. выполняется условие $|f(p}| \leq 1$.

Поэтому в данном случае сумма имеет вид:

$\sum_{p=3}^n \frac {1}{p\ln(p)}$.(2)

Для использования формул данной работы к сумме (2) проверим выполнение необходимых условий. Начнем с 3-его условия.

Обозначим $g(t)=\frac {1}{t\ln(t)}$, тогда 3 -ее условие запишется в виде:

$\lim_{n \to \infty} {\int_3^n \frac {tg'(t)dt}{\ln(t)}}=\infty(-\infty)$.(3)

Найдем $g'(t)=-\frac {1}{t^2}(1/\ln(t)-1/\ln^2(t))$, подставим в (3) и получим:

$-\lim_{n \to \infty} {(\int_3^n{\frac{d\ln(t)}{ln^2(t)}}+\int_3^n{\frac{d\ln(t)}{ln^3(t)})=C$ , где $C$ -постоянная, т.е. 3-ее условие не выполняется.

В данном случае ряд $\sum_3^{\infty} \frac {1}{p\ln(p)}$ - сходится, поэтому не выполняется условие (1): $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$.

Рассмотрим другую сумму вида (1), где $f(p)=1/\ln\ln(p)$.

При $p=11 > e^e, \ln\ln(p)>1, 1/\ln\ln(p)<1$, т.е. выполняется условие $|f(p}| \leq 1$.

В этом случае необходимые и достаточные условия использования формул данной работы выполняются.

Для нахождения асимптотики $\sum_{p=11}^n \frac {1}{p\ln\ln(p)}$ воспользуемся наиболее точной формулой, при предположении выполнения гипотезы Римана:

$\sum_{p \leq n} {g(p)}=\int_2^n \frac {g(t)dt}{\ln(t)}+O(|g(n)|n^{1/2}\ln(n))+O(\int_2^n |g'(t))t^{1/2}\ln(t)dt)$.(4)

На основании (4) получим:

$\sum_{p=11}^n \frac {1}{p\ln\ln(p)}=\int_{11}^n {\frac {d(\ln\ln(t))}{\ln\ln(t)}}+O(\frac {\ln(n)}{n^{1/2}\ln\ln(t)})=\ln\ln\ln(n)+O(1)$.

Теперь рассмотрим $f(p)=1-1/p<1$.

Найдем асимптотику данной суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {1-1/p}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}- \sum_{p \leq n} \frac {1}{p^2}=\ln\ln(n)+O(1)$, так ряд $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится.


Рассмотрим $f(p)=1-1/\ln(p)<1$.

Найдем асимптотику данной суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {1-1/\ln(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}- \sum_{p \leq n} \frac {1}{p\ln(p)}=\ln\ln(n)+O(1)$, так ряд $\sum_{p =3}^{\infty} \frac {1}{p\ln(p)}$ - сходится.

[vicvolf]

Из сказанного выше сделаем следующие выводы:

1. Если $f(p)=C$, где $0 \leq C \leq 1$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

2. Если $f(p)$ монотонно возрастает и $\lim_{p \to \infty}=C$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

3. Если $f(p)$ монотонно убывает, как $\frac {C}{\ln\ln(p)}$ или медленнее, то асимптотика суммы равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln\ln(n)$

или растет медленнее.

4. Если $f(p)$ монотонно убывает, как $\frac {C}{\ln(p)}$ или быстрее, то ряд:

$\sum_{p=p_0}^{\infty} \frac {f(p)}{p} (p_o \geq 2)$ - сходится.

Поэтому условиям $|f(p)| \leq 1$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty,n \to \infty$ удовлетворяют случаи 1-3.

Закрыто как очередной блог.