2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение23.06.2020, 15:15 


23/02/12
2234
Рассмотрим еще один пример.

Найти асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел.

Обозначим $A=\prod_{p \leq n} {p}$. Тогда $\log A=\sum_{p \leq n} {\log(p)}$ (1).

Ранее мы определяли асимптотику такой суммы:

vicvolf в сообщении #1469273 писал(а):

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n/\log(n))$ (2).


Если справедлива гипотеза Римана, то асимптотика данной суммы имеет вид:


$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=n+O(n^{1/2+\epsilon}})$ (3).

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n/\log(n))}=O(e^{n+n/\log(n)})$ (4).

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p}=e^{n+O(n^{1/2+\epsilon})}=O(e^{n+n^{1/2+\epsilon}})$ (5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение24.06.2020, 22:51 
Заслуженный участник


12/08/10
1237
$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение25.06.2020, 14:16 


23/02/12
2234
Null в сообщении #1470491 писал(а):
$e^{n+O(n/\log(n))}\neq O(e^{n+n/\log(n)})$
$e^{n+O(n^{1/2+\varepsilon})}\neq O(e^{n+n^{1/2+\varepsilon}})$
Например $e^{2n}=e^{O(n)}$, но $$e^{2n}\neq O(e^n)$

Да, ошибся. Исправлю.

На основании (1) и (2) получаем следующую асимптотическую оценку сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_1n/\log(n)}$ (4), где постоянная $c_1>0$.

Если гипотеза Римана справедлива, то на основании (1)и (3) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху для произведения простых чисел:

$\prod_{p \leq n} {p} \leq e^{n+c_2n^{1/2+\epsilon}}$ (5), где постоянная $c_2>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.08.2020, 15:31 


23/02/12
2234
Эквивалентные формулировки гипотезы Римана для суммы функций простых чисел


Утверждение

В случае, если функция $f$ монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то при справедливости гипотезы Римана (ГР), выполняется наилучшая оценка остаточного члена асимптотики:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).(1)$$

Доказательство


Пусть $a_k=1$, если k-простое и $a_k=0$ в противном случае. Тогда обозначим: $A(n)=\pi(n)=\sum_{k=1}^n {a_k}$.

Если справедлива ГР:

$$A(n)=\pi(n)=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n\log^{1/2}(n)).(2)$$


Далее, если функция $f$ - монотонная и имеет непрерывную производную на интервале $[2,n]$, то на основании формулы суммирования Абеля можно записать:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}= \sum_{k=1}^n {a_kf(k)}=A(n)f(n)-\int_2^n {A(t)f'(t)dt}.(3)$$

Подставим (2) в (3) и получим:

$$\sum_{p \leq n}{f(p)}=f(n) \int_2^n {\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt).(4)$$

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int_2^n {(\int_2^t{\frac{du}{\log(u)}})f'(t)dt}=f(n)\int_2^n{\frac{du}{\log(u)}}-\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}.(5)$$

Подставим (5) в (4) и получим:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f(t)|t^{1/2}\log(t)dt}),(6)$$

что соответствует утверждению.

Данная оценка остаточного члена является наилучшей.

В этом можно убедиться, сопоставив остаточный член в данном утверждении с соответствующими оценками в данной теме.

Формула (6) является эквивалентной формулировкой ГР для сумм функций простых чисел и из нее получаются частные случаи:


1. $\pi(n)=\sum_{p \leq n}{1}=\int_2^n {\frac {dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log(n))$. (7)

2. $\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{\log(t)}}+O(n^{1/2}\log^2(n))+O(\int_2^n{{t^{-1/2}\log(t)dt)=n+O(n^{1/2}\log^2(n))$.(8)

3.$\sum_{p \leq n}{\frac {\log(p)}{p}}=\int_2^n {\frac {\log(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\log^2(n)n^{1/2}}{n})$$+O(\int_2^n{\frac {t^{1/2}\log(t)dt}{t})=\log(n)+O(n^{-1/2}\log^2(n))$.(9)

4.$\sum_{p \leq n}{p^{\alpha}}=\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))+O(\int_2^n{t^{\alpha-1/2}\log(t)dt})=$$\int_2^n {\frac {t^{\alpha}dt}{\log(t)}}}+O(n^{\alpha+1/2}\log(n))$,(10)

где $\alpha >-1$.

