2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение04.06.2020, 12:37 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465552 писал(а):
Это не выполняется для $f(x)=2^x$, так как $\sum_{k=1}^p b_kf(k)\sim 2\frac{2^k}{\ln k}$

Таким образом, мы проверили в данном случае данное необходимое условие не выполняется, что верно. Но с другой стороны оно выполняется для случае $f(x)=1/x^2$, что не является верным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение05.06.2020, 18:21 


23/02/12
2191
vicvolf в сообщении #1467025 писал(а):
Но с другой стороны оно выполняется для случае $f(x)=1/x^2$, что не является верным?
Хотя это нормально, так как достаточное условие в данном случае не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение07.06.2020, 10:52 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465514 писал(а):
Если
1.$\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1(для бесконечного предела тоже все в порядке)
2.$f'(x)\neq 0$, будем считать что $f'(x)$ непрерывна, тогда она еще и знакопостоянна.
3.$\lim_{n\to\infty}\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=\pm\infty$- если $f(n)\to\infty$ то это выполняется автоматически.
Тогда $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}$ существует и равен $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$(или тоже бесконечен)

При данных достаточных условиях выполняется только асимптотическое равенство: $\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} \sim \sum_{k=1}^n {b_kf(k)},$ но в этом случае в асимптотиках сумм совпадают только главные члены разложения, а остаточные члены могут не совпадать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение07.06.2020, 14:14 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение07.06.2020, 16:35 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1467438 писал(а):
Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.
В этом и вопрос. Получается лучше ГР:)

$\sum_{p \leq n}{1}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(1)$.

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\sum_{k=2}^n {1}=\int_2^n {dt} + O(1)=n+O(1)$.

С другой стороны, имеются и правильные оценки:

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+O(1)=\log\log(n)+O(1)$.

$\sum_{p \leq n} {\frac {\log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k}}=\int_2^n {\frac {dt} {t}}+O(1)=\log(n)+O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 09:06 


23/02/12
2191
vicvolf в сообщении #1467445 писал(а):
$\sum_{p \leq n}{1}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(1)$.

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\sum_{k=2}^n {1}=\int_2^n {dt} + O(1)=n+O(1)$.

С другой стороны, имеются и правильные оценки:

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+O(1)=\log\log(n)+O(1)$.

$\sum_{p \leq n} {\frac {\log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k}}=\int_2^n {\frac {dt} {t}}+O(1)=\log(n)+O(1)$.

Использовал Прахара стр. 422 Теорему 1.5 формулу (1.8) и Примечание 1 на стр. 423.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 15:01 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1467438 писал(а):
Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.
Я сделал это, но не понял зачем. Итак было ясно, что из эквивалентности следует только равенство главных членов асимптотик, а остальные члены могут не совпадать.

Вот простой пример:

$$\lim_{n \to \infty} {\frac {x^2+x} {x^2+\log(x)}}=1.$$

Таким образом, указанные достаточные условия гарантируют только главный член асимптотики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 15:14 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf, Не $+O(1)$, а $\cdot (1+O(1))$, если вы используете свое свойство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 17:38 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1467594 писал(а):
vicvolf, Не $+O(1)$, а $\cdot (1+O (1))$, если вы используете свое свойство.
Ну во-первых $(1+o(1))$, т.е. о-малое, а иначе это не асимптотика:), а во вторых Вы меня не поняли. Я под $O(1)$ понимал остаточный член в асимптотическом разложении, который получается в данных примерах. Это просто совпадение, что получилось везде $O(1)$.

Если Вы посмотрите материалы в Прахаре, на которые я указал, то увидите 2 случая формулы Эйлера-Маклорена, интересующие меня:

1. Если $f(k)/\log(k) \geq 0$ и монотонно возрастает на интервале $[2,n)$, то асимптотика имеет вид:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}=\int_2^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(\frac {f(n)}{\log(n)}).$$

2. Если $f(k)/\log(k) \geq 0$, монотонно убывает на интервале $[2,n)$ и $\lim_{n \to \infty} {f(n)/\log(n)}=0$, то асимптотика имеет вид:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}=\int_2^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+C+O(\frac {f(n)}{\log(n)}),$$

где $C$ - постоянная.

