2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение12.06.2020, 11:26 


23/02/12
2191
Исправлю:

$\sum_2^x {a_nf(n)}=(\frac {x} {\log(x)}\frac {\log(x)} {x}-\frac {2\log(2)} {2\log(2)} -\int_2^x {\frac {t} {\log(t)} \frac {1-\log(t)} {t^2} dt)(1+o(1))=(\log(x)-\log\log(x)+C))(1+o(1))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 10:36 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1468210 писал(а):
vicvolf в сообщении #1468117 писал(а):
$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

А где доказательство?

Пусть $f'(t)$ - существует и непрерывна на луче $[2.x)$ и пусть $a_n=1$, если $n=p$ ($p$ - простое число и $p\leq x)$, $a_n=0$ в противном случае. Тогда на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq x} {f(p)}=\sum_{n=2}^x {a_nf(n)}=A(x)f(x)-A(2)f(2)-\int_2^x {A(t)f'(t)dt},(1)$$

где $A(x)=\sum_{n=2}^x {a_n}}$.

Если $A'(t)$ - существует и непрерывна на луче $[2.x)$, то проинтегрируем по частям выражение:

$$\int_2^x {f(t)A'(t)dt}=A(x)f(x)-A(2)f(2)-\int_2^x {A(t)f'(t)dt}.(2)$$


Сравнивая (1) и (2) получим:

$$\sum_{p \leq x} {f(p)}=\sum_{n=2}^x {a_nf(n)}=\int_2^x {f(t)A'(t)dt}.(3)$$

На основании асимптотического закона простых чисел можно записать:

$$A(x)=\sum_{n=2}^x {a_n}}=\int_2^x {\frac {dt} {\log(t)}}+\int_2^x {\frac {dt} {\log^2(t)}}(1+o(1)).(4)$$

Используя (4) получим:

$$A'(x)=1/\log(x)+(1+o(1))/\log^2(x).(5)$$

На основании (3) и (5) получим:

$$\sum_{p \leq x} {f(p)}=\sum_{n=2}^x {a_nf(n)}=\int_2^x {\frac {f(t)dt}{\log(t)}+\int_2^x {\frac {f(t)dt}{\log^2(t)}(1+o(1)),$$

что соответствует утверждению. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 11:42 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1468598 писал(а):
$$\int_2^x {f(t)A'(t)dt}=A(x)f(x)-A(2)f(2)-\int_2^x {A(t)f'(t)dt}.(2)$$

$A(x)$ - не дифференциируема.
vicvolf в сообщении #1468598 писал(а):
Используя (4) получим:

Дифференцировать $o(1)$ нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 16:41 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465843 писал(а):
Подставил $B(n)=\frac{n}{\ln n}$
Это не совсем соответствует асимптотическому закону простых чисел. Можно ли в этом случае формулу Абеля записать в асимптотическом виде: $\sum_{k=1}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}} \sim \frac {nf(n)}{\log(n)}-\int_1^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 17:44 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
В общем случае нельзя, но часто можно.
Вам нужно чтоб из $p\sim p_1$ и $q\sim q_1$ следовало $p-q\sim p_1-q_1$, когда это правда исследуйте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 22:24 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1468702 писал(а):
Вам нужно чтоб из $p\sim p_1$ и $q\sim q_1$ следовало $p-q\sim p_1-q_1$, когда это правда исследуйте сами.
Это по-моему соответствует Вашему доказательству достаточности. В качестве $B(x)$ можно взять любое приближение к асимптотическому закону простых чисел: $\pi(x)\sim B(x)$. Например, $B(x)=x/\log(x)+x/\log^2(x)$ и.т.д. $B'(x)$ - существует и непрерывна, поэтому мое доказательство проходит при выполнении условий достаточности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение13.06.2020, 22:39 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1468757 писал(а):
мое доказательство
Приведите его? С указанием достаточных условий.
В сообщении #1468598 у вас ошибки

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение14.06.2020, 20:35 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1468758 писал(а):
vicvolf в сообщении #146875_ писал(а):
мое доказательство
Приведите его? С указанием достаточных условий.