Формулы (7) и (8) являются известными эквивалентными формулировками ГР для сумм функций простых чисел, а формулы (9) и (10) являются новыми эквивалентными формулировками ГР.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.08.2020, 17:06 


23/02/12
2234
В формулах (1) и (6) исправлю описку:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_2^n {\frac {f(t)dt}{\log(t)}}+O(|f(n)|n^{1/2}\log(n))+O(\int_2^n {|f'(t)|t^{1/2}\log(t)dt}).$$

В формалах (7)-(10) все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение14.11.2020, 18:57 


23/02/12
2234
Null Используя полученные в теме результаты рассмотрим различные случаи суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$, где $|f(p}| \leq 1$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$.(1)

Сначала рассмотрим сходимость некоторых рядов от простого аргумента:

$\sum_{p=2}^\infty \frac {1}{p^2} \leq \sum_{n=2}^\infty \frac {1}{n^2}$ - сходится,

$\sum_{p=2}^\infty \frac {1}{p\ln^2(p)} \leq \sum_{n=2}^\infty \frac {1}{n\ln^2(n)}$ - сходится.

Теперь рассмотрим сумму вида (1), где $f(p)=1/\ln(p)$.

При $p =3 > e, \ln(p)>1, 1/\ln(p)<1$, т.е. выполняется условие $|f(p}| \leq 1$.

Поэтому в данном случае сумма имеет вид:

$\sum_{p=3}^n \frac {1}{p\ln(p)}$.(2)

Для использования формул данной работы к сумме (2) проверим выполнение необходимых условий. Начнем с 3-его условия.

Обозначим $g(t)=\frac {1}{t\ln(t)}$, тогда 3 -ее условие запишется в виде:

$\lim_{n \to \infty} {\int_3^n \frac {tg'(t)dt}{\ln(t)}}=\infty(-\infty)$.(3)

Найдем $g'(t)=-\frac {1}{t^2}(1/\ln(t)-1/\ln^2(t))$, подставим в (3) и получим:

$-\lim_{n \to \infty} {(\int_3^n{\frac{d\ln(t)}{ln^2(t)}}+\int_3^n{\frac{d\ln(t)}{ln^3(t)})=C$ , где $C$ -постоянная, т.е. 3-ее условие не выполняется.

В данном случае ряд $\sum_3^{\infty} \frac {1}{p\ln(p)}$ - сходится, поэтому не выполняется условие (1): $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$.

Рассмотрим другую сумму вида (1), где $f(p)=1/\ln\ln(p)$.

При $p=11 > e^e, \ln\ln(p)>1, 1/\ln\ln(p)<1$, т.е. выполняется условие $|f(p}| \leq 1$.

В этом случае необходимые и достаточные условия использования формул данной работы выполняются.

Для нахождения асимптотики $\sum_{p=11}^n \frac {1}{p\ln\ln(p)}$ воспользуемся наиболее точной формулой, при предположении выполнения гипотезы Римана:

$\sum_{p \leq n} {g(p)}=\int_2^n \frac {g(t)dt}{\ln(t)}+O(|g(n)|n^{1/2}\ln(n))+O(\int_2^n |g'(t))t^{1/2}\ln(t)dt)$.(4)

На основании (4) получим:

$\sum_{p=11}^n \frac {1}{p\ln\ln(p)}=\int_{11}^n {\frac {d(\ln\ln(t))}{\ln\ln(t)}}+O(\frac {\ln(n)}{n^{1/2}\ln\ln(t)})=\ln\ln\ln(n)+O(1)$.

Теперь рассмотрим $f(p)=1-1/p<1$.

Найдем асимптотику данной суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {1-1/p}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}- \sum_{p \leq n} \frac {1}{p^2}=\ln\ln(n)+O(1)$, так ряд $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится.


Рассмотрим $f(p)=1-1/\ln(p)<1$.

Найдем асимптотику данной суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {1-1/\ln(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}- \sum_{p \leq n} \frac {1}{p\ln(p)}=\ln\ln(n)+O(1)$, так ряд $\sum_{p =3}^{\infty} \frac {1}{p\ln(p)}$ - сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение17.11.2020, 12:00 


23/02/12
2234
Из сказанного выше сделаем следующие выводы:

1. Если $f(p)=C$, где $0 \leq C \leq 1$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

2. Если $f(p)$ монотонно возрастает и $\lim_{p \to \infty}=C$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

3. Если $f(p)$ монотонно убывает, как $\frac {C}{\ln\ln(p)}$ или медленнее, то асимптотика суммы равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \sim C\ln\ln\ln(n)$

или растет медленнее.

4. Если $f(p)$ монотонно убывает, как $\frac {C}{\ln(p)}$ или быстрее, то ряд:

$\sum_{p=p_0}^{\infty} \frac {f(p)}{p} (p_o \geq 2)$ - сходится.

Поэтому условиям $|f(p)| \leq 1$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p} \to \infty,n \to \infty$ удовлетворяют случаи 1-3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group