2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 19:11 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1469098 писал(а):
$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = $$nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}|+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$.
Это вы $A(n)=n/\log(n)+O(g(n))$ подставили в формулу Абеля? $B(n)$ здесь нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 20:39 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1469110 писал(а):
vicvolf в сообщении #1469098 писал(а):
$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} = $$nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}|+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$.
Это вы $A(n)=n/\log(n)+O(g(n))$ подставили в формулу Абеля? $B(n)$ здесь нет.

Нет всегда $A(n)=\pi(n)$, а $B(n)=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}=n/\log(n)+o(n/\log(n))$. Предположим, что известна более точная оценка: $B(n)=\sum_{k=2}^n {1/\log(k)}=n/\log(n)+O(g(n))$. Эту оценку я и подставил в формулу Абеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 20:43 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Распишите подробно, не понимаю как вы это получили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 21:00 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465514 писал(а):
Пусть $a_k=1$ если $k$ - простое и $a_k=0$ если $k$ не простое.
Пусть $b_k=\frac{1}{\ln k}$,$b_1=0$
Пусть $A(x)=\sum_{k\leq x}a_k$ и $B(x)=\sum _{k\leq x}b_k$


$B(x)\sim \frac{x}{\ln x}$


Отсюда следует $B(x)=x/\log(x)+o(x/\log{x))$. Предположим, что известна более точная оценка: $B(x)=x/\log(x)+O(g(x))$, которая подсставляется в формулу Абеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение16.06.2020, 21:25 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Ну подставьте. У вас получиться не то что вы хотите. Цепочку равенств от $\sum_{p \leq n} {f(p)}$ до $nf(n)/\log(n)+O(f(n)g(n))-\int_2^n \frac {tf'(t)dt}{\log(t)}+O(\int_2^n {g(t)f'(t)dt})$. Эквивалентностей быть не должно, иначе вы не получите $=$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.06.2020, 17:51 


23/02/12
2191
Пусть $a_k=1$, если $k$- простое число и $a_k=0$ в противном случае. Обозначим $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Если $f'(t)$ существует и непрерывна, то используя формулу Абеля сразу к сумме $\sum_{k=1}^n {a_kf(k)}$, получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)} =\sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_1^n {A(t)f'(t)dt,(1)$$

где $A(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}=\pi(n)$.

Покажем, что

$$A(n)=\pi(n) =\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)).(2)$$


Известна оценка, полученная с помощью метода комплексного интегрирования:

$$\pi(n)=\int_2^n {\frac {du}{\log(u)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}),(3)$$

где c-постоянная.

Интегрируя по частям получим:

$$\int_2^n {\frac {du}{\log(u)}}=\frac {n}{\log(n)}-\int_2^n {ud(1/\log(u))}=\frac {n}{\log(n)}+\int_2^n {\frac {du}{\log^2(u)}}=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)).(4)$$

На основании (3) и (4) получим:

$$\pi(n)=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n))+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})=\frac {n}{\log(n)}+O(n/\log^2(n)),$$

что соответствует (2).


Теперь подставим (2) в (1) и получим:


$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\frac {nf(n)}{\log(n)}+O(\frac{nf(n)}{\log^2(n)})-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+O(\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}}).(5)$$


Приведем примеры использования формулы (5):

1. $\sum_{p \leq n}{1}=\frac {n}{\log(n)}+O(\frac {n}{\log^2(n)})$.

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$.

3. $\sum_{p \leq n}{1/p}=\log\log(n)+O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.06.2020, 18:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Как видите $B(n)$ здесь ни при чем.
В (4) вы потеряли $-\frac{2}{\log 2}$, хотя это не влияет на результат.
Не стоит писать $\log$ вместо $\ln$.
Ну да формула (5) - правильная.
Вот нашел похожее math.stackexchange.com

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.06.2020, 19:37 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1469286 писал(а):
Ну да формула (5) - правильная.
Вот нашел похожее math.stackexchange.com
Спасибо, но там частный случай. У меня такое впечатление, что есть какие-то еще ограничения у данной формулы кроме существования и непрерывности производной от функции $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.06.2020, 21:08 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Там не $O(\int_2^n {\frac {tf'(t)dt}{\log^2(t)}})$ в конце, а $O(\int_2^n {\frac {t|f'(t)|dt}{\log^2(t)}})$, ну или $f'$ всегда $>,<,= 0$
А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.06.2020, 21:38 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1469326 писал(а):
А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.
Меня настораживает другой случай. По формуле (5) получается: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(\log\log(n))$, а должно быть: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение18.06.2020, 01:03 


