2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение23.06.2020, 15:15 


23/02/12
2191
Рассмотрим еще один пример.

Найти асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел.

Обозначим $A=\prod_{p \leq n} {p}$. Тогда $\log A=\sum_{p \leq n} {\log(p)}$ (1).

Ранее мы определяли асимптотику такой суммы:

vicvolf в сообщении #1469273 писал(а):

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$ (2).


Если справедлива гипотеза Римана, то асимптотика данной суммы имеет вид:


$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n^{1/2+\epsilon}})$ (3).

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n/\log(n))}=O(e^{n+n/\log(n)})$ (4).

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n^{1/2+\epsilon})}=O(e^{n+n^{1/2+\epsilon}})$ (5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение24.06.2020, 22:51 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение25.06.2020, 14:16 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1470491 писал(а):
$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

Да, ошибся. Исправлю.

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_1n/\log(n)}$ (4), где постоянная $c_1>0$.

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_2n^{1/2+\epsilon}}$ (5), где постоянная $c_2>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.08.2020, 15:31 


23/02/12
2191
Эквивалентные формулировки гипотезы Римана для суммы функций простых чисел


Утверждение

В случае, если функция $f$ монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то при справедливости гипотезы Римана (ГР), выполняется наилучшая оценка остаточного члена асимптотики:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).(1)$$

Доказательство


Пусть $a_k=1$, если k-простое и $a_k=0$ в противном случае. Тогда обозначим: $A(n)=\pi(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}$.

Если справедлива ГР:

$$A(n)=\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n\log^{1/2}(n)).(2)$$


Далее, если функция $f$ - монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}= \sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_2^n {A(t)f'(t)dt}.(3)$$

Подставим (2) в (3) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=f(n) \int_2^n {\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt).(4)$$

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}=f(n)\int_2^n{\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}.(5)$$

Подставим (5) в (4) и получим:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}),(6)$$

что соответствует утверждению.

Данная оценка остаточного члена является наилучшей.

В этом можно убедиться, сопоставив остаточный член в данном утверждении с соответствующими оценками в данной теме.

Формула (6) является эквивалентной формулировкой ГР для сумм функций простых чисел и из нее получаются частные случаи:


1. $\pi(n)=\sum_{p \leq n}{1}=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log(n))$. (7)

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log^2(n))+O(\int_2^n{{t^{-1/2}\log(t)dt)=n+O(n^{1/2}\log^2(n))$.(8)

3.$\sum_{p \leq n}{\frac {\log(p)}{p}}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\log^2(n)n^{1/2}}{n})$$+O(\int_2^n{\frac {t^{1/2}\log(t)dt}{t})=\log(n)+O(n^{-1/2}\log^2(n))$.(9)

4.$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))+O(\int_2^n{t^{\alpha-1/2}\log(t)dt})=$$\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))$,(10)

где $\alpha >-1$.

Формулы (7) и (8) являются известными эквивалентными формулировками ГР для сумм функций простых чисел, а формулы (9) и (10) являются новыми эквивалентными формулировками ГР.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.08.2020, 17:06 


23/02/12
2191
В формулах (1) и (6) исправлю описку:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).$$

В формалах (7)-(10) все правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group