Доказательство достаточности

Пусть $a_k=1$, если $k$- простое число и $a_k=0$ в противном случае. Обозначим $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Пусть $b_1=0$,$b_k=1/\log(k)+1/\log^2(k)$ и $B(n)=\sum_{k=1}^n {b_k}=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}+1/\log^2(k)}$.(1)

На основании асимптотического закона простых чисел:

$$A(n)=\pi(n) \sim n/\log(n)+n/\log^2(n)=B(n),(2)$$

поэтому выполняется: $\lim_{n \to \infty} {\frac {A(n)} {B(n)}}=1.(3)$

Вообще в качестве $B(n)$ можно взять любое приближение к асимптотическому закону простых чисел $\pi(n) \sim B(n)$.

Используя формулу суммирования Абеля получим: $\sum_{k=1}^n {a_kf(k)=A(n)f(n)-\int_1^n {A(t}f'(t)dt}$ и $\sum_{k=1}^n {b_kf(k)=B(n)f(n)-\int_1^n {B(t}f'(t)dt}$.

Для того, чтобы асимптотики совпадали требуется выполнение следующих условий:

1. $\lim_{n \to \infty} {\frac {A(n)f(n)}{B(n)f(n)}}=1$. Это следует из (3).

2. $\lim_{n \to \infty} {\frac {\int_1^n {A(t)f'(t)dt}}{int_1^n {B(t)f'(t)dt}}=1$.

Если $f'(n)$ не равно нулю, то на основании правила Лопиталя и (3) получаем, что требуется:

$\lim_{n \to \infty} {\frac {\int_1^n {A(t)f'(t)dt}}{\int_1^n {B(t)f'(t)dt}}=\frac {A(n)f'(n)}{B(n)f'(n)}=1$

3. $\lim_{n \to \infty} \frac {A(n)f(n)-\int_1^n {A(t)f'(t)dt}} {B(n)f(n)-\int_1^n {B(t)f'(t)dt}}=1$

Это условие выполняется при трех условиях достаточности, доказанных Вами. Сюда кстати входит условие $f'(n)$ не равно 0.

На основании (1):

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} \sim \sum_{k=1}^n {b_kf(k)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log^2(k)}}.(4)$$

Используя формулу Абеля и формулы (2), (4) получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)} \sim \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log^2(k)}}=\frac {nf(n)}{\log(n)}+\frac {nf(n)}{\log^2(n)}+C-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}},(5)$$

где $C$ - постоянная.

Приведем примеры использования формулы (5).

1. $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$ или $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)} \sim \frac {n\log(n)}{\log(n)}+\frac {n\log(n)}{\log^2(n)}+C-\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}-\int_2^n {\frac {dt}{\log^2(t)}}=$$n+n/\log(n)+C-\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}-\int_2^n {\frac {dt}{\log^2(t)}}$ или $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$.

3.$\sum_{p \leq n}{1/p} \sim \frac {n}{n\log(n)}+\frac {n}{n\log^2(n)}+C$$+\int_2^n {\frac {tdt}{t^2\log(t)}}+\int_2^n {\frac {tdt}{t^2\log^2(t)}}=\log\log(n)+C+1/\log^2(n)$ или $\sum_{p \leq n}{1/p}=\log\log(n)+O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение14.06.2020, 20:59 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
В примерах везде ошибки:
Из $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$ ни как не следует $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.
Все что после "или" не доказано.

-- Вс июн 14, 2020 21:05:45 --

vicvolf в сообщении #1468897 писал(а):
$$ n/\log(n)+n/\log^2(n)=B(n),(2)$$
Не равно, но эквивалентно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение14.06.2020, 21:59 


23/02/12
2191
vicvolf в сообщении #1468897 писал(а):
$$A(n)=\pi(n) \sim n/\log(n)+n/\log^2(n)=B(n),(2)$$

Здесь все верно. Посмотрите, где стоит знак эквивалентности $\pi(n) \sim n/\log(n)+n/\log^2(n)=B(n)$