26/12/18
46
почем должно?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение18.06.2020, 06:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1469300 писал(а):
Спасибо, но там частный случай.
Это можно обобщить, Сделано то же что у вас, но более точно.
Sycamore в сообщении #1469350 писал(а):
Меня настораживает другой случай. По формуле (5) получается: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(\log\log(n))$, а должно быть: $\sum_{p \leq n} {\log(p)/p}=\log(n) +O(1)$.
Ну что получается то получается, попробуйте подставить лучшую оценку $\pi(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение18.06.2020, 18:45 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1469355 писал(а):
vicvolf в сообщении #1469300 писал(а):
Спасибо, но там частный случай.
Это можно обобщить,

Используем более точную формулу для $\pi(n)$:

$$\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}),(1))$$

где с - постояннвя.

Пусть $a_k=1$, если k-простое и $a_k=0$ в противном случае. Тогда обозначим: $A(n)=\pi(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}$.

На основании (1):

$$A(n)=\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}}).(2)$$


Далее, если функция $f$ - монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}= \sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_2^n {A(t)f'(t)dt}.(3)$$

Подставим (2) в (3) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=f(n) \int_2^n {\frac{du}{\log(u)}}+O(\frac {|f(n)|n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})-\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}+O(\int_2^n {\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(4)$$

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}=f(n)\int_2^n{\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}.(5)$$

Подставим (5) в (4) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {|f(n)|n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(6)$$

Рассмотрим примеры использования (6):

1.$\sum_{p \leq n}{1}=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(\frac {n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})$, что соответствует (1).

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {\log(n)n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac {dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}})=n+O(\frac {\log(n)n}{e^{c\log^{1/2}(n)}})$.
Null в сообщении #1469355 писал(а):
попробуйте подставить лучшую оценку $\pi(x)$
Спасибо, получилось:

3.$\sum_{p \leq n}{\frac {\log(p)}{p}}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\log(n)n}{ne^{c\log^{1/2}(n)}})$$+O(\int_2^n{\frac {tdt}{t^2e^{c\log^{1/2}(n)}}})+O(\int_2^n{\frac {t\log(t)dt}{t^2e^{c\log^{1/2}(n)}}})=\log(n)+O(1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение20.06.2020, 16:49 


23/02/12
2191
Еще один пример на формулу (6):

$$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t^{\alpha+1}dt}{e^{c\log{1/2}(t)}})=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}}),$$

где $\alpha >-1$.

Результат соответствует math.stackexchange.com.

-- 20.06.2020, 16:56 --

Null в сообщении #1469326 писал(а):
А так просто в плохих случаях $O$ будет слишком большое и забьет главную часть. Проверьте те же $2^x$ и $\frac{1}{x^2}$.
Да, получается именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение21.06.2020, 15:04 


23/02/12
2191
Обнаружил описку:

$$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t^{\alpha}dt}{e^{c\log{1/2}(t)}})=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(\frac{n^{\alpha+1}}{e^{c\log{1/2}(n)}}),$$

где $\alpha >-1$.

Сравним асимптотическую формулу (6) и формулу (5) из другого сообщения. Должны совпадать главные члены асимптотик, а различия могут быть только в остаточных членах.

Преобразуем член в формуле (6):

$$\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}=\frac {f(n)n}{\log(n)}-\frac {2f(2)}{\log(2)}-\int_2^n{\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+\int_2^n {\frac{f(t)dt}{\log(t)}}.(7)$$

Подставим (7) в (6):

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=\frac {f(n)n}{\log(n)}+O(1)-\int_2^n{\frac {tf'(t)dt}{\log(t)}}+\int_2^n {\frac{f(t)dt}{\log(t)}}+O(\frac {|f(n)n|}{e^{c\log^{1/2}(n)}})+O(\int_2^n{\frac{t|f'(t)|dt}{e^{c\log^{1/2}(n)}}}).(8)$$

Сопоставим выражение (8) с выражением асимптотики (5) из другого сообщения. Первые три члена совпадают. Расхождение только в остаточных членах. Остаточные члены выражения (8) дают более точную оценку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group