2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение30.05.2020, 11:06 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465552 писал(а):
$$\left|\frac{f(p)}{\sum_{k=1}^p b_kf(k)}\right|\to 0$$
Зачем это утверждение, если выполняется:
Null в сообщении #1465618 писал(а):
Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 1и 2 условия выполнены, а 3ее (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0.

Null в сообщении #1465843 писал(а):
и $\frac{n}{\ln n}f(n)\to \infty$(для того чтоб можно было лопиталить)
Кстати последнее выполняется, если $f$ возрастает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение30.05.2020, 17:11 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Не надо перемешивать мои утверждения, естественно получается чушь.
vicvolf в сообщении #1465928 писал(а):
Зачем это утверждение,

Это необходимое условие, например не выполняется для $f(x)=2^x$
vicvolf в сообщении #1465928 писал(а):
если выполняется

Это достаточное условие.
vicvolf в сообщении #1465928 писал(а):
Кстати последнее выполняется, если $f$ возрастает.

Да (но не только если $f$ возрастает, это я отдельно исследовал 3ее условие, плохо выразился)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение31.05.2020, 14:06 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1465993 писал(а):
Да (но не только если $f$ возрастает, это я отдельно исследовал 3ее условие, плохо выразился)

Null в сообщении #1465843 писал(а):
Подставил $B(n)=\frac{n}{\ln n}$, пролопиталил(правда при этом существование предела могло потеряться) и упростил. Так что если $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует и не равен 0 и $\frac{n}{\ln n}f(n)\to \infty$(для того чтоб можно было лопиталить), то и $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1.

Это 1-ое условие, а не третье.

Null в сообщении #1465618 писал(а):
Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 1и 2 условия выполнены, а 3ее (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0. В частности подходят все $f(x)=x^m, m>0$ и $f(x)=1$ тоже подходит(проверяется непосредственно).

Пожалуйста, подробнее доказательство 3-его условия в данном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение31.05.2020, 15:18 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1466119 писал(а):
Это 1-ое условие, а не третье.

Да.

-- Вс май 31, 2020 15:54:06 --

$\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^n\frac{t}{\ln t}f'(t)dt}{\frac{n}{\ln n}f(n)}=\text{лопиталим}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{\ln n}f'(n)}{\frac{n}{\ln n}f'(n)+\frac{1}{\ln n}f(n)-\frac{1}{\ln^2 n}f(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{\ln n\frac{n}{\ln n}f'(n)}f(n)-\frac{1}{\ln^2 n\frac{n}{\ln n}f'(n)}f(n)}=\text{непрерывность}=\frac{1}{1+\lim_{n\to\infty}(\frac{f(n)}{nf'(n)}-\frac{f(n)}{n\ln nf'(n)})}$
Но $\lim_{n\to\infty}(\frac{f(n)}{nf'(n)}-\frac{f(n)}{n\ln nf'(n)})=\lim_{n\to\infty}(\frac{f(n)}{nf'(n)})$ так как они эквивалентны(их отношение стремиться к 1)
Соответственно $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}=1$ равносильно(если можно лопиталить) $\lim_{n\to\infty}(\frac{f(n)}{nf'(n)})=0$
Тут проблема если $\lim_{n\to\infty}(\frac{f(n)}{nf'(n)})=-1$- для таких $f$ это преобразование некорректно(Например $f(x)=\frac{1}{x}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение31.05.2020, 16:37 


23/02/12
2191
Спасибо! Это доказательство 1-ого условия. А я спрашиваю доказательство 3-его условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение31.05.2020, 17:20 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
$\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=C+\int_{5}^nB(t)f'(t)dt\ge C+\int_{5}^nB(5)f'(t)dt=C+B(5)\int_{5}^nf'(t)dt=C+B(5)(f(n)-f(5))=B(5)f(n)+C_2$
возрастает неограниченно как и $f$
А так там опечатка очевидно:
Null в сообщении #1465618 писал(а):
Если непрерывно дифференцируемая $f(x)$ возрастает и стремиться к бесконечности, то 2 и 3 условия выполнены, а 1ое (при данных $b_k$) равносильно тому что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n f'(n)}$ существует(или равен $\pm\infty$) и не равен 0. В частности подходят все $f(x)=x^m, m>0$ и $f(x)=1$ тоже подходит(проверяется непосредственно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 12:37 


23/02/12
2191
Утверждение

Пусть $f$ достаточно гладкая функция и выполнены выше указанные условия, тогда асимптотика суммы функций от простых равна:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}= (\frac {f(n)n} {2\log(n)} - {\frac {1} {2}} \int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log (t)}}-\frac {f(2)} {\log(2)})(1+o(1))$$

Доказательство

Сначала рассмотрим:

$$J_2(t)=\int_2^t \frac {du} {log(u)}=\frac {u} {\log(u)}|_2^t-J_2(t)$$

Поэтому:$$J_2(t)=\frac {t} {2\log(t)}- \frac {1} {log(2)}$$

Теперь найдем:

$$J_1(n)=\int_2^n \frac {f(t)dt} {\log(t)}=f(t)J_2(t)|_2^n - \int_2^n {J_2(t)f'(t)dt}$$


Подставим $J_2(t)$ преобразуем и получим:

$$J_1(n)=\int_2^n \frac {f(t)dt} {\log(t)}=\frac {f(n)n} {2\log(n)} - {\frac {1} {2}} \int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log (t)}}-\frac {f(2)} {\log(2)}$$

