Null Используя полученные в теме результаты рассмотрим различные случаи суммы:

, где

и

.(1)
Сначала рассмотрим сходимость некоторых рядов от простого аргумента:

- сходится,

- сходится.
Теперь рассмотрим сумму вида (1), где

.
При

, т.е. выполняется условие

.
Поэтому в данном случае сумма имеет вид:

.(2)
Для использования формул данной работы к сумме (2) проверим выполнение необходимых условий. Начнем с 3-его условия.
Обозначим

, тогда 3 -ее условие запишется в виде:

.(3)
Найдем

, подставим в (3) и получим:

, где

-постоянная, т.е. 3-ее условие не выполняется.
В данном случае ряд

- сходится, поэтому не выполняется условие (1):

.
Рассмотрим другую сумму вида (1), где

.
При

, т.е. выполняется условие

.
В этом случае необходимые и достаточные условия использования формул данной работы выполняются.
Для нахождения асимптотики

воспользуемся наиболее точной формулой, при предположении выполнения гипотезы Римана:

.(4)
На основании (4) получим:

.
Теперь рассмотрим

.
Найдем асимптотику данной суммы:

, так ряд

- сходится.
Рассмотрим

.
Найдем асимптотику данной суммы:

, так ряд

- сходится.