2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.05.2020, 13:25 


23/02/12
2191
Добрый день, уважаемые участники форума.
Одной из проблем теории простых чисел является определение сумм с простыми числами. Доказательство теорем на данную тему является достаточно трудоемким. В этом можно убедиться, изучая известные монографии Прахара, Бухштаба и.т.д.
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
но я не уверен в ее справедливости. Буду благодарен за замечания и предложения.
Приведу некоторое ее обоснование.
Пусть $f$- последовательность простых чисел. Обозначим $P_{a,b}$ - дискретную равномерную меру на интервале$[a,b)$. Известно, что эта мера является вероятностной мерой и для последовательности простых чисел равна плотности последовательности $f$ на данном интервале - $d(f,a,b)$. Тогда справедливо утверждение.
Утверждение
Вероятность натурального числа из интервала $[2,x)$ быть простым равна:
$P_{2,x}(f)=d(f,2,x)=1/\log(x)(1+o(1))$. (1)
Доказательство
На основании асимптотического закона простых чисел количество простых чисел, не превосходящих $x$ равно:
$\pi(x)=x/\log(x)(1+o(1))$ (2)
при $x \to \infty$.
Учитывая (2) получаем значение плотности простых чисел на интервале $[2,x)$:
$d(f,2,x)=\pi(x)/x=1/\log(x)(1+o(1))$ (3)
На основании того, что найденная в (3) плотность является вероятностной мерой, получим (1).
Сумматорной функцией простого аргумента является арифметическая функция вида:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)$, (4)
где $p$- простое число.
Обратим внимание, что последовательность значений $f(p):f(2),f(3),f(5),…$ получается просеиванием последовательности значений $f(n):f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…$.
Таким образом, арифметическая функция $f(p)=f(n)$, если $n$ равно $p$, и $f(p)=0$, если $n$ не равно $p$.
Учитывая сказанное и доказанное выше утверждение:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)} (1+o(1))}$. (5)
Рассмотрим примеры определения асимптотики сумматорных функций простого аргумента с использованием (5).
Используя (5) и формулу Маклерона получим:
$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)
$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)
$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)
Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.
На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.
Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):
$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)
где $l \geq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 10:57 


23/02/12
2191
Если замечаний нет, то наверно формула (5) верна. Это приятно, так как значительно упрощает доказательство теорем на данную тему и сводит определение асимптотик сумм с простыми числами к использованию формулы Маклерона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 11:58 
Заслуженный участник


20/12/10
7313
vicvolf в сообщении #1463341 писал(а):
Если замечаний нет
Не обольщайтесь на этот счет, просто читать Ваши неряшливо написанные тексты немного желающих. Это тяжелая и неблагодарная работа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 12:58 


23/02/12
2191
Все таки надеюсь, что кто-то прочитал или прочитает. Я старался изложить текст по-возможности подробно и с примерами. При необходимости готов пояснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13568
Москва
nnosipov в сообщении #1463347 писал(а):
Не обольщайтесь на этот счет, просто читать Ваши неряшливо написанные тексты немного желающих. Это тяжелая и неблагодарная работа.

Именно так! Например:
vicvolf в сообщении #1462270 писал(а):
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

У меня при чтении этой формулы не вызывает сомнений факт, что символом $f$ обозначена некоторая функция натурального аргумента. Но, чуть ниже, написано:
vicvolf в сообщении #1462270 писал(а):
Пусть $f$- последовательность простых чисел.

На этом месте я понимаю, что ничего не понимаю в этих обозначениях, вопрошаю себя "а не пошла бы эта ахинея лесом?" и бросаю читать.
А бегать за аффтаром многочисленных путаных опусов и выяснять все эти путаницы нет никакого желания, есть дела и поинтереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 16:31 


23/02/12
2191
Спасибо, действительно неточность в обозначении. Исправлю.

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
но я не уверен в ее справедливости. Буду благодарен за замечания и предложения.

Приведу некоторое ее обоснование.