Отсюда видно, что во втором случае остаточный член всегда равен $C+O(\frac {f(n)}{\log(n)})=O(1)$. К этому случаю относятся 3 указанных примера.

К первому случаю относится только один пример с $f(p)=\log(p)$. В этом случае остаточный член также равен $O(\frac {\log(n)}{\log(n)})=O(1)$. В общем, для первого случая, остаточный член не равен $O(1)$.

Интересно, при каких дополнительных достаточных условиях, справедливы указанные выше формулы? Очевидно для примеров 1 и 2 они не справедливы, а для примеров 3 и 4 справедливы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 18:40 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Вы пишите $\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}$, а это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение08.06.2020, 21:11 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1467621 писал(а):
Вы пишите $\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}$, а это не так.
Верно, я подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение10.06.2020, 18:51 


23/02/12
2191
Уточним формулу для вероятности натурального числа из интервала $[2.n)$ быть простым:

$$P_{2,x}(f)=d(f,2,x)=\frac {1}{\log(n)}+\frac {1+o(1)} {\log^2(n)}.$$

Поэтому получим:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$


Используем формулу Эйлера-Маклорена:


$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}(1+o(1)).$$


Первый член асимптотики является главным, а второй - остаточным.


Пусть $f(t) \geq 0$ и $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}= \infty$ (расходится), тогда:

1. Если $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}=\infty$ (расходится), то:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}).$$


2. Если $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}$ - сходится, то:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+C+O(\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}})=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(1).$$

Примеры первого случая:

$$\sum_{p \leq n} {\log(p)}=\int_{2}^n {dt} +O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}})=n+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}}).$$


$$\sum_{p \leq n} {1}=\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log^2(t)}}).$$

Пример второго случая:

$$\sum_{p \leq n} {1/p}=\int_{2}^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+C+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {t\log^2(t)}})=\log\log(n)+O(1).$$

Что неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение10.06.2020, 23:06 


23/02/12
2191
Опечатка:

$$P_{2,n}(f)=d(f,2,n)=\frac {1}{\log(n)}+\frac {1+o(1)} {\log^2(n)}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение11.06.2020, 15:59 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1468117 писал(а):
$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

А где доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение12.06.2020, 09:57 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1468210 писал(а):
vicvolf в сообщении #1468117 писал(а):
$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

А где доказательство?
Это пока только гипотеза, которую я проверяю. Вероятностные гипотезы о простых числах известны и дают хорошие результаты: гипотеза Крамера, гипотеза Харди-Литтлвуда и.т.д.

Во время проверок асимптотик с помощью формулы суммирования Абеля: $\sum_2^x {a_nf(n)}=A(x)f(x)-A(2)f(2)-\int_2^x {A(t)f'(t)dt$, где
$a_n=0$, если $n$ - составное и $a_n=1$, если $n$ - простое, а $A(x)=\frac {x} {\log(x)}(1+o(1))$ обнаружил, что данный вариант не проходит для $f(x)= \frac {\log(x)} {x}$:

$$\sum_2^x {a_nf(n)}=(\frac {x} {\log(x)}\frac {\log(x)} {x}-\frac {2\log(2)} {2\log(2)} -\int_2^x {\frac {t} {\log(t)} \frac {1-\log(t)} {t^2} dt)(1+o(1))=(\log(x)-\int_2^x {\frac {dt} {\log(t)}})(1+o(1))$$

Правильная асимптотика: $\log(x)+O(1)$.

В этом случае не выполняется достаточное условие: $f'(x)= \frac {1-\log(x)} {x^2}  \neq 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group