Null в сообщении #1468904 писал(а):
В примерах везде ошибки:
Из $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$ ни как не следует $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.
Все что после "или" не доказано.
Почему не доказано? Для того, чтобы были равны асимптотики (основной и остаточный члены) должны выполняться указанные мною условия. Они в этих примерах выполнятся. Слово "или" надо убрать, так как из эквивалентности это не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение15.06.2020, 06:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1468914 писал(а):
Здесь все верно. Посмотрите, где стоит знак эквивалентности $\pi(n) \sim n/\log(n)+n/\log^2(n)=B(n)$
Нет.$B(n)=\sum_{k=2}^n 1/\log(k)+1/\log^2(k)\neq  n/\log(n)+n/\log^2(n)$
vicvolf в сообщении #1468914 писал(а):
Слово "или" надо убрать, так как из эквивалентности это не следует.
Если вы не доказали, то пишите прямо - типа "на самом деле известно то-то". Если думаете что из $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$ следует $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$ то докажите это.

А на самом деле что $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$, что$\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}$ - одно и то же, ни чего не поменялось. Меняя $B(n)$ на эквивалентные результат(использования вашего метода) не поменяется(при определенных ограничениях на $f$) - я это вам доказал.

Если хотите улучшить результат вам надо брать разность и оценивать её. Советую брать $b_n=\int_{n-1}^n\frac{dt}{\ln t}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение15.06.2020, 11:01 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1468934 писал(а):
А на самом деле что $\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}+\frac {n}{\log^2(n)}+C$, что$\sum_{p \leq n}{1} \sim \frac {n}{\log(n)}$ - одно и то же, ни чего не поменялось.
Согласен.
Цитата:
Если хотите улучшить результат вам надо брать разность и оценивать её. Советую брать $b_n=\int_{n-1}^n\frac{dt}{\ln t}$.
Спасибо, подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение15.06.2020, 19:31 


23/02/12
2191
Пусть $a_k=1$, если $k$- простое число и $a_k=0$ в противном случае. Обозначим $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Пусть $b_1=0$,$b_k=1/\log(k)$ и $B(n)=\sum_{k=1}^n {b_k}=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}$.(1)

На основании асимптотического закона простых чисел:

$$A(n)=\pi(n) =n/\log(n)+O(n/\log^2(n))=B(n).(2)$$


Используя формулу Абеля $\sum_{k=1}^n {b_kf(k)=B(n)f(n)-\int_1^n {B(t)f'(t)dt}$ и формулы (1), (2) получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)} = \sum_{k=1}^n {b_kf(k)}=\frac {nf(n)}{\log(n)}+O(\frac{nf(n)}{\log^2(n)})-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+O(\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}}).(3)$$


Приведем примеры использования формулы (3):

1. $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$.

3. $\sum_{p \leq n}{1/p}=\log\log(n)+O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение15.06.2020, 21:40 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1468986 писал(а):
$$\sum_{p \leq n}{f(p)} = \sum_{k=1}^n {b_kf(k)}$$
Это неправда. Попробуйте доказать.

vicvolf в сообщении #1468986 писал(а):
$$n/\log(n)+O(n/\log^2(n))=B(n)$$
- Так писать нельзя. Так же вам стоит доказать что $B(n)=n/\log(n)+O(n/\log^2(n))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 18:20 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1469002 писал(а):
vicvolf в сообщении #1468986 писал(а):
$$\sum_{p \leq n}{f(p)} = \sum_{k=1}^n {b_kf(k)}$$
Это неправда.

$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} \sim \sum_{k=1}^n {b_kf(k)}=B(n)f(n)-\int_1^n {B(t)f'(t)dt}$

Эквивалентность в данном случае ничего не дает для оценки остаточного члена. Нужна оценка через O-большое.

Допустим $B(n)=n/\log(n)+O(g(n))$, где $g(n)$ - некоторая функция.

Тогда оценка через O-большое закладываетя сразу через формулу Абеля и можно выделить главный и остаточный член:

$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = $$nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}|+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$.

Асимптотика все равно присутствует, но она задается не через эквивалентность, а через оценку O-большое.

Кстати раньше Вас подобное равенство через o-малое не смущало:

$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = \sum_{k=2}^n {f(k)/\log(k)}(1+o(1))$.

Я понимаю, что это равносильно эквивалентности, но оценку через o-малое можно заменить более точной оценкой через O-большое, что я и делаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group