Пусть $g$- последовательность простых чисел. Обозначим $P_{a,b}$ - дискретную равномерную меру на интервале$[a,b)$. Известно, что эта мера является вероятностной мерой и для последовательности простых чисел равна плотности последовательности $g$ на данном интервале - $d(g,a,b)$. Тогда справедливо утверждение.

Утверждение

Вероятность натурального числа из интервала $[2,n)$ быть простым равна:
$P_{2,n}(g)=d(g,2,n)=1/\log(n)(1+o(1))$. (1)

Доказательство

На основании асимптотического закона простых чисел количество простых чисел, не превосходящих $n$ равно:
$\pi(n)=n/\log(n)(1+o(1))$. (2)

Учитывая (2) получаем значение плотности простых чисел на интервале $[2,n)$:
$d(g,2,n)=\pi(n)/n=1/\log(n)(1+o(1))$ (3)

На основании того, что найденная в (3) плотность является вероятностной мерой, получим (1).

Сумматорной функцией простого аргумента является арифметическая функция вида:

$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)$, (4)
где $p$- простое число.

Обратим внимание, что последовательность значений $f(p):f(2),f(3),f(5),…$ получается просеиванием последовательности значений $f(n):f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…$.

Таким образом, арифметическая функция $f(p)=f(n)$, если $n$ равно $p$, и $f(p)=0$, если $n$ не равно $p$.

Учитывая сказанное и доказанное выше утверждение:

$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)} (1+o(1))}$. (5)

Рассмотрим примеры определения асимптотики сумматорных функций простого аргумента с использованием (5).
Используя (5) и формулу Маклерона получим:

$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)

$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)

$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)

Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.

На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.

Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):

$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)

где $l \geq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.05.2020, 18:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение18.05.2020, 11:00 


23/02/12
2191
Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 10:31 


23/02/12
2191
Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):
vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.
Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:
$\pi (n)= \sum_{p \leq n} {1}= \sum_{k=2}^n {\frac {1} {log(k)} (1+o(1))}=\int_{k=2}^n {\frac {dk} {log(k)} (1+o(1))}$ или $\pi(n) \sim \int_{k=2}^n {\frac {dk} {log(k)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13568
Москва
Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):
vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

vicvolf в сообщении #1463560 писал(а):
Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции


vicvolf в сообщении #1465132 писал(а):
Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:
:facepalm:
Впрочем, что это я засуетился?
ТС - любитель, а любителя бить нельзя. Любителю все можно, он себе разрешил. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 11:33 


23/02/12
2191
Brukvalub в сообщении #1465138 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):
vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

vicvolf в сообщении #1463560 писал(а):
Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции


vicvolf в сообщении #1465132 писал(а):
Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:
:facepalm:
Впрочем, что это я засуетился?
Вот именно:) Я просто показал, что в этом частном случае, даже не элементарной $f$, формула справедлива. Наверно есть другие случаи, при которых формула не справедлива даже для элементарных $f$. Это же только гипотеза. Буду благодарен за другие контрпримеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 11:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Для многочленов ваше утверждение верно, а вот на $f(x)=2^x$ обламывается. Или $f(x)=\frac{1}{x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 12:31 


23/02/12
2191
Null Спасибо!
Null в сообщении #1465165 писал(а):
$f(x)=\frac{1}{x}$
vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):
$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$.

Null в сообщении #1465165 писал(а):
а вот на $f(x)=2^x$ обламывается.
Можете доказать или дать ссылку на формулу $\sum_{p \leq x} {2^p}$ ?

Null в сообщении #1465165 писал(а):
Для многочленов ваше утверждение верно


Это не многочлены:

$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)

$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)

$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)

Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.

На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.

Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):

$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)

где $l \geq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение26.05.2020, 15:08 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
$f(x)=\frac{1}{x}$ ну да сумма расходиться, я имел в виду $f(x)=\frac{1}{x^2}$
Если я правильно понимаю чтоб ваше утверждение было верно надо чтобы:
1.Сумма расходиться.
2.$\forall C \lim_{x \to \infty}\frac{f(x-c\ln{x})}{f(x)}=1$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2020, 15:11 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10809
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group