Отсюда получим асимптотику:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}= (\frac {f(n)n} {2\log(n)} - {\frac {1} {2}} \int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log (t)}}-\frac {f(2)} {\log(2)})(1+o(1))$$

Рассмотрим пример на использование данного утверждения:

$$\sum_{p \leg n} {p^m}=J(n)(1+o(1)),$$

где $$J(n)=\int_2^n {\frac {t^m dt} {\log(t)}=\frac {n^{m+1}}{2\log(n)}-\frac{J(n)m} {2}-\frac{2^m}{\log(2)}$$

Поэтому:

$$\sum_{p \leq n} {p^m}=\frac {n^{m+1}(1+o(1))}{(2+m)\log(n)}$$

при $m>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 14:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1466312 писал(а):
$$J_2(t)=\int_2^t \frac {du} {\log(u)}=\frac {u} {\log(u)}|_2^t-J_2(t)$$

У вас тут ошибка.

$$\sum_{p \leq n} {p}=\frac {n^{2}(1+o(1))}{2\log(n)}$$
-должно получиться что то такое(внизу $(1+m)$ )

vicvolf в сообщении #1466312 писал(а):
Отсюда получим асимптотику:

Это просто формула Абеля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 19:23 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1466326 писал(а):
vicvolf в сообщении #1466312 писал(а):
$$J_2(t)=\int_2^t \frac {du} {\log(u)}=\frac {u} {\log(u)}|_2^t-J_2(t)$$

У вас тут ошибка.

Да.
$$J_2(t)=\int_2^t \frac {du} {\log(u)}=\frac {t} {\log(t)}(1+o(1))$$
Цитата:
$$\sum_{p \leq n} {p}=\frac {n^{2}(1+o(1))}{2\log(n)}$$
-должно получиться что то такое(внизу $(1+m)$ )

Пересчитаю.
Цитата:
Это просто формула Абеля?
Это просто интегрирование по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 20:26 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1466401 писал(а):
Это просто интегрирование по частям.

vicvolf в сообщении #1466401 писал(а):
$$\sum_{p \leq n} {f(p)}= (\frac {f(n)n} {2\log(n)} - {\frac {1} {2}} \int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log (t)}}-\frac {f(2)} {\log(2)})(1+o(1))$$

У вас слева сумма, какое интегрирование по частям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 21:17 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1466404 писал(а):
vicvolf в сообщении #1466401 писал(а):
Это просто интегрирование по частям.

vicvolf в сообщении #1466401 писал(а):
$$\sum_{p \leq n} {f(p)}= (\frac {f(n)n} {2\log(n)} - {\frac {1} {2}} \int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log (t)}}-\frac {f(2)} {\log(2)})(1+o(1))$$

У вас слева сумма, какое интегрирование по частям?
Там сначала используется формула Эйлера-Маклерона (для этого предъявляется требование достаточной гладкости функции):

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n { \frac {f(k)} {\log(k)}(1+o(1))=\int_{t=2}^n { \frac {f(t)dt} {\log(t)}(1+o(1))=...$$

и далее интегрирование по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение01.06.2020, 21:39 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
vicvolf в сообщении #1466411 писал(а):
и далее интегрирование по частям.

Это тоже надо пересчитывать.
В итоге вы получите формулу абеля с подстановкой $\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение02.06.2020, 11:23 


23/02/12
2191
Null в сообщении #1466415 писал(а):
vicvolf в сообщении #1466411 писал(а):
и далее интегрирование по частям.

В итоге вы получите формулу абеля с подстановкой $\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$.
Да, это эквивалентно. Наверно формулу Абеля можно доказать с использованием формулы Эйлера-Маклорена и интегрирования по частям.

Внесу исправления. Вот оно интегрирование по частям:

$$J_1=\int_2^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}=f(t)J_2(t)|_2^n-\int_2^n {J_2(t)f'(t)dt}= \frac {f(n)n} {\log(n)}-\frac {2f(2)} {\log(2)}-\int_2^n {\frac {tf'(t)dt} {\log(t)}.$$

На основании полученной формулы:

$$J=\int_2^n {\frac {t^mdt} {\log(t)}}= \frac {n^{m+1}} {\log(n)}- \frac {2^{m+1}} {\log(2)}-mJ.$$


$$J=\int_2^n {\frac {t^mdt} {\log(t)}}=\frac {1} {m+1} (\frac {n^{m+1}} {\log(n)} -\frac {2^{m+1}}{\log(2)}).$$

Поэтому получаем асимптотику:

$$\sum_{p\leq n} {p^m}=\sum_{k=2}^n {\frac {k^m} {\log(k)}}(1+o(1))=J(1+o(1))=\frac {n^{m+1}} {(m+1)\log(n)}(1+o(1)).$$

Формула справедлива $m>-1$ (соответствует Прахару стр. 30).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение02.06.2020, 12:06 
Заслуженный участник


12/08/10
1138
Формула Абеля доказывается непосредственно: В нецелых точках все непрерывно, дифференцируемо и производные равны, в целых точках и слева и справа скачек на $a_nf(n)=A(n)f(n)-A(n-0)f(n)-0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика сумматорных функций простого аргумента
Сообщение02.06.2020, 21:29 


23/02/12
2191
Фраза из Фихтенгольца - "Формула Абеля для конечных сумм является аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл - суммой."

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group